2020-2021学年度八年级数学竞赛（第一讲）：三角形边角关系

2020-2021学年度八年级数学竞赛（第一讲）

三角形边角关系

卷（（选择题）

一、选择题（本题共计16小题，每题3分，共计48分，）

1.如图，在&ABC中,AB=AC,/-BAC=120°,AD_LBC于点D,4E_L4B交BC于

2

点E.若S^ABC=9m2+n,S^ADE=mn,则zn与TI之间的数量关系是（）

A

:

p

F

:5

A.m=3nB.m=6nC.n=3mD.n=6m

:q2.在△ABC中，AB=3,AC=V3.当NB最大时，BC的长是（）

支

A.-B.V6C.—D.2V3

22

区3.设P是高为九的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x,y,z（x<y<z）.若

+

以x,y,z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为（）

11111Q2

A.小Wz（力B,-h<z<-hC,-h<z<-hD,-h<z<h

4.根据下列条件中能确定一个三角形的是（）

A.AB=3,BC=4,AC=8B.4B=4,BC=3,4A=30°

CZ4=60°,/-B=45°,AB=4D.zC=90°,48=6

5.在等边△4BC所在平面上的直线m满足的条件是：等边△ABC的3个顶点到直线小的

距离只取2个值，其中一个值是另一个值的2倍，这样的直线m的条数是()

A.16B.18C.24D.27

6.已知a,b,c是△ABC的三条边的边长，且2=二+0+'7?则（）

「b+cc+aa+b

A.存在三角形使得p=1或p=2B.O<p<1

C.l<p<2D.2<p<3

7.△ABC的三条外角平分线所在直线相交成一个AAB'C',则△A'B'C'OK

K

A.一定是直角三角形B.一定是钝角三角形苗

K

C.一定是锐角三角形D.一定是等腰三角形K

仙

太

太

工

K

8.己知A/IBC的两条高线的长分别为5和8,若第三条高线的长也是整数，则第三条高K

W

线长的最小值为()K

K

A.2B.3C.4D.5M

&

K

卑

K

9.观察图(1),容易发现图(2)中的41=42+43.把图(2)推广到图(3),其中有8个角:K

可以验证成立.除此之外，恰好还有一组正整H

Zl.Z2,Z8.41=42+45+48K

数x,y,z,满足2WxWyWz48,使得乙1=+z_y+z_z,那么这组正整数太

(x,%z)=()

'-

K

K

E

&

K

10.如图，已知N4OM=60。，在射线0M上有点B,使得AB与。B的长度都是整数，由

此称8是"完美点"，若。4=8,则图中完美点B的个数为()

A.1B.2C.3D.4

试卷第2页，总52页

11.在△ABC中，AB=AC=a,BC=b,4=36。，记巾=^，n==《，则

a-babrb3

m.n、p的大小关系为（）

A.m>n>pB.p>m>nC.n>p>mD.m=n=p

12.△ABC有一边是另一边的2倍,又有一个内角等于30。，则下列正确的是（）

AZABC不是直角三角形BZABC不是锐角三角形

CnABC不是钝角三角形D.以上答案都不对

13.已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为0

A.12B.17C.17或19D.19

:D

F

14.设P是边长为a的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x,y,z（x<y<

z）.若以x,y,z为边可以组成三角形，贝Hz应满足的条件为（）

.V3,.V3„V3,，有

:A.—Cl工Z<—ClB.—Cl工ZV—CLC.—CL工Z<--CLD.--CLWZ<—CL

586644882

15.三条边都是质数的三角形可能是（）

①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形⑤等边三角形.

:q

头A.①②③④B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤

16.如图所示，A、B、C为长方体的三个顶点，则△ABC的形状是（）

区

+

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

卷〃（非选择题）

二、填空题（本题共计12小题，每题3分，共计36分，）

>

17.设锐角三角形4BC的内角4、B、C的对边分别为a、b、c,a=2bsinA,则NB的大

小为.

18.如图，4ABD,△4CE都是正三角形，BE和CD交于。点，贝IJ/BOC=度.

3

K

K

苗

K

19.如图，在四边形A8C。中，对角线4C平分4840,AB>AD,试判断AB-40与K

CD—CB的大小关系，并证明你的结论.仙

太

解：结论：太

M

工

K

K

W

K

K

M

&

K

卑

K

K

H

K

太

20.已知四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，则这个四边形的

最大内角为.'-

K

K

E

&

21.△ABC中，有一内角为36。，过顶点4的直线力。将△ABC分成2个等腰三角形，则满K

)

足上述条件的不同形状(相似的认为是同一形状)的△ABC最多有个.

22.已知△ABC的三边分别是x,y,z,①以次，、/夕，6为三边的三角形一定存在；

②以小,y2,z2为三边的三角形一定存在；③以*x+y),|(y+Z),“尤+Z)为三

•

一

、

边的三角形一定存在；④以|x—y|+l,|y-z|+l,|z-x|+l为三边的三角形一定

存在；上述四个结论中，正确的是.

23.三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共)

线.现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为

试卷第4页，总52页

24.如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称Q,y,z)是三角形数.若

(a,b,c)和白层)均为三角形数，且aWbWc,贝q的取值范围是.

25.已知△力BC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条

高线长的最大值为.

26.已知锐角三角形力BC的三个内角A、B、C满足：A>B>C,用a表示4-B,

8-。以及90。一4中的最小者，则a的最大值为.

:D27.钝角三角形4BC中,有一个角等于6。。，则最长边c与最短边a的比值;的取值范围是

F

:528.已知三角形的三边依次为"-1,2n,n2+1,当n取2至10这9个自然数时，得到

9个不同的三角形，其中具有最小内角的三角形的三边长依次为.

三、解答题(本题共计12小题，每题10分，共计120分，)

:q

头29.如图，在A4BC中，AB=AC,4c的垂直平分线分别交48、4c于点。、E.若48

=10cm,A/IBC的周长为27cm,则△BCD的周长为17cm.

区

+

30.已知：直线y=kx+2k+3(/c丰0)恒过某一定点P.

(1)求该定点P的坐标；

(2)已知点4B坐标分别为(0,2),(3,2),若直线2与线段AB相交，求k的取值范围;

(3)在0WXW3氾围内，任取3个自变量匕,%2，%3，匕们对应的函数值分别为丫1，丫2/3,

若以外，光/3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围.>

31.如图，AABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E,CE=CD,

3

K

K

苗

K

(2)在图中过。作DF_LBE交BE于F,若CF=4,求△ABC的周长.K

仙

太

太M

32.已知a、b为实数，关于x的方程|/+。％+加=2恒有三个不等的实数根.工

K

(1)求b的最小值；K

W

K

K

M

(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一&

K

个内角是60°

卑

K

K

H

(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值.K

太

33.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且满足：丝=迎二2=卜.'-

c-bb+cK

K

E

(1)求证：k=手；&

2cK

)

(2)求证：c>b-,

(3)当k=2时，证明：AB是的△ABC最大边.

•

一

、

34.已知直角三角形的边长均为整数，周长为60,求它的外接圆的面积.

35.数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个?)

为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：

试卷第6页，总52页

数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和

大于21,有多少种不同的取法？

为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化.

数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？

为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：

数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和

大于21,有多少种不同的取法？

为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化.

(1)在1〜4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4,有

多少种不同的取法？

根据题意，有下列取法：1+4,2+3_2+4,34-22_3+4,44-12_4+2J_4+3；

而1+4与4+1,2+3与3+2,...是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次,

因此共有上等=4=?种不同的取法.

(2)在1〜5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5,有

多少种不同的取法？

根据题意，有下列取法：_1+5,2+4-2+5,3+4-3+5,4+2_4+3=_4+

5；5+1-5+2-5+3-5+4,而1+5与5+1,2+4与4+2,...是同一种取法，

所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有/2+/+3+f=6=中种不同的取法.

24

(3)在1〜6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6,有

多少种不同的取法？

根据题意，有下列取法：1+6,2+5-2+6,3+4-3+5-3+6,4+3.4+5-

4+6,5+29_5+3j_5+42_5+6,6+lj_6+_6+3t_64_4j_6+5；而1+6与

6+1,2+5与5+2,…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共

有1+2+3+3+4+5=9=2种不同的取法.

24

(4)在1〜7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7,有

多少种不同的取法？

根据题意，有下列取法：1+7,2+6-2+7,3+5-3+6-3+7,4+5-4+6-

4+7,5+3j_5+_5+62_5+7,6+2乙_6+32_6+4^_6+52_6+7,7+_

7+2-7+3-7+4-7+5-7+6；而1+7与7+1,2+6与6+2,…是同一种取法,

所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有1+2+3+：+4+5+6=I2=21种不同的取

24

法…

问题解决：

依照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题

(1)在1〜21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21,

有种不同的取法；(只填结果)

(2)在1〜n(n为偶数)这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之

和大于n,有种不同的取法；(只填最简算式)

（3）在1〜n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之

和大于n,有种不同的取法；（只填最简算式）

（4）各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写

分析过程）

问题拓展：

（5）在1〜100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于

100,有种不同的取法；（只填结果）

（6）各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写

分析过程）

（7）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写

分析过程）

K

K

苗

36.设整数a,b,c（aNb2c）为三角形的三边长，满足a?+b?+c?-a£>-ac-bc=K

K

13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.仙

太

太

工

K

37.有麦田5块，如图中的4、B、C、。、E,它们的产量（单位：吨）、交通状况和每K

相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此W

K

打场、问建在哪块麦田上（不允许建在除麦田以外的其他地方）才能使总运输量最小?K

M

图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a,b,d表示距离，b<a<d.&

K)

卑

K

K

H

K

太

R

'-

K

38.我们都知道，在等腰三角形中.有等边对等角（或等角对等边），那么在不等腰三K

E

角形中边与角的大小关系又是怎样的呢？让我们来探究一下.&

K

如图1,在AHBC中，已知4B>4C,猜想NB与4c的大小关系，并证明你的结论；

证明：猜想4c>48,对于这个猜想我们可以这样来证明：

在4B上截取4D=4C,连接CD,

0AB>AC,0点。必在NBCA的内部

回Z.BCA>Z.ACD

0AD=AC,13Z.ACD=/.ADC

又团NADC是△BCD的一个外角，04ADC>4B

124BCA>Z.ACD>乙BERzC>乙B

上面的探究过程是研究图形中不等量关系证明的一种方法，将不等的线段转化为相等

的线段，由此解决问题，体现了数学的转化的思想方法.请你仿照类比上述方法，解

试卷第8页，总52页

BB

B

D

A

决下面问题：12

(1)如图2,在△ABC中，已知4c>8C,猜想NB与NA的大小关系，并证明你的结论;

(2)如图3,AABC中，已知NC>*B,猜想4B与AC大小关系，并证明你的结论;

(3)根据前面得到的结果，请你总结出三角形中边、角不等关系的一般性结论.

:D39.已知直角三角形的三边a、b、c都是正整数，c为斜边，k为正整数，且a+b+c

F

2

问：当％为何值时这样的三角形存在，并求c的值.

:5

40.一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等.试确定这个直角

三角形三边的长.

:q

头

区

+

>

参考答案与试题解析

数学竞赛第一讲：三角形

3

一、选择题（本题共计16小题，每题3分，共计48分）

1.

【答案】

CK

K

【考点】百

K

K

三角形边角关系仙

太

太M

等腰三角形的性质C

K

等腰三角形的性质与判定K

解

【解析】K

K

M

此题暂无解析

&)

K

【解答】卑

K

K

解：设AD=x,H

K

K

■■■AB=AC,Z.BAC=120°,M

KR

NB=30°,K

'-，

在RtMBD中，K

K

E

BD=R=%=6x,&

tanS在

3K

)

AB=2AD=2x,

则BC=2BD=2>/3x,

在RtUBE中，

DCAB2x4V3

BE=---------7=*=——X,•

cosBV33一

、

3

・•.DE=BE-BD=—%,

3

..S—BC_I2依次_A

,小一7^7'

)

:、9m2+n2=6mn，

试卷第10页，总52页

即(n—3m>=0,

•••n=3m，

故选C.

【点评】

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2.

【答案】

B

【考点】

三角形边角关系

切线的性质

勾股定理

【解析】

以4C为半径作Oa,当BC为。。的切线时，即BC14C时，NB最大，根据勾股定理即

可求出答案.

【解答】

解：以A为圆心，依据AC为半径作0