2021届高考数学一轮复习第9章统计与统计案例第1讲随机抽样创新教学案（含解析）新人教版

第九章统计与统计案例

第1讲随机抽样

［考纲解读］1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中

抽取样本.

2.了解分层抽样与系统抽样的意义，能利用分层抽样与系统抽样解决实际问题.(重

点)

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容为高考中的冷考点.预测2021年

高考对本讲将会以实际应用为背景命题考查分层抽样或系统抽样，同时也可能与

统计相结合命题.试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中、低档题目为主.

基础知识过关

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个①不放回地抽取〃个个体作为

样本(〃W7V)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都02相笠，就把这种

抽样方法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法：G3抽签法和四随机数表法.

2.系统抽样

(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后

按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方

法叫做系统抽样.

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.

①先将总体的N个个体编号；

②确定①分段间隔攵,对编号进行分段，当狼〃是样本容量)是整数时，取％=

彳N；当N那不是整数时，可随机地从总体中剔除余数X,取4=N一-丁x；

③在第1段用02简单随机抽样确定第一个个体编号l(lWk)；

④按照一定的规则抽取样本，通常是将/加上间隔k得到第2个个体编号03/

±k,再加k得到第3个个体编号但/+2左,依次进行下去，直到获取整个样本.

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成m互不交叉的层,然后按照一定的比例，从

各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽

样方法叫做分层抽样.

(2)应用范围：当总体是由02差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

注：三种抽样方法的比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随总体中的

从总体中逐个抽取——

机抽样个数较少

将总体均分成几部在起始部分抽样总体中的

系统是不放回抽样，

分，按事先确定的规时，采用简单随个

抽样抽样过程中，每

贝U,在各部分抽取机抽样数比较多

个个体被抽到

总体由差

的机会(概率)

各层抽样时，采异

分层相等将总体分成几层，分

用简单随机抽样明显的儿

抽样层进行抽取

或者系统抽样部

分组成

口诊断自测

1.概念辨析

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.()

(3)在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体抽取到的可能性越

大.()

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔

除2个学生，这样对被剔除者不公平.()

答案⑴义(2)7(3)义(4)X

2.小题热身

(1)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中

抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读

时间的全体是()

A.总体

B.个体

C.样本容量

D.从总体中抽取的一个样本

答案A

解析从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容

量是200,抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一

个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体.

(2)对一个容量为N的总体抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系统

抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为

P1，“2,P3,则()

A.pi=p2Vp3B.p2=p3Vpi

C.pi=p3Vp2D.pi=〃2=p3

答案D

解析因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每

个个体被抽中的概率相等.故选D.

(3)某中学将参加期中测试的1200名学生编号为1,2,3,…，1200,现从中抽取

一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第

一组中抽出的学生编号为20,则第四组中抽取的学生编号为()

A.68B.92

C.82D.170

答案B

解析第四组中抽取的学生编号为20+(1200+50)X3=92.

(4)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100

件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行

检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.

答案18

解析由题意，知应从丙型产品中抽取

3003

60X200+400+300+100=60XTo=心(件)•

经典题型冲关

题型一简单随机抽样

伴例说明】

1.下列抽样检验中，适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

答案B

解析A,D中总体的个体数较多，不适宜用抽签法，C中，一般甲、乙两厂

的产品质量有区别，也不适宜用抽签法.故选B.

2.利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次

抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为4则在整个抽样过程中，每个个体被抽

到的概率为（）

A-4B-3

。14527

答案C

解析根据题意，~9^=i1,解得〃=28.

n-1J

故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为£=三.

Zo14

3.（2019•衡水二模）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，

先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,…,599,600,从中抽取60个样

本，如下提供是随机数表的第4行到第6行：

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是

答案578

解析从第6行第6列的数开始，满足条件的6个编号依次为

436,535,577,348,522,578,则第6个编号为578.

【据例说法】

1.简单随机抽样的特点

（1）抽取的个体数较少.（2）是逐个抽取.（3）是不放回抽取.（4）是等可能抽取.只

有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.

2.抽签法与随机数表法的适用情况

（1）抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数

较多的情况.

（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签

是否易搅匀.

【巩固迁移】

1.下面的抽样方法是简单随机抽样的为（）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取

的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，

称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对

学校机构改革的意见

D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

答案D

解析A,B是系统抽样，C是分层抽样，D是简单随机抽样.

2.总体由编号为01,02,…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表

选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选

取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

78166572080263140701436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07

C.02D.01

答案D

解析选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01.故选D.

题型二系统抽样多维探究

【举例说明】

（2019.全国卷I）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为

1,2,…，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若

46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A.8号学生B.200号学生

C.616号学生D.815号学生

答案C

解析根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为愣=10.因为46除

以10余6,所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.

结论探究本例条件不变，则被抽到的学生的最小编号为最大编

号为.

答案6996

解析根据题意，可知此系统抽样的抽样间隔为写=10,共分100组，46

号在第5组，故被抽到的最小编号在第一组，是46—10X4=6,最大编号在第100

组，是46+10X95=996.

【据例说法】

系统抽样的注意点

（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大.

（2）若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组

所抽取的号码，公差为样本间隔.故问题可转化为等差数列问题解决.

（3）抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变.

（4）如果总体容量N不能被样本容量〃整除，可随机地从总体中剔除余数，然

后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法.

【巩固迁移】

1.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规

则）抽取40名同学进行检查，将学生从1〜1000进行编号，现已知第18组抽取的

号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）

A.16B.17

C.18D.19

答案C

解析..•从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，，系统抽样的分段间

隔为曙=25.设第一组随机抽取一个号码为％,则第18组的抽取编号为X+17X25

=443,.\x=18.

2.（2019.安徽芜湖模拟）为了解高中生在寒假期间每天自主学习的时间，某校

采用系统抽样的方法，从高三年级900名学生中抽取50名进行相关调查.先将这

900名高中生从1到900进行编号，求得间隔数女=絮=18,即每18名高中生中

抽取1名，若在编号为1〜18的高中生中随机抽取1名，抽到的高中生的编号为6,

则在编号为37〜54的高中生中抽到的高中生的编号应该是.

答案42

解析根据题意，采用系统抽样，且分段间隔为18,首组所取的号码为6,

故后面的组抽取的号码为18〃+6（1W〃W49,nGN）,令37W18〃+6W54,得鹿=2,

故所抽取的号码为2X18+6=42.

多角探究

I【举例说明】

9角度1求总体容量或样本容量

1.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，

对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,

其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别

为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数"为（）

A.101B.808

C.1212D.2012

答案B

121

解析甲社区每个个体被抽到的概率为y点o=o6,样本容量为12+21+25+43

=101,所以四个社区中驾驶员的总人数N=T=808.

8

2.（2019•安徽六校教育研究会联考）某工厂生产的A,B,。三种不同型号的产

品的数量之比为2：3：5,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工

厂生产的A,B,C三种产品中抽出样本容量为〃的样本，若样本中A型产品有10

件，则〃的值为（）

A.15B.25

C.50D.60

答案C

解析解法一：某工厂生产的A,8,C三种不同型号产品的数量之比为2：3:

5,用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则A型产品被抽取的抽样比为

不看能.因为A产品有10件，所以〃=票=50.故选C.

乙IOIDJ

5

21（）

解法二：由题意，得旨工7=?，解得〃=50.故选C.

Q角度2求每层中的样本数量

3.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立

地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰

分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十,

凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲

持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱,

要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的

是（）

41

A.甲应付51而钱

24.

B.乙应付32砺钱

C.丙应付16斋钱

D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少

答案B

解析依题意由分层抽样可知，100+(560+350+180)=诉,

则甲应付：丽X560=51而(钱)；

乙应付：带X350=32福(钱)；

丙应付：益X180=163去(钱).

【据例说法】

分层抽样问题类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，

列比例式进行计算.

样本容量

(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=会篝=

各层样本数量,,

各层个体数量.

提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取加=〃・与

(i=l,2,…，％)个个体(其中，是层数，〃是抽取的样本容量，M是第i层中个体的

个数，N是总体容量).

【巩固迁移】

1.一个总体分为A,B,C三层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为

50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为《，则总体中个体的个数为

)

A.150B.200

C.500D.600

答案D

解析运用分层抽样的方法，在不同层中每个个体被抽到的概率相等，都等

样本容量501

于工体获•设总体中个体的个数为N，则帚==解得N=600.故选D.

2.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方

法从所有师生中抽取一个容量为〃的样本，已知从男学生中抽取的人数为100,那

么〃=()

A.200B.300

C.400D.500

答案A

解析每个个体被抽到的概率等于鉴=：,应抽取的教师人数为200X：=25,

oUUoo

应抽取的女学生人数为600X1=75,故样本容量“=25+75+100=200.

O

3.(2019.河北一模)随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不

断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机

对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来.为了解某

群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1500人中采

用分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段所

占的比例如图所示，则这个群体里老年人人数为()

A.490B.390

C.1110D.410

答案B

解析由题图，知这50人里老、中、青三个年龄段所占的比例为26%,34%,40%,

则这个群体里老年人人数为26%X1500=390.

--------------课时作业----------------

久组基础关

1.(1)某学校为了了解2019年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名

学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生

共200名，从中抽取120名考生作为样本.

(2)从30名家长中抽取5名参加座谈会.

I.简单随机抽样法’n.系统抽样法in.分层抽样法

问题与方法配对正确的是（

A.(1)111,(2)IB.(1)I,(2)11

c.⑴n,⑵mD.(1)111,(2)11

答案A

解析（1）是分层抽样，（2）是简单随机抽样.

2.（2020•北京西城区模拟）某校共有学生1000人，其中男生600人，女生400

人，学校为检测学生的体质健康状况，统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS

系统”）中随机选取参加测试的学生，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为30

的样本进行检测，那么应抽取女生的人数为（）

A.12B.15

C.18D.20

答案A

解析某校共有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用分层抽样

的方法从中抽取容量为30的样本进行检测，则应抽取女生的人数为30X怒=12.

3.（2019.唐山三模）为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500

件产品中抽出10件进行检验.先将500件产品编号为000,001,002,…，499,在

随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读（为了便于

说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行），即第一个号码为439,

则选出的第4个号码是（）

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

A.548B.443

C.379D.217

答案D

解析从第6行第8列的数4开始向右读，则选出的前4个号码是：

439,495,443,217,.•.选出的第4个号码是217.

4.某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用

分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且从甲、丙两个车间总共抽取的

产品数量为60件，则乙、丁两车间生产的产品总共有（）

A.1000件B.1200件

C.1400件D.1600件

答案D

解析由已知条件得，抽样比为嫖=1，•••从甲、丙两个车间总共抽取的

ZoUUZX)

产品数量为60件，...从乙、丁两个车间抽取的产品数量为140—60=80件，，乙、

QA

丁两车间生产的产品总共有牛=1600件.

20

5.(2019.保定二模)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，其中某月生产

的产品数量之比依次为m：3：2,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样

本，已知A种型号产品抽取了45件，则〃z=()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析设该工厂生产A型号的产品数量为加I,则生产5型号的产品数量为次,

生产。型号的产品数量为2Z,则45亲=丁12苦0:，解得〃2=3.

mktnk+3k+2k

6.(2019.江西八校联考)从编号为001,002,…，500的500个产品中用系统抽

样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本

中最大的编号应该为()

A.480B.481

C.482D.483

答案C

解析根据系统抽样的定义，知样本的编号成等差数列，令0=7,G=32,

518

则d=25,所以7+25(〃-l)W500,所以“W石，〃的最大值为20,得最大的编号

为7+25X19=482.

7.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将学生随机地从1〜

160编号，按编号顺序平均分成20组(1〜8,9〜16,…，153〜160).若第16组得

到的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是.

答案6

解析设第1组抽出的号码为龙，则第16组应抽出的号码是域X15+x=126,

・・x=6.

8.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表:

类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类

种类40103020

现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样方法抽

取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为.

答案6

解析因为总体的个数为40+10+30+20=100,所以根据分层抽样的定义可

知，抽取的植物油类食品种数为斋X20=2,抽取的果蔬类食品种数为需X20=

4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6.

生组能力关

1.（2019.湖北荆州模拟）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分

问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百,

意思是用分层抽样的方