2020-2021学年湖南省永州市零陵区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年湖南省永州市零陵区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，请

将正确选项填涂到答题卡的空格上）

1.下列各点在反比例函数y=2的图象上的是（）

X

A.（1,2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.(2,0)

2.已知也」，则空电的值是（）

b2b

A.—B.—C.—D

232-4

3.为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发

展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄

报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；。、“东风快

递”；瓜“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择

“5G时代”的频率是（）

4.在小孔成像问题中，如图所示，若点。到AB的距离是18皿点。到CD的距离是6cm,

则像的长与物体A8长的比是（）

5.已知点A(-1,yi),3(-2,”)在函数y=-2的图象上，则y”yi的大小关系是

x

()

A.y\<yiB.C.D.不能确定

6.近几年来，零陵区在区委区政府的坚强领导下，坚持以习近平新时代中国特色社会主义

思想为指导，深入学习十九大精神，贯彻新发展理念，全区经济保持总体平稳发展态势,

据初步统计，我区2017年财政总收入16.4亿元,2019年财政总收入18.4亿元,已知两

年财政总收入增长的百分率相同，若设每年增长的百分率为X,根据题意列方程得()

A.16.4(1-x)2=18.4B.16.4(1-x2)=18.4

C.16.4(1-2x)=18.4D.16.4(1+x)2=18.4

7.如图，某停车场入口的栏杆48,从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的

长为4米.若栏杆的旋转角/AOA，=a,则栏杆A端升高的高度为()

D.4cosa米

8.如图，下列选项中不能判定△ACZJs^ABC的是()

A.NACD=/BB.ZADC^ZACBC.AC^^AD-ABD.BO=BD,AB

9.已知在同一平面直角坐标系中，二次函数)，=狈2+灰和反比例函数)，=£的图象如图所示,

x

则一次函数%的图象可能是()

10.如图，在矩形ABC。中，AO=2,CD=\,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方

向作矩形ABCQ的相似矩形ABGC,再连接AG,以对角线AC为边作矩形A8GC的

相似矩形A&C2G,…按此规律继续下去，则矩形的周长为（）

A.3X（匹）"B.3X（渔）C.6X（迪）"D.6X（匹）'

2222

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）

11.随机从甲，乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为x甲

2

=13,X乙=13,5nl=4,S/=3.8,则小麦长势比较整齐的试验田是.

12.若关于x的一元二次方程（m-2）P+x+加2-4=0的一个根为0,则加值是.

13.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是.

14.如图，点P是反比例函数丫=上（�）的图象上任意一点，过点尸作PMLx轴，垂

x

足为M.若△POM的面积等于2,则&的值等于.

15.如图是拦水坝的横断面，斜纹48的高度为6米，斜面的坡比为1：2,则斜坡48的长

16.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1,2）,ABLx轴于点B,以原点。

为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍得到△048,且点4在第二象限，则点Ai

的坐标为

17.如图所示，NAOB是放置在正方形网格中的一个角，则sinNAOB的值是

18.阅读理解：对于炉一(层+i)]+〃这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3-(H2+1)x+n=xi-tfx-x+n=x(x2-/t2)-(x-n)=x(x-n)(x+n)-(x-〃)

=(x-n)(x2+m;-1).

理解运用：如果R-(〃2+i)x+〃=o,那么(x-n)(N+心-i)=o,即有x-〃=0或

x2+tvc-1=0,

因此，方程X-〃=0和X2+〃x-1=0的所有解就是方程犬3-(/+])x+〃=o的解.

解决问题：求方程]3-5/2=0的解为.

三、解答题(本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程)

19.计算：|-3|+(H+2020)0-2tan45°sin30°.

20.如图，一次函数的图象与反比例函数丫=如的图象相交于4(1,2),8(“，

x

-1)两点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)直线AB交x轴于点C,点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4,求点P的坐标.

21.已知：关于x的一元二次方程N+4X+〃L3=0有两个实数根.

（1）求，*的取值范围；

（2）设方程的两根为XI,X2,且满足为2+及2=5,求m的值.

22.某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等

四个方面调查了若干学生的兴趣爱好；并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图,

名学生；若该校共有1500名学生，估计全校

爱好运动的学生共有名.

（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是度.

（3）若该校九年级爱好阅读的学生有150人，估计九年级有多少学生？

23.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售,

一个月能售出500仅，销售单价每涨1元，月销售量就减少10依，针对这种水产品情况,

请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式：

(3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销

售单价应为多少？

24.如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点

A的南偏东15°的方向航行.

(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？

(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20遍海里到点C处时突然发生

事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速

度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由.

25.如图，抛物线y=》2+6x+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为

4,B,C,它的对称轴为直线/.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)P是该抛物线上的点，过点P作/的垂线，垂足为£>,E是/上的点.要使以尸、D、

(1)求AB的长;

(2)如图2,点P沿线段BC从8点向C点以每秒2cm的速度运动，同时点。沿线段

C4向A点以每秒\cm的速度运动，且当P点停止运动时，另一点。也随之停止运动，

若P点运动时间为I秒.

①若NAPQ=/B时，求证：△ABPS/\PCQ；并求此时r的值；

②点P沿线段2c从8点向C点运动过程中，是否存在f的值，使△PQC的面积最大；

若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.

即

图I

参考答案

一、选择题(本大题共1()个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，请

将正确选项填涂到答题卡的空格上)

1.下列各点在反比例函数y=2的图象上的是()

X

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(2,0)

【分析】根据、=2得左=冲=2,所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2,就在函数图

X

象上.

解：k=xy=2f

A.xy=1X2=kf符合题意；

B.町=-1X2=-2WZ,不合题意；

C.xy=lX(-2)=-2#k,不合题意；

D.孙=2X0=0WA,不合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横

纵坐标的积应等于比例系数.

2.已知也」，则空曳的值是()

b2b

2911

A.—B.—C.—D.--

2322

【分析】根据两内项之积等于两外项之积求出b=2〃，然后代入比例式进行计算即可得解.

解：”/，

,".b=2a,

.a+b_a+2a_3

,，-b2^_―~2'

故选：A.

【点评】本题考查了比例式的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，需熟记.

3.为庆祝建党99周年，某校八年级(3)班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发

展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄

报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快

递”；区“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择

“5G时代”的频率是（）

【分析】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年

级（3）班的全体人数即可.

解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15=100（人），

选择“5G时代”的人数为:30人,

选择“5G时代”的频率是：益=0.3；

故选：B.

【点评】本题考查了频数分布折线图，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键.

4.在小孔成像问题中，如图所示，若点。到AB的距离是18的，点O到CD的距离是6cm,

则像CD的长与物体AB长的比是（）

【分析】如图，作于E,EO的延长线交CD于F.由△408s4O0C,推出CD：

AB=OF：OE=6：18=1：3（相似三角形的对应高的比等于相似比），由此即可解决问

题.

解：如图，作OELA8于E,EO的延长线交CO于F.

A

C

B

'JAB//CD,

J.FOVCD,△NOBS/\DOC,

：.CD：AB=OF：0E=6：18=1：3(相似三角形的对应高的比等于相似比)，

故选：B.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

记住相似三角形对应高的比等于相似比，属于中考常考题型.

5.已知点A(-I,%),8(-2,”)在函数y=-2的图象上，则y””的大小关系是

X

()

A.y\<y2B.y\>yiC.y\=yzD.不能确定

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出yi,”的值，然后比较大小

即可.

解：；点4(-1,yi),B(-2,”)在函数y=一2的图象上，

x

.6^=6,,"=-二6=a3,

~1号

：.y\>y2.

故选：B.

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横

纵坐标的积应等于比例系数.

6.近几年来，零陵区在区委区政府的坚强领导下，坚持以习近平新时代中国特色社会主义

思想为指导，深入学习十九大精神，贯彻新发展理念，全区经济保持总体平稳发展态势,

据初步统计，我区2017年财政总收入16.4亿元，2019年财政总收入18.4亿元，已知两

年财政总收入增长的百分率相同，若设每年增长的百分率为x,根据题意列方程得()

A.16.4(1-尤)2=18.4B.16.4(1-%2)=18.4

C.16.4(1-2x)=18.4D.16.4(1+x)2=18.4

【分析】如果设财政总收入的年平均增长率为x,根据2017年投入16.4亿元，得出2018

年财政总收入16.4(1+x)亿元，2019年财政总收入16.4(1+x)2亿元，从而可得出方

程.

解：根据题意得16.4(1+x)2=18.4.

故选：D.

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前

的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)

2=6.

7.如图，某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点。旋转到A'B'的位置，已知A0的

长为4米.若栏杆的旋转角NA04=a,则栏杆A端升高的高度为()

A.B.4sina米C-土D.4cosa米

【分析】过点A'作A'CL48于点C,根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

解：过点4'作A'于点C,

由题意可知：A'0=40=4,

..A'C

..sina=­7—,

A0

.".A'C=4sina,

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属

于基础题型.

8.如图，下列选项中不能判定△AC0SZ\A5C的是()

c

A.ZACD^ZBB.ZADC^ZACBC.A^AD-ABD.BC2=BD-AB

【分析】利用相似三角形判定方法依次判断可求解.

解：由题意可得：△4CO和△ABC中，ZCAD=ZBAC,

若/ACD=NB,由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AC£>s△ABC,故选项A

不合题意；

若/AOC=NACB,由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACDS^ABC,故选

项B不合题意；

若AC2=AD-AB,由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△48

s/VlBC,故选项C不合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

9.已知在同一平面直角坐标系中，二次函数尸五+版和反比例函数y=上的图象如图所示，

【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出“VO、b>0、c>0,

由此即可得出£<O,-AVO,即可得出一次函数y=£r-6的图象经过二三四象限，再

aa

对照四个选项中的图象即可得出结论.

解：；二次函数开口向下，

.\«<0；

:二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，

二匕符号与。相异,b>0；

♦.•反比例函数图象经过一三象限，...c>0,

A—<0,-b<0,

a

二一次函数y=&x-b的图象经过二三四象限.

a

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反

比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出。<0、b>0、c>0是解题的关键.

10.如图，在矩形ABC。中，AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方

向作矩形ABC。的相似矩形ABiGC,再连接AG,以对角线4G为边作矩形ABGC的

相似矩形A&C2C1,…按此规律继续下去，则矩形A5CC1的周长为（）

A.3X（卫）"B.3X（恒）C.6X（匹）"D.6X（渔）'

2222

【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC,AG,AC2的长，从而可发现规律，根

据规律即可求得第n个矩形的面积.

解：：四边形A8CQ是矩形,

J.ADA.DC,

=2

ACVADCD2=V22+12=,\/5'

：按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ABtCiC,

矩形ABiCiC的边长和矩形ABCD的边长的比为娓：2,

矩形ABCiC的周长和矩形ABCD的周长的比娓：2,

•.•矩形ABC。的周长=2X（2+1）=6,

工矩形A3GC的周长=6X返，

2

依此类推，矩形A&C2G的周长和矩形ABGC的周长的比，

矩形A82c2G的周长6X（返）2,

2

矩形A83c3c2的周长=6义（逅）3

2_

按此规律第〃个矩形的周长为：6X（YG）",

2

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根

据求出的结果得出规律.

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）

11.随机从甲，乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为x甲

2

=13,X乙=13,Sq,=4,S/=3.8,则小麦长势比较整齐的试验田是乙

【分析】根据方差的意义判断即可.方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动

性越大，反之也成立.

解：由方差的意义，观察数据可知乙块试验田的方差小，故乙试验田小麦长势比较整齐.

故答案为：乙.

【点评】本题考查了方差的意义.它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越

大，反之也成立

12.若关于X的一元二次方程(777-2)x2+x+〃a-4=0的"b根为0,则,*值是-2.

【分析】根据一元二次方程解的定义，将X=O代入关于X的一元二次方程(机-2)/+犬+加2

-4=0,然后解关于，”的一元二次方程即可.

解：根据题意，得

x=0满足关于x的一元二次方程(zn-2)x2+x+m2-4=0,

.\m2-4=0,

解得，?M=±2；

又•二次项系数"1-2#0,即机#2,

'.m--2；

故答案为：-2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义.解答该题时，注意一元二次方程的定义

中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件.

13.抛物线y=(x-2)2-3的顶点坐标是(2,-3).

【分析】根据抛物线y=(x-2)2-3,可以看出该函数解析式就是二次函数的顶点式，

从而可以直接得到该函数的顶点坐标，从而可以解答本题.

解：•.•抛物线丫=(x-2)2-3

该抛物线的顶点坐标为：(2,-3),

故答案为：(2,-3).

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确函数的顶点式，由顶点式可以直

接得到顶点坐标.

14.如图，点P是反比例函数y=K(ZW0)的图象上任意一点，过点尸作尸轴，垂

X

足为若△POM的面积等于2,则攵的值等于-4.

【分析】利用反比例函数%的几何意义得到•1^1=2,然后根据反比例函数的性质和绝对

值的意义确定A的值.

解：的面积等于2,

.,.和=2,

而—0,

:.k=-4,

故答案为：-4.

【点评】本题考查了反比例函数系数4的几何意义：在反比例函数y=K图象中任取一点,

x

过这一个点向X轴和），轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值因•也考查了反

比例函数的性质.

15.如图是拦水坝的横断面，斜纹A8的高度为6米，斜面的坡比为1：2,则斜坡A8的长

为」旄_米・（保留根号）

然后利用勾股定理求出AB的长度.

解：：斜面坡度为1：2,AC=l2m,

/.BC=6m,

则AB=Yhd用C2r122+62=6娓（根）•

故答案为：6点n.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形,

利用三角函数的知识求解.

16.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1,2）,ABA.X轴于点B,以原点0

为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍得到△04®,且点Ai在第二象限，则点Ai

【分析】直接利用位似图形的性质以及结合4点坐标直接得出点4的坐标.

解：•••点A的坐标为（-1,2）,以原点。为位似中心，将△0A8放大为原来的2倍，

得到△04囱，且点4在第二象限，

.•.点Ai的坐标为（-2,4）.

故答案为：（-2,4）.

【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是

解题关键.

17.如图所示，NAOB是放置在正方形网格中的一个角，贝Ijsin/AOB的值是返.

一2一

【分析】如图，连接AB.证明aOAB是等腰直角三角形即可解决问题.

解：如图，连接A8.

：0A=48=715，08=2遥,

OB2^OA2+AB2,

...NOAB=90°,

...△AOB是等腰直角三角形,

，NAOB=45°,

Jp

sinZAOB=——，

2

故答案为：返.

2

【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

18.阅读理解：对于(序+])这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3-(H2+1)x+n=x3-nrx-x+n=x(x2-n2)-(x-〃)=x(x-〃)(x+〃)-(x-〃)

=(x-n)-1).

理解运用：如果炉-(n2+l)x+n=O,那么(x-n)(x2+/u-1)=0,即有x-〃=0或

X2+MX-1=0,

因此，方程x-〃=0和1=0的所有解就是方程R-(/+i)1+〃=。的解.

解决问题：求方程炉-5x+2=0的解为x=2或尸-1+遂或尸-\-M.

【分析】将原方程左边变形为r+2=0,再进一步因式分解得(x-2)[x(x+2)

-1]=0,据此得到两个关于x的方程求解可得.

解：,.“3-5%+2=0,

Ax3-4x-尤+2=0,

Ax(%2-4)-(x-2)=0,

・・・x(x+2)(x-2)-(x-2)=0,

贝！](x-2)[x(x+2)-l]=0,即(x-2)(N+2x-1)=0,

Ax-2=0或x2+2x-1=0,

解得x=2或x=-1±我，

故答案为：x—2或x=T+&或x=-1-

【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解

将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先

通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入.

三、解答题(本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程)

19.计算：|-3|+(ir+2020)°-2tan45°sin30°.

【分析】先算绝对值，零指数和三角函数，再加减.

解：原式=3+1-2X1X』=3.

2

【点评】本题考查实数的混合计算，确定计算顺序，正确化简绝对值，零指数和三角函

数是求解本题的关键.

20.如图，一次函数＞=履+6的图象与反比例函数)，=如的图象相交于A(1,2),B(〃,

x

-1)两点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式：

(2)直线A8交x轴于点C,点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4,求点P的坐标.

【分析】(1)先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点2的坐标，继而根据点

A、8坐标可得直线解析式；

(2)先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P(m,0),知尸C=|-l-刑，根据以

ACP--^'PC*yA—^求出m的值即可得出答案.

解：(1)将点A(1,2)代入y=变，得：机=2,

x

•..y-_-2-，

x

当y=-1时，x=-2,

：.B(-2,-1),

将A(1,2)、B(-2,-1)代入y=kx+b,

k+b=2

得:

-2k+b=-l

k=l

解得，

b=l,

/.y=x+l：

一次函数解析式为y=x+l,反比例函数解析式为y=2；

X

(2)在y=x+l中，当y=0时，x+l=O,

解得x=-1,

；.C(-1,0),

设PGn,0),

则PC=\-1-w|,

S^,ACP=-^,PC'yA=4,

X|-1-m\X2=4,

解得m=3或m--5,

.♦.点P的坐标为(3,0)或(-5,0).

【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数

法求函数解析式及两点间的距离公式、三角形的面积问题.

21.已知：关于x的一元二次方程N+布:+,〃-3=0有两个实数根.

(1)求"?的取值范围；

(2)设方程的两根为为，X2,且满足汨2+制2=5,求加的值.

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式A=拄-4ac20,即可得出关于，"的一元

一次不等式，解之即可得出机的取值范围，结合，"20,即可得出m的取值范围为0W机

W3；

(2)利用根与系数的关系可得出X1+X2=-4，xt-X2=m-3,结合XF+X22=5,即可得

出关于〃?的一元一次方程，解之即可得出〃?的值.

解：(1)••・关于x的一元二次方程/+心+,3=0有两个实数根，

2

△=/?2_4ac=(«)-4XlX(w-3)20,

解得：加W3,

又丁/n20,

・・・0W机W3,

：.m的取值范围为

(2)Vxi,为2为一元二次方程/+44+"?-3=0的两个实数根，

.*.xi+x2=-x\9X2=m-3.

又,.•》2+亢22=5,即(X1+X2)2-2XI*X2=5,

:.(-4)2-2(w-3)=5,

解得：，"=1,

：.m的值为1.

【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△

NO时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合.2+及2=5,找出关于m

的一元一次方程.

22.某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等

四个方面调查了若干学生的兴趣爱好；并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了100名学生;若该校共有1500名学生，估计全校

爱好运动的学生共有600名.

（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是108度.

（3）若该校九年级爱好阅读的学生有150人，估计九年级有多少学生？

【分析】（1）根据娱乐的人数以及百分比求出总人数即可.

（2）求出阅读的人数，画出条形图即可，利用360°X百分比取圆心角.

（3）根据总人数，个体，百分比之间的关系解决问题即可.

解：（1）总人数=20+20%=100（:名），

若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生有1500X嘤=600（名）.

100

故答案为100,600.

（2）

圆心角=兆0。X^-^0-101Q8.’

条形图如图所示:

个人数

50'..........................

40・・・门|....................

30.........................

20........r-i..............

10..............--1I----

0~♦言)展高二上而__

故答案为108.

(3)1504-30%=500(名),

答：估计九年级有500名学生.

【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

23.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，

一个月能售出500仅，销售单价每涨1元，月销售量就减少10依，针对这种水产品情况,

请解答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；

(3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销

售单价应为多少？

【分析】(1)根据题意计算即可；

(2)利润=销售量X单位利润.单位利润为x-40,销售量为500-10(x-50),据此

表示利润得关系式；

(3)销售成本不超过10000元，即进货不超过10000+40=250仅.根据利润表达式求出

当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论.

解：

(1)销售量：500-5X10=450(kg)；

销售利润：450X(55-40)=450X15=6750(元)

(2)产(x-40)[500-10(x-50)]=-10招+1400犬-40000

(3)由于水产品不超过10000+40=250依，定价为x元，

则(x-40)[500-10(%-50)]=8000

解得：xi=80,X2—60

当加=80时，进货500-10(80-50)=200依＜250版，符合题意，

当及=60时，进货500-10(60-50)=400依＞250依，舍去.

所以销售单价应为80元.

【点评】此题的创意在第三问，同时考虑进出两个方面的问题，比较后得结论.

24.如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点

4的南偏东15°的方向航行.

(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？

(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20遍海里到点C处时突然发生

事故，渔船马上向小岛8上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速

度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由.

【分析】(1)过B作于M,解直角三角形即可得到结论；

(2)在RtABCM中，解直角三角形求得/MBC=60°,再求得NCBG=45°,BC=

SOnmile,即可得到结论.

解：(1)过点8作BML4C于点M,如图所示：

由题意，知/54M=45°,则NABM=45°.

在RtZ\AB例中，NBAM=45。，AB=40海里,

」.△ABM是等腰直角三角形，

，BM=AM=^AB=2^X4O=2O&(海里).

答：渔船航行20&海里与小岛8的距离最近.

(2)救援队能在2小时内到达C处进行救援，理由如下:

：BM=20&海里，MC=20捉海里,

MC_20A/6

/.tanZMBC=

BM-20V2

：.ZMBC=6Q°,

；./C8G=180°-60°-45°-30°=45°,

在中，NMBC=60°,

：.ZBCM=30°,

：.BC^2BM=40（海里）,

4

.".404-30=—<2.

3

即：救援队能在2小时内到达C处进行救援.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角

形是解题的关键.

25.如图，抛物线y=x2+6x+c经过点（3,12）和（-2,-3）,与两坐标轴的交点分别为

4,B,C,它的对称轴为直线/.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）P是该抛物线上的点，过点P作/的垂线，垂足为£>,E是/上的点.要使以RD、

E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P,点E的坐标.

【分析】（1）将点（3,12）和（-2,-3）代入抛物线表达式，即可求解；

（2）由题意得：PD=DE=3时，以P、D、E为