2022年甘肃省兰州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022年甘肃省兰州市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.记者要为五位志愿者和他们帮助的两位老人拍照，要求排成一排，两位老人

相邻但不排在两端，不同的排法共有（）

A.1440种B.960种C.720种D.480种

函数〉二r）的最小正周期是（）

9Z.-

A.A.TT/2B.nC.2TID.4TT

3下列送效在XRJ：O,-b）上为学函数为是

4.已知cos2a=5/13(3n/4<a<n),贝！Jtana等于()

A.A.-3/2B.-2/3C.2/3D.3/2

5.与直线3x-4y+12=0关于y轴对称的直线方程为

A.=十专=1B工+上=1

4一3

C.告+3=1

—4—3

6.函数y=6sinxcosx的最大值为（）。

A.lB.2C.6D.3

7.下列函数中，为偶函数的是（）

A*（*）'

B.尸（T/

C.1y="—}

A.A.AB.BC.CD.D

(1)设集合，・11,2,3.4.51.*^^12.4,6,8,101•则PCQ・

(A)|2.4|(B)11.2.3.4.5,6,8.101

8.(C)121<r»Ml

9.过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为()

A.x/5+y/5=lB.x/5+y/5=l或y=3/2xC.x+y=5D.y-3=3/2(x-2)

10.已知-,且x为第一象限角，则sin2x=0

4

AJ

24

BA

18

C.25

12

D.25

过函数y=0图像上一点尸作了轴的垂线PQ.Q为垂足,0为坐标原点，则40PQ

的面积为()

(A)l(B)2

11(C)3(D)6

函数y=COBy的最小正周期是

(A)6ir(B)3ir

(C)2宣(D)手

12.

13.空间向量a=(L&.l)与z轴的夹角等于

A.A.300B.45°C.60°D.90°

设集合A=|K11W2|,8=xN-U,则4c8=

(A)|xllxl«1|(B)|*llxl<2|

14(C){xl-1WxW2}(D)|xl-2C-1|

15.抛物线y=ax2(aV0)的焦点坐标是()

A.号,0)

4

4

D.(--f-,0>

4

A.A.AB.BC.CD.D

16.、()

A.A.l

B.2

C.4

D.

17.一个科研小组共有8名科研人员，其中有3名女性.从中选出3人参加学术

讨论会，选出的人必须有男有女，则有不同选法()

A.56种B.45种C.10种D.6种

i为虚数单位，则(2-3i)(3+2i)=()

(A)12-13i(B)-5«

18(C)12+5<(D)12-5i

19.若-1,以，6,c,-9五个数成等比数列，则()

A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=-3,ac=-9D.b=3,ac=-9

20.设好数目=（其中i他虚数单位•施工（）

A.A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i

21.从2、3、5三个数中，任取两个数，可组成()个真分数

A.2B.3C.4D.5

22.下列()成立.

A.O.76O12<1

（）

C.logaa+1<loga+ia

23.下列函数中为奇函数的是()

A.A.y=2Igx

B.;T十3，

C.L、【…「

D.

24.设f(x)=ax(a>0,且a#l),则x>0时，0<f(x)〈l成立的充分必要条件是

()

A.A.a>1

B.O<a<1

D.l<a<2

25.若函数f(x)是奇函数，则函数•sE(3一')的奇偶性是

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数

26.下列函数的周期是n的是()

A.f(x)=COS22X-sin22x

B.f(x)=2sin4x

C.f(x)=sinxcosx

D.f(x)=4sinx

已如小B足椭物找y'=8x上两点.且此抛物技的斑点在段段彳8h.fiA.B

两点的横型林之和为10.»j|48卜

(A)18(B)14(C)12(D)10

27.

28.下列函数的周期是n的是

/(X)=cos22x-sin22x

B.F(x)=2sin4x

C.F(x)=sinxcosx

D.F(x)=4sinx

29.若tana=3,贝!|tan(a+兀/4)=()。

A.-2B.l/2C.2D.-4

已知叫b€R\且ab=a+6+3,则ab的取值范围是()

(A)a6W9(B)a6>9

(C)3Wabw9(D)Q6N3

JU.

二、填空题(20题)

31.球的体积与其内接正方体的体积之比为

32.设离散型随机变量的分布列如下表，那么的期望值等于

-0

€65.454

0.060.04

P0.70.10.1

已知(1+工尸=人+4,1+0；/+-T中.3%.■2«・.H(么(1+工),的展开式

33.；中网・及依次通

34.

35.椭圆x2+my2=l的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是

直线£+4”12=0与N轴、y轴分别交于4,5两点,0为坐标原点，则△048的

36.周长为--------

38.函数/（外=入'-3丫'+1的极大值为

39.

函数的图像与坐标轴的交点共有个.

40.直线3X+4y-12=0与X轴、Y轴分别交于A,B两点，0为坐标原点，则

△0AB的周长为.

41.已知正方体的内切球的球面面积是s,那么这一正方体外接球的球面面积是

42.一镰理曝礴噬鳏耀警然4''「』

43.

sin200cos20'cos400

mT0°

某射手有3发子弹,射击一次.命中率是0.8,如果命中就停止射击，否则一直射到

44,子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是________

45.设复效什♦2i“・八）的女钵和虚备相等.JH

已知大球的表面积为100%另一小球的体积是大球体积的1，则小球的半径

4

46.是.

47.设函数f(x)=x+b,且f(2)=3,贝！If(3)=

48.

已知平面向量a=(L2),b=(-2,3),2a+3b=.

49.设离散型随机变量f的分布列如下表所示，那么<的期望等于

10090so

■・一"M

P0.20.S0.3

从生产一批袋装牛肉松中随机抽取10袋测得重量如下,（单位:克）

76908486818786828583

5则样本方差等于

□0.

三、简答题（10题）

51.

（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为号,且该椭圆与双曲线六八।热点相同,求椭08的标准

和准线方程.

52.(本小题满分12分)

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。现采取提高售出

价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10

件，问将售出价定为多少时，赚得的利润最大？

53.(本小题满分12分)

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

Q)过这些点的切线与x轴平行；

(2)过这些点的切线与直线y=x平行.

54.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500件，如果这种衬衫

每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获得大利润，问售价应为多少？

55.(本小题满分12分)

已知6,吊是椭志+2=1的两个焦点/为椭圆上一点,且4Kp5=30°,求

△尸K吊的面积.

56.(本小题满分12分)

设一次函数f(x)满足条件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(0)=-1,求f(x)的解析式.

57.

(本小题满分12分)

已知参数方程

x=-(e1+e")co血

y=-e-1)sinft

(1)若，为不等于零的常量，方程表示什么曲线？

(2)若叭®dy,*eN.)为常量.方程表示什么曲线?

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点.

58.

（本小题满分13分）

2sin0cos0♦—

设函数/(6)=.-,0€[0,­]

sin©+cos。2

⑴求/优)；

(2)求/(。)的最小值.

（23）（本小题满分12分）

设函数/（幻=/-2^+3.

（I）求曲线y=/-3+3在点（2,11）处的切线方程；

59（H）求函数/（4）的单调区间.

60.

（24）（本小题满分12分）

在△48C中,4=45。,B=60。,=2,求△ABC的面积.（精确到0.01）

四、解答题（10题）

已知公比为g（q，l）的等比数列｛a.｝中，a,=-1,前3项和S,=-3.

（I）求g；

61（II）求｛4｝的通项公式.

62.

已知双曲蝠一若=1的两个焦点为艮㈤•点「在双曲线上•若PEUB,求：

（I）点P到/轴的距离；

CIDAPF.F,的面积.

_2

63.双曲线的中心在原点0,焦点在x轴上，且过点（3,2）,过左焦点且斜率为的直线交

两条准线于M,N,0M10N,求双曲线方程.

设南败"・=^，"0号】

⑴求人

(2)求人")的最小值.

64.

65.

如图，AB与半径为1的00相切于A点，AE=3,AB与。0的弦AC的夹角为

50。.求

⑴AC；

⑵△

ABC的面积.(精确到0.01)

an口5壬干的=X24-v2+4xsin0—4ycoS=

66.已知关于x,y的方程"-

证明：

(1)无论0为何值，方程均表示半径为定长的圆；

(2)当e=Ji/4时，判断该圆与直线：y=x的位置关系.

67.已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex(x,a£R).

(I)当a=0时，求函数f(x)的图象在点A(Lf(l))处的切线方程;

(II)当a=-5/2时,求函数f(x)的极小值.

68.已知数列,为'的前n项和S

求证：是等差数列，并求公差与首项.

69.已知函数f(x)=2x3-12x+l,求f(x)的单调区间和极值.

70.

已知尸1，尸2是椭圆卷+^4=1的两个焦点,p为椭圆上一点，且乙F1PF1=30。,求

△PFE的面积.

五、单选题(2题)

71.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，每次取出三个数相乘，可以得到不同乘积的个数

是()

A.10B.llC.20D.120

72.

(5)设3=——zr-.i是虚数单位，贝Iw工等于

I…i

⑻芋(B)孕(C)(D)竽

»11

六、单选题(1题)

73.直三棱柱的每个侧面的面积为5,底面积是10,全面积是0

A.15B.20C.25D.35

参考答案

1.B

B【解析】将两位老人排在一起有AZ种方法，

再将五位志愿者排在一起有Ai种排法，最后将两

位老人排在五位志愿者中的四个空中，有C；种方

法.故共有闻&C1=960种方法，故选B.

【考点指要】对相邻的问题通常将相邻的元素看成一个整体，采用“捆绑

法”.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的基础.

2.B

3.D

4.B

5.D

先将3x-4y=-12转化为截距式

①——3=】=＞工+上＞=】.

-12-12-43,

将“换为一］,

故逸D.

6.D该小题主要考查的知识点为函数的最大直【考试指导】二6sinxcosx=3sin2x,当sin2x

二1时y取最大值3.

7.C

根据函数的奇偶性的定义可知）为偶函数.（答案为C）

8.A

9.B选项A中，x/5+y/5=l,在轴上截距为5.但答案不完整.1・选项B中有两个方程，y=3/2x

在x轴上横截距与y轴上的纵截距都为0,也是相等的.选项C,虽然过点（2,3）,实质上与选

项A相同.选项D,转化为y=3/2x,答案不完整.

10.B

由于x为第一象限角，故因此sin2x=2sinxcosx=

11.C

12.A

13.C

14.C

15.C

产W即为/=*.，焦点坐标为（答案力C）

a4z2

16.C

利用三角函数的诱导公式、二角差的正弦公式及二倍角的正弦公式进行计算求

值.

1__G,sin80.~yisml01>>80•二百cos8(r2(:3-0」呼啦20・)

sin10*sin80*-sinl6*sin80"-sinlO*cx)slO*~sinlOcoslO

4ain(80"-60')—4*in2O**,***,・、

17.B

由题意，共有3女5男，按要求可选的情况有：1女2男，2女1男，故

"=C（•（。一心（种）.本题是组合应用题.考生应分清本题无顺序要求，两种情况

的计算结果用加法（分类用加法）.

18.D

19.B

因为T,a,b,c,-9成等比数列，所以ac=b2=-lX（-9）=9,所以ac=9,

b=±3.又因为-1,a,b成等比数列，则a2=-b>0,所以b=-3.本题主要考查等

比数列、等比中项的概念及计算.应注意，只有同号的两个数才有等比中项.

20.C

乜•（】十2i）（2—i）=4+3i•则说•匕=4-31（善案为C）

21.B

从2、3、5中任取两个数，大数做分母，小数做分子，两个数组成的分数是真

分数形式只有一种，所以所求真分数的个数为亡=3种

如图.A.丁0.76°,2,a=0.76<1为减函数，又

VO.12>0,.\0.76°12Vl.

BJog^-y,a=V2>l为增函敕，又•.,0v4-<l.；.|og/r4vo.

CJo&Q+l）,因为。没有确定取值范围,分］两种

情况.0

D,V2012,a>l为增函数，2°”>2°

23.D

对于D,f(―x)=(—x)3+tan(—x)=—(x3+tanx)=-f(x).(答案为D)

24.B

25.A

因为f(x)的奇函数所以f(-x)=-f(x)因为F(x)=f(x)*(-cosx)=-f(x)cosx所以

F(-x)=-f(-x)cos(-x)=f(x)cosx=-F(x)所以F(x)=f(x)*，吟r)

为

奇函数(全真模拟卷3)

26.C求三角函数的周期时，■般应将函数转化为y=Asin(3x+a)或：y=Acos(3x+a)型，然后

利用正弦、余弦型的周期公式T=2n/|w|求解.A,f(x)=cos22x-

sin22x=cos(2x2x)=cos4x,T=n/2B,f(x)=2sin4x,T=2n/4=n/2.C,f(x)=sinxcosx=l/2xsin2x,

T=2n/2=n.D,f(x)=4sinx,T=2n/l=2n.

27.B

28.C

求三角函数的周期时，一般应将函数转化为

»=AsinSz+G或Acos(car+g)型，

然后利用正弦、余弦型的冏用公式T=育求解•

2=

AJ(jr)=cos221r—sin2xcos(2X2H)=cos4x«

T=T

_.r-27^

Bt/(x)=2sain4;r»7=—=-g-.

C./(x)=sinxcosx=}sin2H,T=y=«.

D»/(x)=4sinj»T=-p=2n.

29.A

该小题主要考查的知识点为三角函数的运算.

✓x、tana+tan工

tan(a+)=—4

1-tanatan-

4

3+1方

1-3X1=―2.

30.B

31.

设正方体检长为1,则它的体积为1.它的外接球也径%,半径为2,

球的体积丫=力+々枭（冬，.枭・（等案为

32.答案：5.48解析：E（€）=6*0.7+5.4*0.1+5*0.4+4*0.06+0*0.04=5.48

33.

34.

35.

答案：

-r【解析】由V+牲/=*1得/+4=1.

m

因其焦点在〉,轴上，故

乂因为2a=2•孙即2JJn4Am=+■:

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质.对于椭圆标准方程而言，应注意:

①W点在X林上，营+/7（">6>0）;

焦点在y轴上，+A“a>6>。）.

②长"长・2a.短拈长=幼.

p

36.

37.

38.

39.

【答案】2

【解析】该小题主要考查的知识点为函数图像与坐标轴的交点.

【考试指导】

当工=0时，y=2"—2=-1•故函

数与y轴交于（0,—1）点；令y=o,则有L一2=

0=>x=1,故函数与；r轴交于（1.0）点，因此函数

y==2,一2与坐标轴的交点共有2个.

40.

41.

设正方体的校长为因为正方体的校长等于正方体的内切球的It径.

所以有4丁（1y=S,即/=

因为正方体的大对角线后等于正方体的外接球的直径，

所以正方体的外接球的球面面积为4*•（华）=3m；=3"・F=3s.（答案为3S）

42.

43.

320。《>520>40・注―1^=工公人

coslO"=cos<90*-80*）=sinSO,-4•（春茶为4）

1.216

44.

45.

-3・析：澳复敷呵・严为（,-2）♦（加“）。«|电・・2・2«*1可得E・3.

46.

47.4由题可知f(2)=2+6=3,得b=l,故f(3)=3+b=3+l=4.

48.

【答案】(-4,13)

【解析】该小题主要考查的知识点为平面向量.

【考试指导】2a+3b=2(1,2)+3(-2,3)=(-4,13).

49.89E(Q=100x0.2+90x0.5+80x0.3=89.

50.13,2

51.

由已知可得椭圆焦点为K（-6,0）.人（6,。）,……3分

设椭圆的标准方程为三+3=1">6>0八则

『=6'+5.

人但解叫二：…6分

,a3

所以椭圆的标准方程为t+9二L•……❷分

椭映的准线方程为R=±|•吁.•……12分

52.

利润=精售总价-进货总侨

设每件提价工元(mMO),利润为y元，则每天售出(100-10*)件，债售总价

为(10+40•(100-Kk)元

进货总价为8(100-10工)元(OwxWlO)

依题意有:丁=(IO+x)•(100-lOx)-8(100-10x)

=(2+s)(100-10x)

=-lOx3+8Ox+2OO

y'=-2Ox+8O.令y'=0得x=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时,■得利润量大，最大利润为360元

53.

(I)设所求点为(&.%)•

4=-6父=-6/+2-

由于工轴所在直线的斜率为0,则-3。+2=0』=/.

因此为=-3•借［+2••+4=号

又点行号不在x轴上.故为所求.

(2)设所求为点(*(»,九).

由=-6与+2.

由于y=x的斜率为1,则-6々+2=1,f=/

因此%=一+2•/+4=£

又点(高，?)不在直线y=工上•故为所求.

54.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500-10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

55.

由已知,桶圈的长轴长2a=20

设IPFJ=m.lPFJ=n,由椭圆的定义知,m+n=20(D

又r'=100-64=36.c=6,所以吊(-6,0),吊(6,0)且=12

在中.由余弦定理得m、/-2mnc<M30o=12,

m2+n-Bmn=144

m2^2tnn+n2=400

③-②•得(2♦4)mn=256./rm=256(2-6)

因此的面枳为5nn8in300=64(2-4)

56.

设/U）的解析式为/（幻=3+b,

依题意得忆常父产,解方程组制”抄二十

•••〃♦）

57.

（1）因为30.所以e'+e->0,e'-e*V0.因此原方程可化为

埼2①

这里9为参数.0+②1,消去参数。.得

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

（2）由8/>.人€乩知8«2"0.0?"0.而，为参数,原方程可化为

2x

=e'♦e，①

A.=e-e

sin。

②1.得

AX-

因为2e'e-'=2/=2,所以方程化简为

__4-=1,

cos%sifTd

因此方程所表示的曲线是双曲线.

（3）证由（1）知.在桶B8方程中记/=（>邛二工.=«十二）

则J=1=I,c=I,所以焦点坐标为（=1.0）.

由（2）知，在双曲线方程中记£=«»%,炉=由七

■则c；=a'+炉=l,c=l.所以焦点坐标为（±1.0）.

因此（I）与（2）中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

58.

1+2ain0cos^+-y

由期已知4。）=―益sm一0♦二cow%—

（sinfl+cosfi）2f-y

sin。♦coM

令z=*in&+co^.陶

加）=4=逮=田蜜+2牛亮

由此可求得力船=用4。）最小值为花

(23)解：(I)/(#)=4?-4z,

59/(2)=24,

所求切线方程为y-11=24(x-2),EP24x-y-37=0.6分

（11）令/（工）=0,解得

X）=-19x2=0tx3=1.

当X变化时/（幻J（x）的变化情况如下表:

X(-»,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

/(«)-00-0

2Z32Z

/（工）的单调增区间为（-1.0）,（1,+8）,单调减区间为（-8,-1）,（0,

1）.……12分

(24)解：由正弦定理可知

BCAB

，则

sinAsinC

2x・

“MBxsin45。2〜6，、

BC=­：----=—―-=2(^-1).

975°R+戊

~~4~

S△血=—xBCxABxsinB

4

-yx2(^i-l)x2xf

=3-4

60.*1.27.

61.

解：(I)由已知得q+0,9+49,=-3.又，=-1.故

g?+g-2=0,,4分

解得q=l(舍去)或q=-2.8分

(II)a,=0.9-=(-1)"2"'.12分

62.

(I)设所求双曲线的焦距为2c,由双曲线的标准方程可知0*=9,"=16,

得「=所=5.所以焦点H(-5,O).F,(5,O).

设点p5,%)a>o.»>o).

因为点在双曲线上，则若嚏-I，①

又PF」PR,则以，•3.=1,即熊•负=7,②

①②联立.消去得的一增，即点P到工轴的距离为〃=塔

(U)S5z=}lEE|-fc=yX^X10=16.

63.

设双曲线方程为营一焦距为

因为双曲线过点（3,2）,得/一卷=】•①

设直线L,y=—1《工+'）与双曲线荫条准线方程分别联立第

因为QM上ON,有儿“温/1.

3“+?\__3_f^-g?

经化简.用25a*-9/.即5a1-3?.②

又/="+",③

由①，②.③解得1=3,"=2.

所求双曲线方程为］一号=1.

64.

1▼2hinth^»B-《eunff+c»A）'+今

解出题已知。夕）:————：-一一-

MIM♦■,司KtnO♦

令X・Nil+.褐

八二

{6）=—#■=*,=l/«^-Ja-2A-=LV«-™-Jx《

由此可求得将香）:Mj"）最小值为其

65.

(1)连结Q4,作OD1AC于D.

因为AB与圆相切于A点.所以/QAB=90°.

则/(MC=90°-50°=40°.

AC=2AD

=2OA•cos/CMC

=2cos40°%1.51.

=-yX3X2cos40。Xsin500

=3cos240°

y1.78.

66.