2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷

一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）.

1.已知集合4={尤|尤2-x-2W0},B={x\-2<x^l）,贝ijAUB=（）

A.{尤|-1W%W2}B.{x\-2<x^2}C.{尤|-2<xWl}D.{x|-2WxW2}

2.下列函数中，在区间（0,+8）上为增函数的是（）

A.y="x+lB.y—（x-1）2C.y=TxD.y=log；x

3.对任意等比数列{斯},下列说法一定正确的是（）

A.ai,的，。9成等比数列B.<72,的，。6成等比数列

C.。3,46,。9成等比数列D.02,。4,。8成等比数列

4.袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球.从中任意

取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

51025

5.己知。=k»g2e,b—lril,c=log；2,则a,b,c的大小关系为（）

乙3

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

6.若a,b,c,d£R,则“〃+d=/?+c”是"a,b,c,d依次成等差数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.设函数/（x）=—+lnx,则（）

x

B.%=1•时/（x）取到极小值

A.■时/（不）取到极大值

C.x=2时/（x）取到极大值D.%=2时/（x）取到极小值

8.某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）

人81「5436627

A.----D.------------U.----U.----

125125125125

9.已知函数无）=t^-尤|有三个零点，则实数。的取值范围为（）

A.(-8,0)B.(0,1)C.(0,e)D.(e,+8)

10.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次

序为()

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.

11.函数/(x)=个产的导函数(%)=.

12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%,一旦失败，

一年后将丧失全部资金的50%,如表是过去200例类似项目开发的实施结果：

投资成功投资失败

192次8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是(元).

13.已知/(x)=-R+q尤+3在定义域上单调递减，则实数。的取值范围是.

14.若数列｛斯｝满足ai=-J,an'an-i=an-i-1Cn>l,n£N*),则02021=___.

4

15.已知集合Ao=｛x[O<x<l｝.给定一个函数y=/(x),定义集合4=｛y|y=/(x),xGAn

-1),若A"C4-i=0对任意的“CN*成立，则称该函数y=/(无)具有性质“<p"(例如y

=x+l具有性质“cp”)

1jr

下列函数：①丫二,；②y=N+l；③y=cos(―x)+2,其中具有性质“隼”的函数的序

x2

号是.

三、解答题：本大题共5个小题，共40分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知｛斯｝是各项均为正数的等比数列，ai=2,03=2(/2+16.

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)设瓦=log2。"，求数列｛瓦｝的前〃项和.

17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲

协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从

这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，

求事件A发生的概率；

(II)设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列.

18.已知函数/（尤）=2x3-ax2+2.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)当0＜。＜3时，求/(%)在区间［0,1］上的最大值及最小值.

19.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中

的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每

人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课

程都是等可能的.

(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E(X).

20.已知函数/(x)=xlnx+kx,在R.

(I)求y=/(x)在点(1,/(D)处的切线方程；

(II)若不等式/(x)WN+x恒成立，求k的取值范围.

参考答案

一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）.

1.已知集合A={x|N-x-2W0},B={x\-2<x^l},则AU8=（）

A.{x\-l^x^2}B.{x\-2<x^2}C.{x\-2<x^l}D.{x\-2^x^2]

【分析】求出集合A,由此能求出AU艮

2

解：VA={x\x-x-2^0}={x|-1,B={x\-2<x^l]f

.*.AUB={x|-2<xW2}.

故选：B.

2.下列函数中，在区间（0,+8）上为增函数的是（）

A.y=Vx+lB.y=（x-1）2C.尸2、D.y=log%

【分析】根据题意，依次判断各选项中函数的单调性，即可得到答案.

解：对于A,在区间（0,+8）上为增函数，符合题意；

对于8,y=（x-1）2是二次函数，在区间（0,1）上为减函数，不符合题意；

对于C,y=2'=（a）x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意；

对于。，y=log5是对数函数，在区间（0,+8）上为减函数，不符合题意；

故选：A.

3.对任意等比数列{斯},下列说法一定正确的是（）

A.ai,43,。9成等比数列B.〃2,的，〃6成等比数列

C.的，〃6,〃9成等比数列D.42,〃4,。8成等比数列

【分析】根据：若构成等比数列，则型="，即可对选项逐一判断.

解：由于1+9W2X3,所以即〃1、〃3、〃9不能构成等比数列，选项A错误.

由于2+6W2X3,所以4§力〃2〃6,即42、〃3、。6不能构成等比数列，选项3错误.

由于3+9W2X6,所以=〃3。9,即〃3、〃6、。9能构成等比数列，选项C正确.

由2+8W2X4,所以=即〃2、O4>。8不能构成等比数列，选项。错误.

故选：C.

4.袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球.从中任意

取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

51025

【分析】易知10个小球中除5个白球外还有5个小球，其中黑球有3个，所以利用古典

概型概率计算公式即可得出所求事件的概率.

解：根据题意，袋中除白球外共有5个小球，其中黑球有3个，

所以从袋中任取一个已知不是白球的小球是黑球的概率为■1.

5

故选：D.

5.已知Q=log2e,b=ln2,c=logy-^,则〃，b,c的大小关系为（）

/3

A.a>b>cB.b>a>cC.c'>a>bD.c>b>a

【分析】可以得出log1|>l°g2e>l，ln2<1,然后即可得出a,b,c的大小关系.

~2

Vlog_iJ=log23>1Og2e>los22=1,ln2,<Ine--1,

~2

'.c>a>b.

故选：C.

6.若a,b,c,deR,则ua+d=b+c"是"a,b,c,d依次成等差数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】必要性根据等差数列的性质容易证明，充分性不成立只需要举一个反例即可说

明.

解：若a,b,c,d依次成等差数列，

则a+d^b+c,即必要性成立，

若。=2,d—2,b—1,c—3,

满足a+d—b+c,

但a,b,c,d依次成等差数列错误，即充分性不成立，

即“a+d=b+c"是"a,b,c,d依次成等差数列”的必要不充分条件.

故选：B.

7.设函数/(%)=—+lnx,则()

x

A.%=，■时f(X)取到极大值B.%=，■时f(X)取到极小值

C.x=2时f(x)取到极大值D.x=2时f(x)取到极小值

【分析】可求得/(X)=受，然后判断了(X)的单调性，再得到了(X)的极值点和

X

极值即可.

nX~2

解：,:于(x)=-=-+lnx(x>0)，:・f(龙)=-5-，

XX，

当呢(0,2)时，f(x)<0,/(X)在(0,2)上单调递减，

当托(2,+8)时，f(x)>0,/(x)在(2,+8)上单调递增，

・••当x=2时，f(x)取到极小值.

故选：D.

8.某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为()

A81「54r36n27

125125125125

【分析】本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，至少有两次击中目标包括

两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互

斥事件的概率公式得到结果.

解：由题意知，本题是一个"次独立重复试验恰好发生左次的概率，

射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击，

.•.至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的,

.•.至少有两次击中目标的概率为C320.62X0.4+C330.63=^t=9^

125125

故选：A.

9.已知函数/(X)=^-。国有三个零点，则实数4的取值范围为()

A.(…，o)B.(0,1)C.(0,e)D.(e,+8)

【分析】根据题意，分析可得％V0时，函数/(%)-水|有一个零点，贝！!当x>0时,

函数/(%)有2个零点；当x>0时，函数/(x)九|=^-"%,对其求导

分析可得在(0，Ina)上，f(x)<0,函数/(x)为减函数，在(Ina,+°°)上，f

(x)>0,函数/(x)为增函数，即可得其最小值，分析可得必有/(%)加加=〃-。/几。<0,

解可得〃的取值范围，综合可得答案.

解：函数/(x)有三个零点，则函数与y=〃|x|有3个不同的交点，

则必有a>0,图象如图：当x<0时，函数>=产与y=a|x|有1个交点，即x<0时，函

数/(x)=e「a|x|有一个零点，

若函数函数/'(x)=d.-a|x|有三个零点，则当尤>0时，函数/(无)=e》-3尤|=产-融有

2个零点；

当尤>0时，f(x)-a\x\—e^-ax,其导数，(x)—e1-a,

令f(无)=eT-a=0可得，x=lna,

分析可得：在(0,Ina)上，f(无)<0,函数/(无)为减函数，

在(Ina,+8)上，f(x)>0,函数/(x)为增函数，

当口寸，f(x)="-ax有最小值，即/(x)”加=于(Ina)—a-alna,

若(0,+8)上，函数/(x)=d-a|x|=eT-亦有2个零点，必有/(%)min=a-alna<

0,解可得a>e,

综合可得：。的取值范围为(e,+8)；

故选：D.

10.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次

序为()

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

【分析】分别讨论甲、乙、丙预测正确，然后进行推导，判断是否符合题意即可.

解：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即甲的成绩比乙高，丙的成绩比乙低，故三人

按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；

若乙预测正确，则丙也预测正确，不符合题意；

若丙预测正确，则甲预测错误，即丙的成绩比乙高，乙的成绩比甲高，故丙的成绩比甲、

乙都高，即乙的预测也正确，不符合题意.

故选：A.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.

11.函数/(x)的导函数(x)=(1+x)e".

【分析】根据函数的导数运算公式即可得到结论.

解：函数的导数/(x)—ex+xex=(1+尤)/

故答案为：(1+x)

12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%,一旦失败，

一年后将丧失全部资金的50%,如表是过去200例类似项目开发的实施结果：

投资成功投资失败

192次8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是4760(元).

【分析】由表可知，投资成功、失败的概率分别为黑、熹，而投资成功的收益为5

200200

X12%万元，投资失败的损失为5X50%万元，再结合数学期望的计算公式即可得解.

解：由题表可知，

投资成功的概率为黑，投资失败的概率为熹，

200200

而投资成功的收益为5X12%万元，投资失败的损失为5X50%万元，

所以该公司一年后估计可获收益的数学期望为5X12%X糕-5X50%X熹=0.476

200200

万元=4760元.

故答案为：4760.

13.已知/(%)=-13+〃%+3在定义域上单调递减，则实数〃的取值范围是(-8,0].

【分析】由/(x)=-13+依+3在定义域上单调递减W(x)=-3N+〃WO恒成立，从

而可得答案.

解：:/(x)=-R+QX+3在定义域上单调递减，

:.f(x)=-3X2+QWO在定义域R上恒成立，

.,・〃W(3x2)min9又3%220,「.aWO,

工数〃的取值范围为(-8,0].

故答案为：(-8,0].

14.若数列{斯}满足〃i=-1，an*an-i=an-i-1(〃>1,〃EN*),则〃2021=5.

4

【分析】由已知可得数列的前几项，得到数列是以3为周期的周期数列，则答案可求.

9

解：由〃1=-1，anan-\=an-\~1(n>l,〃CN*)，

4

得七1a11，«3=1石=1了=可，

42

,1,11

a=l---=1T~=T

da344，…

r

，数列{斯}是以3为周期的周期数列，

又2021=3X673+2,/.aio2i—a2—5.

故答案为：5.

15.已知集合Ao={x[O<x<l}.给定一个函数y=/(x),定义集合4={y|y=/(x),伯4“

-1),若4cA"-i=0对任意的“eN*成立，则称该函数y=/(无)具有性质“<p"(例如y

=x+l具有性质“cp”)

1TF

下列函数：①丫二士；②y=N+l；(3)+2,其中具有性质“隼”的函数的序

x2

号是①②.

【分析】分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即

可判断.

解：①y,：由Ao={x[O<x<l},An={y\y=f(x),xeAn-I},

x

可得4={yly>l},A2={y|0<y<l},A3={y|j>l},A4={y|0<j<l},­­•,

满足4n4一1=0对任意的WCN*成立，故①具有性质“g”；

②y=N+l：由Ao={x[O<x<l},An={y\y=f(x),xE.An-i},

可得Ai={y[l<y<2},Aa={y|2<y<5},A3={y|5<y<26},…，

满足4n4一1=0对任意的"6N*成立，故②具有性质“g”；

兀

:

@y=COS+2由Ao={邓An—{y\y—f(x),xEAn-1},

可得Ai=｛y[2<y<3｝,A2—｛y\l<y<2],A3=｛y|l<y<2｝,…，

不满足4c4u=0对任意的"CN*成立，故③不具有性质“g”.

故答案为：①②.

三、解答题：本大题共5个小题，共40分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知｛斯｝是各项均为正数的等比数列，ai=2,々3=2及+16.

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)设b"=log2。"，求数列｛瓦｝的前〃项和.

【分析】(1)设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；

(2)把(1)中求得的｛诙｝的通项公式代入出=log2斯,得到瓦，说明数列｛d｝是等差数

歹！I，再由等差数列的前〃项和公式求解.

解：(1)设等比数列的公比为q,

由ai=2,03=202+16,得2q2=4q+16,

即q2-2q-8=0,解得q--2(舍)或q=4.

n-1n-12n1

an=a1q=2X4=2-；

2n-1

(2)Z7„=log2a„=log22=2n-l.

V/?i=Lbn+i-bn—2(〃+l)-1-2加+1=2,

・,・数列｛治｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

则数列｛5｝的前n项和T『nX-2-2

17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲

协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从

这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，

求事件A发生的概率；

(II)设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列.

【分析】(I)利用古典概型的概率公式求解即可；

(II)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可.

cjclc!n

解：(I)由题意可得，p(A)

35

(II)随机变量X的可能取值为1,2,3,4,

CcC1

则P(X=l)

C814

i^3

P(X=2)

P(X=3)=2i£i=3

C47’

r4ro

C5C31

P(X=4)

414

8

所以X的分布列为:

X1234

P13_31

7177"14

18.已知函数/(无)=2x3-ax2+2..

(I)讨论/(x)的单调性;

(II)当0<。<3时，求/(%)在区间［0,1］上的最大值及最小值.

【分析】(I)求出了(无)，分a>0,a=0,a<0,分别利用导数的正负研究函数的单

调性即可；

(II)利用(I)中的单调性，即可求出［0,1］上的单调性，即可得到函数/(无)的最值.

解：(I)函数/'(x)=2x3-(uc2+2,则/(x)—6x2-2ax=2x(3x-a),

令f(%)=0,解得％=0或1=胃，

①当〃>0时，则当xVO或％>包时，f(x)>0,

3

当0<尤〈旦时，f(无)<0,

3

所以了(无)的单调增区间为(-8,0),母，-KO),单调减区间为(0,1)；

②当。=0时，f(x)在R上单调递增；

③当a<0时，当天<至或无>0时，f(无)>0,

3

当旦<x<0时，f(无)<0,

3

所以了(尤)的单调递增区间为(-8,_1),(0,+8),单调递减区间为售，0).

(II)当0<a<3时，由(I)可知，/(x)在(0,-1)上单调递减，(年1)递增，

所以/(无)在［0,1］的最小值为f仔)=言+2，

最大值为/(0)=2或/(I)=4-°,

不妨设最小值为相，最大值为

3f4-a,0<a<2

则+2，则/=<,.

272,2<a<3

19.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中

的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每

人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课

程都是等可能的.

(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E(X).

【分析】(I)根据分步计数原理总事件数是43,满足条件的事件数是43,利用古典概

率计算公式即可得出.

(II)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0,1,2,3.P9=。)

Q3c!X32C?X31

=三；P9=1)=」______;P(《=2)=」____:P鳍=3)=-7，即可得出.

333