2020-2021学年天一大联考高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年天一大联考高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.下列命题中真命题为（）

A.过点PQo，yo）的直线都可表示为y-y0=k（x-x0）

B.过两点（%i，yi）,（K202）的直线都可表示为（％-刈）（72-y"=（y-yi）（%2-右）

C.过点（0,b）的所有直线都可表示为y=kx+b

D.不过原点的所有直线都可表示定+”1

2.已知全集U=R,集合A=[0,1,2,3},fi={xe/?|l<x<4},图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{4}B.{0,4}C.{0}D.{0,1,4}

3.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油

量为（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

4.若点4（22+4,4-.1+2y）关于y轴的对称点是以一松,9,7-了），则入出y的值依次为（）

A.1,-4,9B.2,-5,-8C.-3,-5,8D.2,5,8

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

□

A.64B.72C.80D.112

6.已知a=log（）957.5,b=7.50,95,c=O.9575,a,b,c的大小关系是（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

7.在正方体4BCD—aBiGD]中，M、N分别为棱441和的中点，则

sin<CM,D]N>的值为()

A.I

B.^V5

C.|V5

Di

8.已知函数y=/(x)的图象与函数y=logax(a>0且aK1)的图象关于直线y=x对称，如果函数

9(x)=久)—3。2—l](a>0,且a。1)在区间[0,+8)上是增函数，那么a的取值范围是

()

A.[0,|]B.停,1)C.[1,V3]D.[|,+8)

9.已知奥潟j瓶是直线酰詈.中斗=尊徽派獭上一动点，盛i是圆线：•请普储-鬟解=助的一条切线,

城是切点，若就长度最小值为2,则乐.的值为()

A.3B.与C.'必及D.2

10.已知事函数/Q)过点(2,孝)，则”4)的值为()

A.1B.1C.2D.8

11.I：ax+2by-4=0被圆M+y2+4刀-2y+1=0所截弦长为4,则(^+炉的最小值是()

A.3B,V3C.2D.V2

12.已知函数/(x)=%-4+0,xe(0,4).当x=a时，取得最小值b,则在直角坐标系中

函数g(x)=S的图象为()

A.0B.0C.0D.0

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设函数f(x)=『2?2x+2,%<0若/丁®))=2,则。=___.

V—x,X>V

14.定义在R上的函数f(x)满足/(x+2)=-f(x),且f(1)=1，贝叶(2019)=

15.已知圆E的圆心在y轴上，且与圆/+丫2一2%=0的公共弦所在直线的方程为x一①丫=0,则

圆E的方程为.

16.设函数/'(%)-21Txl+霍若对VxeR,不等式/'(mx)>/(x2+4)成立，则实数m的取值范

围是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合4={x|%2+(a-3)x+a=0},B={x|x>0}.若力nB=0是假命题.求实数a的取值

范围.

18.(1)要使直线k：(2m?+m-3)x+(m?-m)y=2m与直线%：x-y=l平行，求m的值.

(2)直线kax+(1-a)y=3与直线5(a-l)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值.

19.已知四边形4BCD满足4D〃BC,BA=AD=DC=^BC=a,E是BC的中点，将△84E沿4E折

起到ABiAE的位置，使平面为AEL平面4ECD,F为的中点.

(1)证明：BiE〃平面4CF；

(2)求平面AD/与平面ECBi所成锐二面角的余弦值.

20.2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种

青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a元(a为常数,

2±&35).设每枚徽章的售价为X元(35^。式41),根据市场调查，日销售量与e«e为自然对

数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚.

(1)求该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价x的函数关系式；

(2)当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值.

21.如图，4B是圆。的直径，P41圆。所在的平面，C是圆。上的点.

O

B

(1)求证：BC1平面PAC；

(2)若Q为P4的中点，G为A40C的重心，求证：QG〃平面PBC.

22.已知圆/+卬-2)2=4,点4在直线x—y—2=0上，过4引圆的两条切线，切点为7\,T2,

(1)若4点为(1,一1),求直线AR的方程；

(口)求|仞|的最小值.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：当直线不过原点且直线和x轴垂直时，直线的斜率k不存在，如直线x=3等，

选项4、C、。不正确，

过两点(右，段)的直线，当直线斜率存在且不等于0时，方程为悬=舞;，

即(x-%i)(y2-月)=(y-%)(%2-xi).

当直线斜率不存在时，%i=x2,方程为x=可以写成(％-与)(>2-yJ=(丫一丫1)(尤2-X，的形

式.

当直线斜率等于0时，为=丫2，方程为y=y「可以写成(x-xI)(y2-%)=(，-%)(%2-％1)的形

式.

综上，只有选项B正确，故选8.

由直线不过原点且直线和x轴垂直时，直线的斜率k不存在，即可排除选项A、C、D.

本题考查直线方程的几种形式，注意几种特殊情况，如斜率不存在或斜率等于0的情况.

2.答案：C

解析：解：阴影部分所表示的集合为4n(QB),

集合4={0,1,2,3},B={x&R\l<x<4},

•••CgB={x\x<1或X>4],

・・・图中阴影部分所表示的集合为/n(CuB)={0}.

故选：C.

阴影部分所表示的集合为an(18),由此能求出结果.

本题考查集合的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.答案:B

解析：

本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.

由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量.

解：根据题意可知5月1日至5月15日这段时间的行程为35600-35000=600千米，耗油48升，

所以该车每100千米平均耗油量为48x100+600=8升.

故选B.

4.答案:B

解析：

本题考查空间中点关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，属于中档题.

根据关于y轴对称的点的横坐标和竖坐标互为相反数，而纵坐标相等，点4(M+4,4,l+2y)关于

y轴的对称点是8(—44,9,7-y),得到;12+4=44,4-〃=9,l+2y=-(7-y),得到结果.

解：••・关于y轴对称的点的横坐标和竖坐标互为相反数，而纵坐标相等，

点做万+4,4-%1+2y)关于y轴的对称点是8(-4尢9,7-y),

・,・於+4=42,

4—4=9,

l+2y=-(7-y),

，九〃，y的值依次为2,-5,-8.

故选B.

5.答案：C

解析：试题分析：该几何体的直观图如图所示：

S

由正方体和四棱锥组成，国，故选c

考点：1.三视图；2.求几何体的体积.

6.答案：D

解析：解：logo.957.5<logo.951=0,7.50-95>7.5°=1,0<0.9575<0.95°=1；

b>c>a.

故选：D.

容易看出，/ogo.957.5<0,7.50-95>1,0<0.9575<1,从而得出a,b,c的大小关系.

考查对数函数和指数函数的单调性，指数函数的值域，增函数和减函数的定义.

7.答案：B

解析：

建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量的数量

积公式求出两个向量的夹角余弦，利用三角函数的平方关系求出两个向量的夹角正弦.

本题考查向量的坐标的求法、利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、三角函数的平方关系.

解：设正方体棱长为2,以。为坐标原点、ZM为x轴、。。为y轴、为z轴建立空间直角坐标系，

则C(0,2,0),M(2,0,1)»£>i(0,0,2),JV(2,2,1),

可知而=(2,—2,1)，D^N=(2,2,-1)，

：.CM-DJV=2x2-2x2-1x1=-1,\CM\=3,|DJV|=3，

•••cos<CM,DN>=竺=—i,

1r\CM\\D^\9

由平方关系得

sin<CM,D］N>=手.

故选：B,

8.答案：B

解析：解：•.・函数y=f(X)的图象与函数y=logax(a>。且Q工1)的图象关于直线y=%对称，

・••/(x)=ax(a>0,aH1),

,・,函数g(x)=/(%)［/(%)-3a2-i］(a>0,且a。1)在区间［0,+8)上是增函数，

・•・函数g(%)=ax(ax-3a2-l)(a>。且a丰1)在区间［0,+8)上是增函数

令a”=t,则g(%)=ax{ax-3a2-1)转化为y=t2-(3a2+1)3其对称轴为£=吆#>0,

当Q>1时，tNl,要使函数y=产一(3小+1)1在［i,+oo)上是增函数

则1=号131,故不存在a使之成立；

当0<a<1时，0<tW1,要使函数y=t2-(3a2+l)t在(0,1］上是减函数

则1=今出21,故当wa<i.

综上所述，a的取值范围是哼,1).

故选：8.

由已知函数g(x)=ax{ax-3a2-l)(a>0且a丰1)在区间［0,+8)上是增函数，令暧=t,利用换元

法及二次函数性质能求出a的取值范围.

本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法及二次函数性质的合

理运用.

9.答案:D

解析：圆弓标准方程为9+。-以=1，半径为1，圆心为|。(0/)，由题意卜。|=/区=在,

即到直线辰+J+4=0的最短距离为后,所以=垂,氏二三(-2舍去)，故选D

年+1

考点：直线与圆的位置关系.

10.答案：A

解析：解：设塞函数f(X)=%a,x>0,

•••塞函数/'(X)过点(2,9),

…=¥，x>0,

・•・X=，二/。)=

1

2

故选4

11.答案：C

解析：解：根据题意，圆/+y2+4%-2y+1=0即(x+2)2+(y-1)2=4,

圆心为(一2,1),半径r=2；

若，：ax+2by—4=0被圆/+y2+4%-2y+1=0所截弦长为4,则直线/经过圆心(一2,1),

则有一2a+2b-4=0,即b=a+2,

则a?+b2=a2+(a+2)2=2(a+I)2+2>2,

即a2+b2的最小值是2；

故选：C.

根据题意，由圆的方程分析圆心坐标以及半径，进而可得直线，经过圆心(-2,1),则有-2a+26-4=

0,即6=。+2,据此可得。2+川=小+(。+2)2=2(a+l)2+2,结合二次函数的性质分析可得

答案.

本题考查直线与圆的方程的应用，注意分析直线经过圆心，属于基础题.

12.答案：B

解析：试题分析：0,当且仅当S时取“=”，即凶，当国时，g,S..

考点：1.基本不等式；2.分段函数图像.

13.答案：V2

解析：

本题主要考查分段函数的应用，属于中档题.

根据分段函数的表达式，利用分类讨论的方法即可得到结论.

解：设t=f(a),则/(t)=2,

若t>0,则/(t)=—t2=2,此时不成立，

若tWO,由f(t)=2得，t2+2t+2=2,

即户+2t=0,解得t―0或t——2,

即/(a)=0或f(a)=-2,

若a>0,则/(a)=-a?=0,此时不成立；或/'(a)=-a?=—2,即a?=2,解得a=皿.

若aW0,由/(a)=0得，。2+2。+2=0,此时无解；或/(a)=—2,即a2+2a+4=0,此时无

解，

综上：a=V2>

故答案为：V2.

14.答案：-1

解析：解：••・定义在R上的函数/(x)满足2)=-/(%),且/(1)=1,

•1•/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

•••f(x)是以4为周期的周期函数，

•••/(2019)=63)=-/■⑴=-L

故答案为：一1.

推导出f(x+4)=-f(x+2)=r(x),从而/(x)是以4为周期的周期函数，进崎/(2019)=f(3)=

-/(I),由此能求出结果.

本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.答案：x2+(y-V3)2=3

解析：解：圆E的圆心在y轴上，可设圆E：x2+(y—b)2=r2,(r>0),①

又圆+y2—2x=0,②

①—②可得%-匕丫+家。？-/)=0,

由两圆的公共弦所在直线的方程为％-V3y=0,

可得b=V3，r2=b2=3,

2

则圆E的方程为/+(y-V3)=3.

故答案为：%2+(y—V3)2-3.

设圆E：x2+(y-bY=r2,(r>0),与己知圆方程相减可得公共弦方程，与方程久—gy=0比较

可得b,r,即可得到圆E的方程.

本题考查两圆的方程的求法，以及两圆的公共弦方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

16.答案：[-4,4]

解析：解：函数/。)=2】-田+窸的定义域为R,

由/(-X)=21TXI+W=/Q),即/Q)为偶函数，

当x20时，/"。)=2一方+岛―1,为递减函数，

则/(%)在R上递减，

由/(mx)>f(x2+4),可得m%<%2+4,即产—mx+4>0对无6R恒成立，

可得△=m2-16<0,解得一4<m<4,

则实数血的取值范围是[-4,4],

故答案为：[—4,4].

首先判断f(x)的奇偶性和单调性，推得f(%)在R上递减，可得/—血％+420对％ER恒成立，再由

判别式小于等于0,解不等式可得所求范围.

本题考查函数恒成立问题，注意运用函数的奇偶性与单调性，考查转化思想与运算能力，属于中档

题.

17.答案：解：A={x|x2+(a-3)x4-a=0},B={x\x>0],

由/C\B=0是真命题，即％2+(a—3)x4-a=0无正根，

①4=(a-3)2-4a<0,解得ae(1,9)；

②/=(Q-3)2-4a=0,解得a=1或a=9.

当a=9时，A-{x\x2+6x+9=0}={—3],符合题意；

当a=1时，A-{x\x2—2%+1=0}={1},不合题意；

(△=(a—3A—4a>0

③，无解.

L>o

综上，当月nB=0是真命题时，aE(1,9],

故当/n8=0是假命题时，a6(-00,1]U(9,4-oo).

解析：由已知求得%2+(a—3)x+a=0无正根时Q的取值范围，利用补集思想得答案.

本题考查根据媒体的真假求参数的取值范围，考查补集思想的应用，考查运算求解能力，是基础题.

18.答案：解：(1)直线k：(2m2+m—3)x+(m2—m)y=2?n与直线L：%-y=1平行，可得：rn2—

m+(2m2+m-3)=0,

B|J3m2—3=0,解得m=±1,当m=1时，直线I1不存在，当m=—1时，直线k：(2m2+m—3)x+

(m2-m)y=2nl化为：

x-y=1,两条直线重合，所以rn无解；

(2)直线匕：ax+(l-a)y=3与直线小(a-l)x+(2a+3)y=2互相垂直，

可得:a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,

解得：a=1或-3.

解析：（1）由两直线平行列式求得m的值，代入两平行线间的距离公式得答案.

（2）直接由+B$2=0得答案；

本题考查了利用直线的一般式方程判断两条直线的平行于垂直，对于两直线kA1X+Bry+Ci=0,

l2：A2x+B2y+C2=0,当4遇2+Bi%=0时两直线垂直；是基础题.

19.答案：证明：（1）连结ED交4c于。，连结OF,

因为4EC。为菱形，0E=0D,

所以FO〃B]E,又FOu面4CF

所以占E〃平面4CF.

（2）取4E的中点M,连结连结MD,则乙4MD=90。，

分别以ME,MD,MB、为K,y,z轴建系，

则以支0,0）,C9,4,0）,4（一30，0），。（0,更a,0），

N242

用（0若a）,

则西=V，0,/a）,而=G，与a,0）,福=G,0,枭）,

设面ECBi的法向量为五=（x,y,z）,

（-X+-Uy=0r-r-

则2a2悔，令X=l，则以=（1,一季务

——xH---az=0

\22

同理面AD/的法向量为U=（1,—白，一日）

m>=________33_2

所以COS<u,5

J1+鸿J1+起

故平面ADBi与平面ECBi所成锐二面角的余弦值为]

解析：本题主要考查空间平行的位置关系的判断，以及二面角的应用，建立空间坐标系，利用向量

法是解决本题的关键.

(1)证明FO〃B]E,根据线面平行的判定定理即可证明：8速〃平面4CF；

(2)建立空间坐标系，由向量垂直，数量积为0求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出两个平面

的法向量对的夹角，即可得到利用向量法即可得到平面ADBi与平面EC/所成锐二面角的余弦值.

20.答案：解：(1)该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价X,

日销售量与e/e为自然对数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚,

比例系数为：10e40.

该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价x的函数关系式：L(x)=10e40.^1^(35<%<41)；

(2)当35<x<40时，L(x)=10e40-L'(x)=10e40•4<a<6,35<31+a<37,

因为35WXW40,令L'(x)=0得x=a+31

当35<x<a+31时L'(x)>0

当&+310》〈40时//(>:)<0

故Lmax(无)="a+31)=10e9-a

当40<x<50时，L(x)=(x—30—a)16°°°

显然L(x)在40WxW50时,

._16000(x2-(x-30-a)2x)_16000(60+2a-x)八

L⑺=>口

所以L(x)在40<%<50时为增函数

故40WXW50时，Lmax(x)=L(50)

又L(a+31)=10e9-azi0e3

,zr\32cc、132X16

L(50n)=y(20-a)<-y-,

故"a+31)>“50)

于是每件产品的售价%为a+31时才能使L(x)最大，L(x)的最大值为10e9-a

综上，若2WaS4,当每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润L(x)最大，且〃乃根数=10(5-

a)e5；

若4<aW5,当每枚徽章的售价为(a+31)元时，该商店的日利润LQ)最大，且L(x)7ntix=lOe稣a.

解析：(1)求出比例系数，利用该商店的日利润L(x)等于销售量与每枚徽章的利润与比例系数乘积,

列出函数关系式；

(2)通过x的范围，利用函数的导数，判断函数的单调性，求解当每枚徽章的售价为多少元时，该商

店的日利润“乃最大，然后求出L(x)的最大值.

本题考查函数的实际应用，对数在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力.