2021-2022学年河北省张家口市宣化区九年级（上）期末数学试卷（冀教版）（附答案详解）

2021-2022学年河北省张家口市宣化区九年级（上）期末

数学试卷（冀教版）

一、选择题（本大题共14小题，共34.（）分）

1.如果反比例函数'="的图象经过点（-1,-2）,贝必的值是（）

A.2B.-2C.-3D.3

2.若关于％的方程（m-D/Ml-i_+6=o是一元二次方程，则它的一次项系数

是（）

A.-1B.1C.3D.3或一1

3.数据4,3,5,3,6,3,4的众数和中位数是（）

D.它

2

5.如图，点P是反比例函数y=二图象上的一个点，过P作PA1x

二

轴，轴，则矩形04PC的面积是（）

A.2

AO\x

B,

C.4

D,

6.在△4BC中,右|sin4—日|+（号—cosB）?=0，ZJ1,都是锐角，则4C的度数

是（）

A.75°B.90°C.105°D.120°

7.如图，AB是。。的直径，点C在。。上，CDLAB,DE//BC,啰

则图中与△ABC相似的三角形的个数为（）

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

8.如图，BD是。0的切线，/.BCE=30°,贝叱。=（）

A.40°

B.50°

C.60°

D.30°

9.如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去：圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一

个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）

A.6cmB.3V5cmC.8cmD.575cm

10.在△ABC中，乙4cB=90。，用直尺和圆规在?IB上确定点D,使△4CD〜根

据作图痕迹判断，正确的是

/、CB

CB

11.如图所示，四边形ABCD为。0的内接四边形，4BCD=120。，力

则4B。。的大小是（）[

A.80°

B.120°

C.100°

D.90°

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12.如图，在矩形2BCD中，点E是边BC的中点，AE1BD,垂足

为F,则tan4BDE的值是（）

D.立

3

13.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

Apn

14.如图所示，在口48。£»中，AC,8。相交于点0,E是。4/\~7,---------

的中点，连接BE并延长交力。于点尸，已知SUEF=%/

贝（I下歹（J结论:①合=a②SABCE=36；③SAABE=12；———

④△4EF—4CD.其中一定正确的是（）

A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

15.已知一元二次方程（a-l）x2+a2+3a-4=0有一个根为零，则a的值为

16.如图，。0经过4B,C三点，PA,PB分别与。。相切于4B点，NP=46。，则

ZC=

17.如图，4ABC为等边三角形，点。、E分别在边BC、4c上,

^ADE=60°,如果B。：DC=1：2,AD=2,那么DE的

长等于.

18.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠，使点4与点B

重合，折痕为OE,则tan/CBE的值是.

19.如图，点4在双曲线丫=:上，点B在双曲线y=：上，4B〃x轴，过点4作AD1x轴

于。，连接0B,与4。相交于点C,若48=2。。，则k的值为.

20.如图，AB是。。的直径，弦BC=6c?n,4c=8cm.若动点P

以2crn/s的速度从B点出发沿着B->4的方向运动，点Q以

lcm/s的速度从A点出发沿着4-C的方向运动，当点P到达

点4时，点Q也随之停止运动.设运动时间为t(s),当AHPQ

是直角三角形时，t的值为

三、解答题(本大题共6小题，共48.0分)

21.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图(图1)和不完整的

扇形图(图2),其中条形图被墨迹遮盖了一部分.

(1)求条形图中被遮盖的数，并写出册数的平均数、中位数、众数；

(2)全校共有1200名学生，求读书超过5册的学生的人数.

(3)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现

册数的中位数没改变，则最多补查了人.

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人数人

图2

22.已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.

23.如图，在RtAABC中，44cB=90。，点E是BC的中点，以AC为直径的。。与4B边

交于点D,连接DE.

(1)判断直线DE与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若CD=3,CE=|,求。。的直径.

24.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高

科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，

年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销

售量y（单位：台）和销售单价支（单位：万元）成一次函数关系.

（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万

元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

25.如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF,卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建

筑物一层2点沿直线4。出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F,测得仰角

乙4CF=60°,ZC长7米.接着卓玛再从C点出发，继续沿4。方向走了8米后到达B点,

此时刚好能看到信号塔的最低点E,测得仰角NB=30。.（不计卓玛同学的身高）求信

号塔EF的高度（结果保留根号）.

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26.在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数

的点为整点.如图，已知双曲线丫=3(>>0)经过点4(2,2),

记双曲线与两坐标轴之间的部分为G(不含双曲线与坐标轴).

(1)求k的值；

(2)求G内整点的个数；

(3)设点B(rn,n)(m>3)在直线y=2x-4上，过点B分别作

平行于x轴，y轴的直线，交双曲线y=§(x>0)于点C、D,记线段8C、BD、双曲

线所围成的区域为W,若“内部(不包括边界)不超过8个整点，求机的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式.

根据反比例函数图象上点的坐标特征，将(-1,-2)代入已知反比例函数的解析式，列出

关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值.

【解答】

解：根据题意，得一2="，即2=k—l,

解得，k=3.

故选：D.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的定义.只有一个未知数且未知数最高次数为2系数不为0的整

式方程叫做一元二次方程，一般形式是a/+公+c=0(且a*0).特别要注意a丰。的

条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.根据一元二次方程的定义即可求解.

【解答】

解：由题意得：3|m|-l=2,

解得m=—1或m=1.

：m—1¥0

二m=1不符合题意，舍去，即7?1=-1；

:.它的一次项系数=1.

故选艮

3.【答案】A

【解析】解：在这组数据中出现次数最多的是3,即众数是3；

把这组数据按照从小到大的顺序排列3,3,3,4,4,5,6,

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二中位数为4；

故选：A.

在这组数据中出现次数最多的是6,得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的

顺序排列，中间的数是中位数.

本题考查一组数据的中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；在求中

位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间

两个数字的平均数即为所求.

4.【答案】A

【解析】解：连接。4设。。的半径为r,

rAB垂直平分半径OC,AB=后，

...AD=-=^,0D=\,

222

在中，

0A2=OD2+AD2,即「2=针+承2,

解得r=V2.

故选A.

连接04设。。的半径为r,由于AB垂直平分半径0CMB=遥,则40=弓=争0。=：,

再利用勾股定理即可得出结论.

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此

题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：轴，PC_Ly轴，

矩形0APB的面积=|一4|=4,

故选：C.

直接根据反比例函数y=久卜手0）系数k的几何意义求解.

本题考查了反比例函数y=不0）系数k的几何意义：从反比例函数y=§（k丰0）图象

上任意一点向X轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为因.

6.【答案】C

【解析】解：1•1-y|=0，(~~cosB)2=0>

二sinA——=0，——cosB=0>

22

..V2V3

sinA=—，——=cosnB，

22

.•.乙4=45°,乙B=30°,

zC=180°一乙A—LB=105°.

故选C.

本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0,这两个非负数的值都为0.”分别求

出NB的值.然后用三角形内角和定理即可求出NC的值.

本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键

是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算.

7.【答案】4

【解析】解：：N4CB=90。，DE//BC

DE1AC

•••图中的所有的三角形都是直角三角形

••・在直角A/IBC和直角△BOC中，4B=LB

**•△ABC~〉CBD

同理：XAED,△EC。，△4。。均与448。相彳以

•••共有四个

故选A.

根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案.

本题考查相似三角形的判定，直径的性质等知识点的综合运用.

8.【答案】D

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【解析】解：连接。B,

v乙BCE=30。，AP-6、心~~

乙BOD=2"=60°,------<C

・••BC是。。的切线，

乙OBD=90°,

•••NO=90°-60°=30°,

故选：D.

连接OB,根据圆周角定理得到4BOD=60。，根据切线的性质得到NOBD=90。，于是

得到ND=90°-60°=30°.

本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：••・从半径为9cm的圆形纸片剪去:圆周的一个扇形，

••・剩下的扇形的角度=360°x|=240°,

••・留下的扇形的弧长=嘿2=12兀，

loU

•••圆锥的底面半径r=子=6cm,

27r

・•・圆锥的高=V92-62=V45=3v5cm.

故选人

因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==黑=12兀，

loU

所以圆锥的底面半径丁==6cm,所以圆锥的图=V92—62=V45=3V5cm.

主要考查了圆锥的性质，要知道(1)圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，(2)此

扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

10.【答案】C

【解析】解：当CD是4B的垂线时，，AACDFCBD.

•・•CDLAB,

・•・Z.CDA=乙BDC=90°,

・••乙ACB=90°,

・♦・+乙ACD=Z.ACD+乙BCD=90°,

・•・Z-A=乙BCD,

・•・△ACD^^CBD.

根据作图痕迹可知，

A选项中，CD是44cB的角平分线，不符合题意；

B选项中，CD不与4B垂直，不符合题意；

C选项中，CD是4B的垂线，符合题意；

。选项中，CC不与4B垂直，不符合题意；

故选：C.

如果△ACD-^CBD,可得NC/Z4=乙BDC=90°,即CO是4B的垂线，根据作图痕迹判

断即可.

本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题

的关键.

11.【答案】B

【解析】解：•.•四边形4BCD为0。的内接四边形，

•••乙4=180°-乙BCD=60°,

由圆周角定理得，4800=244=120。，

故选：B.

根据圆内接四边形的性质求出乙4,再根据圆周角定理解答.

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题

的关键.

12.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识；熟练掌握

矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键.

证明△BEF7D2F,得出EF=^4尸，EF=\AE,由矩形的对称性得：AE=DE,得

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出EF=[OE,设EF=x,则CE=3x,由勾股定理求出。尸=诉声=萨=2&x,再

由三角函数定义即可得出答案.

【解答】

解：•••四边形4BCD是矩形，

.-.AD^BC,AD//BC,

•••点E是边BC的中点，

BE=-2B2C=-AD,

BEF〜ADAF,

•.•EF_BE_1,

AFAD2

EF=-2AF,

•••EF=-AE,

3

•.•点E是边BC的中点，

•••由矩形的对称性得：AE=DE,

EF=^DE,设EF=x,则CE=3x,

•••DF=VDF2-EF2=2缶，

.,nni-EFXy/2

・•・tanZ-BDE=—=-f=-=——；

DF2y/2x4

故选A.

13.【答案】C

【解析】解：设参加酒会的人数为x人，

根据题意得：1x(x-1)=55,

整理，得：x2-X-110=0,

解得：xx=11,%2=-1。(不合题意，舍去).

答：参加酒会的人数为11人.

故选：C.

设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的

一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

14.【答案】D

【解析】解：,••在〃1BCD中，AO=^AC,

•・•点E是。力的中点，

•■AE=-CE,

3

•:AD]IBC,

••・△AFE^LCBE,

AFAE1

“BC一CE-3’

-AD=BC,

.-.AF=^AD,

.•嗡=去故①正确；

■:S"=4,鬻=瓷）2=3，

S4BCE=36;故②）正确；

EFAE1

"BE-CF_3,

.S"EF_1

S^ABE3

SMBE=12，故③正确；

BF不平行于CD,

•••△4后/与^ADC只有一个角相等，

・•・△4EF与AACO不一定相似，故④错误,

故选：D.

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定

和性质是解题的关键.

15.【答案】-4

【解析】解：把x=。代入一元二次方程(a-l)x2+a2+3a-4=0,

可得a?+3a-4=0,

解得a=-4或1,

•.•二次项系数a-1H0,

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・•・QH1,

：,a=—4.

一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,

即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将X=0代入原方程即可求得a的值.

本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a-

1*0,因此在解题时要重视解题思路的逆向分析.

16.【答案】67°

【解析】解：PA,PB分别与。。相切于4,B点，

^OAP=90°,Z.OBP=90°,

/.AOB=360°-90°-90°-46°=134°,

由圆周角定理得，NC=：N4OB=67。，

故答案为：67°.

根据切线的性质定理得到乙。”=90。，乙OBP=90°,根据四边形的内角和等于360。求

出N40B,根据圆周角定理解答.

本题考查的是切线的性质，圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周

角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.

17.【答案

【解析】解:△ABC为等边三角形，

•••AB=DC,乙B=Z.C=60°,

・・./.BAD+Z.ADB=180°-60°=120°,Z.ADE=60°,

・・•乙CDE+Z.ADB=180°-60°=120°,

・•・Z,BAD=乙CDE,

**•△ABD^/s.DCEf

ABAD

:.--=--,

DCDE

•:BD：DC=1：2,

・B•C・一=3

CD2

AB3

・•・一=一，

CD2

32

**2-~DE9

J.DE=

3

故答案为：

由等边三角形的性质得出=DC,zB=zC=60°,证明AABD〜ADCE,由相似三

角形的性质得出喘=缁则可求出答案.

£/CUE,

本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定

与性质是解题的关键.

18.【答案】£

【解析】

【分析】

本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边

比斜边；正切等于对边比邻边.也考查、折叠与对称，勾股定理等知识点.

折叠后形成的图形相互全等，设BE=x,则CE=8-x,在BCE中利用勾股定理

求HI8E,利用三角函数的定义可求出.

【解答】

解：根据题意，8后=4/.设3?=%,则CE=8-x.

在Rt^BCE中，%2=(8-%)2+62,

解得x=F，故CE=8-V=g

444

AtanZ.CBF=—=—.

CB24

故答案为

24

19.【答案】18

・•・四边形AF。。是矩形，四边形OEBF是矩形，

：.AF=OD,BF=OF,

:.AB=DE,

•・•点/在双曲线y=:上，

S矩形AFOD=6,

同理S矩形0EBF=k,

-AB=2。。，

・•・DE=20D,

AS矩形QEBF=3s矩形AFOD=18,

:.k=18,

故答案是：18.

过点B作BE1%轴于凡延长线段B4交y轴于F,得出四边形AF。。是矩形，四边形OEBF

是矩形，得出S矩形4FOO=6,S矩形OEBF=及,由4B=20D,得到0E=30D,即可求得

矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得A的值.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数A的几何意义，矩形的判

定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键.

20.【答案】争唱

【解析】解：如图，TAB是直径，

・・・ZC=90°.

又BC=6cm,AC=8cm,

根据勾股定理得到SB=y/AC2+BC2=10cm.

则4P=(10-2t)cm,AQ=t.

••・当点P到达点4时，点Q也随之停止运动，

A0<t<2.5.

①如图1,当PQ1AC时，PQ//BC,则

△APQsxABC.

故冷笫即T，解得"盘

图2

②如图2,当PQJ.4B时,xAPQs^ACB,则笠=%即詈=白，

/1C/iooXU

解得t=y.

综上所述，当£=£或1=^时，AZPQ为直角三角形.

故答案是：/或

应分两种情况进行讨论：①当PQ1AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQsZ\4BC,

可将时间t求出；当PQ14B时，△APQ为直角三角形，根据△APQs^ACB,可将时间

t求出.

本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力.在

求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解.

21.【答案】3

【解析】解：(l)i•被调查的总人数为6+25%=24(人)，

5册的人数为24-(5+6+4)=9(A),

平均数为(4X5+5X9+6X6+4X7)+24=:(册)，

被抽查的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5

册，

二被抽查的学生读书册数的中位数为5册，

众数是5册，

答：条形图中被遮盖的数是9,册数的平均数是千册，中位数是5册，众数是5册；

O

(2)1200x^=500(A),

答：全校读书超过5册的人数约为500人；

(3)•；4册和5册的人数和为14,中位数没有改变，

二总人数不能超过27,即最多补查了3人，

故答案为：3.

(1)由6册人数及其所占百分比求出总人数，再根据各册数的人数和等于总人数可得5册

人数；

(2)用1200乘以对应人数所占比例即可得；

(3)由4册和5册的人数和为14,中位数没有改变知总人数不能超过27,据此可得答案.

本题考查了概率公式，也考查了统计图和中位数，能从统计图中读取相关信息是解题关

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键.

22.【答案】解：(1)由题意知，△=(2m)2-4(m-2)(m+3)>0,

解得：m<6,

又m—2。0,即mK2,

则m<6且m力2；

(2)由(1)知m=5,

则方程为3/+10%+8=0,

即(x+2)(3x+4)=0,

4

解得久=-2或%=一3

【解析】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程

的根的情况与判别式的值之间的关系.

(1)由A>0得到关于m的不等式，解之得到讥的范围，根据一元二次方程的定义求得答

案；

(2)由(1)知m=5,还原方程，利用因式分解法求解可得.

23.【答案】(1)证明：连接DO,如图，

v/.BDC=90°,E为BC的中点，

■1•DE=CE=BE,

•••Z.EDC=Z.ECD,

又「OD=OC,

/.ODC=/.OCD,

而ZOCD+乙DCE=Z.ACB=90°,

4EDC+Z.ODC=90°,即㈤)。=90°,

•••DE1OD,

•••DE与。。相切：

(2)由(1)得,/.CDB=90°,

vCE=EB,

：.DE=-BC,

2

・•・BC=5,

・•・BD=ylBC2-CD2=V52-32=4，

v乙BCA=Z.BDC=90°,48=

**•△BCA^^BDC,

ACBC

:.—=—,

CDBD

,AC_S

：■—=)

34

**•AC=—,

4

・・.。。直径的长为冷.

4

【解析】(1)连接D。，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由4BDC=90。，E为

BC的中点得到DE=CE=BE,则利用等腰三角形的性质得4EDC=NEC。，乙ODC=

/.OCD,由于NOCD+乙DCE=4ACB=90°,所以NEDC+4ODC=90°,即4ED。=90°,

于是根据切线的判定定理即可得到DE与。。相切；

(2)根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论.

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要

证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即

可.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质.

24.【答案】解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为、=/^+匕(卜大0),

将(40,600)、(45,550)代入、=%》+6,得：

C40/c+b=600

l45/c+b=550'

解得:忆温，

二年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-lOx+1000.

(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为30)万元，销售数量为

(一lOx+1000)台,

根据题意得:(x-30)(-10x+1000)=10000,

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整理，得：%2-130x4-4000=0,

解得：x1=50,x2=80.

•••此设备的销售单价不得高于70万元，

•*,x—50.

答：该设备的销售单价应是50万元/台.

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关

键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；(2)找准等量关系，正确列

出一元二次方程.

(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；

(2)设此设备的销