人教版中考数学知识点归纳复习提纲

初中数学知识点汇总目录TOC\o"1-2"\h\u七年级上册 I七年级上册第1章有理数1.1正数和负数比0大的数是正数，比0小的数是负数。数0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。1.2有理数1.2.1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项：数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可；同一根数轴，单位长度不能改变。一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。在任意一个数前面添上「-」号，新的数就表示原数的相反数。1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。比较有理数的大小：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律：a+b=b+a三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。1.4有理数的乘除法两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘任何数与0相乘都得0乘积是1的两个数互为倒数两数相乘，交换因数的位置，积相等。三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积相等。一个数通两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，即a÷b=a×两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都得0。1.5有理数的乘方1.5.1乘方求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，结果叫做幂。an中，a叫做底数,n叫做指数，an读作「a的n次幂」负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂；正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0先乘方，再乘除，再加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。1.5.2科学记数法把大于10的数表达成a×10n的形式（其中1.5.3近似数精确到个位：π≈3精确到0.1：π≈3.1精确到0.01：π≈3.14精确到0.001：π≈3.142精确到0.0001：π≈3.1416整式的加减2.1代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。2.2整式和分式没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。2.3单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积包括单独的一个数或字母）。几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。说明：根据除式中有否字母，将整式和分式区别开；根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开；进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。2.3.1单项式都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数。单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。单独一个数或一个字母也是单项式。只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。单独的一个非零常数的次数是0。单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。单项式的系数包括它前面的符号。单项式的系数是带分数时，应化成假分数。单项式的系数是1或―1时，通常省略数字「1」。单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。2.3.2多项式几个单项式的和叫做多项式。多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项，就叫做几项式。多项式的每一项都包括项前面的符号。多项式没有系数的概念，但有次数的概念。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。2.3.3整式单项式和多项式统称为整式。单项式或多项式都是整式。整式不一定是单项式。整式不一定是多项式。分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。一元一次方程3.1从算式到方程3.1.1一元一次方程含有未知数的等式叫做方程。只含有一个未知数（元），未知数的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是数学解决实际问题的一种方法。解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。3.1.2等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。3.2解方程把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。方程中有带括号的式子时，去括号的方法与有理数运算中括号类似。解方程就是要求出其中的未知数（例如x），通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的性质和运算律等。去分母：具体做法：方程两边都乘各分母的最小公倍数依据：等式性质2注意事项：分子打上括号不含分母的项也要乘几何图形初步4.1多姿多彩的图形现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形，叫做几何图形。4.1.1立体图形与平面图形长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形。4.1.2点、线、面、体几何体也简称体。长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。面和面相交的地方形成线。线和线相交的地方是点。几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。4.2直线、射线、线段经过两点有一条直线，并且只有一条直线。两点确定一条直线。点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，类似的还有线段的三等分点、四等分点等。直线桑一点和它一旁的部分叫做射线。两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。4.3角的度量角也是一种基本的几何图形。度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1；把1度的角60等分，每份叫做1分的角，记作1；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1。4.4角的比较与运算4.4.1角的比较从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。类似的，还有叫的三等分线。4.4.2余角和补角如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角。如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角。等角的补角相等。等角的余角相等。七年级下册相交线与平行线5.1相交线5.1.1相交线有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角。两条直线相交，有4对邻补角。有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。两条直线相交，有2对对顶角。对顶角相等。5.1.2垂直两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。注意：垂线是一条直线；具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90°；垂直是相交的特殊情况；垂直的记法：AB⊥CD。画已知直线的垂线有无数条。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。5.2平行线5.2.1平行线在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线互相平行，记作：a∥b。在同一平面内两条直线的关系只有两种：相交或平行。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。5.2.2直线平行的条件两条直线被第三条直线所截，在两条被截线的同一方，截线的同一旁，这样的两个角叫做同位角。两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的两侧，这样的两个角叫做内错角。两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的同一旁，这样的两个角叫做同旁内角。判定两条直线平行的方法：同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。5.3平行线的性质平行线具有性质：两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。判断一件事情的语句叫做命题。5.4平移把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。实数6.1平方根如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作「根号a」，a叫做被开方数。如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。6.2立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。6.3实数无限不循环小数又叫做无理数。有理数和无理数统称实数。一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。平面直角坐标系7.1平面直角坐标系7.1.1有序数对有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对。7.1.2平面直角坐标系平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴取2向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。平面上的任意一点都可以用一个有序数对来表示。建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分为了I、II、III、IV四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。7.2坐标方法的简单应用7.2.1用坐标表示地理位置利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。7.2.2用坐标表示平移在平面直角坐标系中，捋点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a，y））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x，y-b））在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。二元一次方程组8.1二元一次方程组含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程。把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。8.2消元由二元一次方程组中的一个方程，捋一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。8.3再探实际问题与二元一次方程组不等式与不等式组9.1不等式9.1.1不等式及其解集用「<」或「>」号表示大小关系的式子叫做不等式。使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。9.1.2不等式的性质不等式有以下性质：不等式的性质1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。不等式的性质2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。9.2实际问题与一元一次不等式解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x<a（或x>a）的形式。9.3一元一次不等式组把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。数据的收集整理与描述10.1总体、样本的概念总体：要考察的全体对象称为总体；个体：组成总体的每一个考察对象称为个体；样本：被抽取的那些个体组成一个样本；样本容量：样本中个体的数目叫样本容量（不带单位）。注意：为了使样本能较好地反映总体的情况，除了要有合适的样本容量外，抽取时还要尽量使每一个个体都有同等的机会被抽到10.2全面调查与抽样调查全面调查：考察全面对象的调查叫全面调查，全面调查也称作普查，调查的方法有：问卷调查、访问调查、电话调查等。全面调查的步骤：收集数据；整理数据（划记法）；描述数据（条形图或扇形图等）。抽样调查：若调查时因考察对象牵扯面较广，调查范围大，不宜采用全面调查，因此，采用抽样调查。抽样调查只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。抽样调查的意义：减少统计的工作量；抽样调查是实际工作中应用非常广泛的一种调查方式，它是总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查。判断全面调查和抽样调查的方法在于：全面调查是对考察对象的全面调查，它要求对考察范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计：而抽样调香则是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况。注意区分「总体」和「部分」在表述上的差异。在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小。调查方法：问卷，观察，走访，试验，查阅资料。10.3扇形统计图和条形统计图及其特点10.3.1扇形统计图生活中，我们会遇到许多关干数据的统计的表示方法，它们多是利用圆和扇形来表示整体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图的特点：用扇形面积表示部分占总体的百分比；易于显示每组数据相对于总体的百分比；扇形统计图的各部分占总体的百分比之和为100%或1。在检查一张扇形统计图是否合格时，只要用各部分分量占总量的百分比之和是否为100%进行检查即可。扇形统计图的画法：把一个圆的面积看成是1，以圆心为顶点的周角是360°，则圆心角是36°的扇形占整个面积的10%。同理，圆心角是72°的扇形占整个圆面积的20%。因此画扇形统计图的关键是算出圆心角的大小。扇形的面积与圆心角的关系：扇形的面积越大，圆心角的度数越大；扇形的面积越小，圆心角的度数越小.扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比×360°。扇形统计图的优缺点：扇形统计图的优点是易于显示每组数据相对于总数的大小，缺点是在不知道总体数量的条件下，无法知道每组数据的具体数量。10.3.2条形统计图用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少画成长短不同的条形，条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，这样的统计图叫做条形统计图。条形统计图的特点：能够显示每组中的具体数据；易于比较数据之间的差别。条形统计图的优缺点：条形统计图的优点是能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别，缺点是无法显示每组数据占总体的百分比。注意：条形统计图的纵轴一般从0开始，但为了突出数据之间的差别也可以不从0开始，这样既节省篇幅，又能形成鲜明对比；条形图分纵置个横置两种。10.4频数、频率和频数分布表一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比为频率.频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量。公式：由以上公式还可得出两个变形公式频数=频率×数据总数注意：所有频数之和一定等于总数；所有频率之和一定等于1。数据的步频数分布表反映了组数据中的每个数据出现的频数，从而反映了在—组数据中各数据的分布情况要全面地掌握一组数据，必须分析这组数据中各个数据的分布情况。10.5频数分布直方图与频数折线图在描述和整理数据时，往往可以把数据按照数据的范围进行分组，整理数据后可以得到频数分布表，在平面直角坐标系中，用横轴表示数据范围，纵轴表示各小组的频数，以各组的频数为高画出与这一组对应的矩形，得到频数分布直方图。条形图和直方图的异同：直方图是特殊的条形图，条形图和直方图都易于比较各数据之间的差别，能够显示每组中的具体数据和频率分布情况。直方图与条形图不同，条形图是用长方形的高（纵置时）表示各类别（或组别）频数的多少，其宽度是固定的；直方图是用面积表示各组频数的多少（等距分组时可以用长方形的高表示频数），长方形的宽表示各组的组距，各长方形的高和宽都有意义。此外由于分组数据都有连续性，直方图的各长方形通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图是分开排列，长方形之间有空隙。频数折线图的制作一般都是在频数分布直方图的基础上得到的，具体步骤是；首先取直方图中每一个长方形上边的中点；然后再在横轴上取两个频数为0的点（直方图最左及最右两边各取一个，它们分别与直方图左右相距半个组距）；最后再将这些点用线段依次连接起来，就得到了频数折线图。频数分布直方图的画法：找到这一组数据的最大值和最小值；求出最大值与最小值的差；确定组距，分组；列出频数分布表；由频数分布表画出频数分布直方图。画频数分布直方图的注意事项：分组时，不能出现数据中同一数据在两个组中的情况，为了避免，通常分组时，比题中要求数据单位多一位。例如：题中数据要求到整数位，分组时要求数据到0.5即可。组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借数据越多，分成的组数也就越多。

八年级上册三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。顶点是A、B、C的三角形，记作「△ABC」，读作「三角形ABC」。三角形两边的和大于第三边。11.1.2三角形的高、中线和角平分线高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。11.1.3三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角三角形的内角和等于180°11.2.2三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。11.3多边形及其内角和11.3.1多边形在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。n边形的对角线公式：n（n-3）/2各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。11.3.2多边形的内角和n边形的内角和公式：180（n-2）多边形的外角和等于360°全等三角形12.1基本定义全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。12.2基本性质三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。12.3全等三角形的判定定理边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。12.4角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。轴对称13.1概念轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。13.2性质对称的性质：不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。对称的图形都全等。线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。13.2.1等腰三角形的性质等腰三角形两腰相等；等腰三角形两底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合；等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）。13.2.2等边三角形的性质：等边三角形三边都相等；等边三角形三个内角都相等，都等于60°；等边三角形每条边上都存在三线合一；等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）。13.3基本判定13.3.1等腰三角形的判定有两条边相等的三角形是等腰三角形。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。13.3.2等边三角形的判定三条边都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。整式的乘法与因式分解14.1整式的有关概念整式：整式是单项式与多项式的统称。单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。14.2整数指数幂的运算同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。14.3同类项与合并同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。14.4求代数式的值基本步骤代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入。计算：按代数式指明的运算关系计算出结果。14.5乘法公式平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b214.6因式分解方法提公因式法：确定系数（取各项整数系数的最大公约数）；确定字母或因式底数；确定字母或因式的指数。运用公式法：运用平方差公式。运用完全平方公式。分式15.1分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。15.2与分式有关的条件分式有意义：分母不为0（B≠0）分式无意义：分母为0（B=0）分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0、B≠0）分式值为正或大于0：分子分母同号（A>0，B>0）或（A<0，B<0）分式值为负或小于0：分子分母异号（A>0，B<0）或（A<0，B>0）分式值为1：分子分母值相等（A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）15.3分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。15.4分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时，分子分母公因式的确定方法：系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式，然后判断公因式15.5分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式如果分母是多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母。通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果分母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。15.6分式的四则运算与分式的乘方15.6.1分式的乘除法法则分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式乘分式式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘分式式子表示为：15.6.2分式的乘方把分子、分母分别乘方。式子表示为：15.6.3分式的加减法则同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：两种类型：一是分式间的加减；二是整式与分式的加减（整式的分母为1）注意：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。15.6.4分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。15.7整数指数幂引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：（任何不等于零的数的零次幂都等于1），其中m，n均为整数。15.8分式方程分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程解分式方程的步骤：能化简的先化简去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。注意：产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。15.9列分式方程基本步骤：审—仔细审题，找出等量关系；设—合理设未知数；列—根据等量关系列出方程（组）；解—解出方程（组）。注意检验；答—答题。

八年级下册二次根式16.1二次根式的定义定义：二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式。其中「」叫做「二次根号」，a叫做被开方数。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此可以确定字母的取值范围。判断一个式子是否为二次根式，应满足以下两个条件：是否含有二次根号「」；被开方数是否为非负数。形如（a≥0）的式子也是二次根式，其中m叫做二次根式的系数，它表示的是：（a≥0）。根据二次根式有意义的条件，若二次根式与都有意义，则有A=B。16.2二次根式的性质双重非负性：a≥0，a≥0；（主要用于字母的求值）回归性：；（主要用于二次根式的计算）转化性：。（主要用于二次根式的化简）重要结论：若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0。；主要用于二次根式的化简。该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简：可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内，以达到化简的目的。该结论主要用于二次根式的计算。勾股定理17.1勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（即：在Rt△ABC中，如果a、b为直角边，c为斜边，那么勾股定理的变式：17.1.1勾股定理的证明面积割补法：图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。17.1.2勾股定理的应用利用勾股定理可以根据任意两边的长求出第三边： ；已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；利用勾股定理可以证明线段的平方关系。17.1.3二次根式在数轴上的表示在数轴上以原点O为端点截取OA，使OA=3；过点A作数轴的垂线，在垂线上截取AB，使AB=2，连接OB；以O为圆心，OB长为半径画弧，与数轴正半轴交于点C。则点C即为数轴上表示的点。（数轴上表示的基本思路是根据勾股定理，构造直角三角形，使斜边长为，在数轴上以原点O为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴的交点即为表示的点）。17.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。（即：如果三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。）勾股定理的逆定理的作用是根据三角形三边的长度来判定一个三角形是否是直角三角形。它通过「数转化为形」来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两条较短边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。原命题与它的逆命题都成立的一组命题称为互逆定理。勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数。即中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数。常见的勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17等等。平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形性质平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面）：边：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；角：平行四边形的两组对角分别相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分。【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点18.1.2平行四边形判定平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。两条平行线间的距离处处相等。18.2矩形18.2.1矩形的性质矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点。18.2.2矩形的判定矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形证明一个四边形是矩形方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等；方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角。直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。18.3菱形18.3.1菱形的性质菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点。菱形的面积公式：菱形的两条对角线的长分别为a、b，则18.3.2菱形的判定菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形证明一个四边形是菱形的步骤：方法一：先证明它是一个平行四边形，然后证明「一组邻边相等」或「对角线互相垂直」；方法二：直接证明「四条边相等」。18.4正方形18.4.1正方形的性质正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即正方形的四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等每条对角线平分一组对角正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，对角线的交点是对称中心。18.4.2正方形的判定正方形的判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形18.5中点四边形当原四边形的两条对角线相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的两条对角线垂直时，中点四边形是矩形；当原四边形的两条对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形；当原四边形的两条对角线无上述关系时，中点四边形是平行四边形；中点四边形的形状与原四边形对角线互相平分无关；中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。一次函数19.1函数的基本概念变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。确定函数定义域的方法：关系式为整式时，函数定义域为全体实数；关系式含有分式时，分式的分母不等于零；关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。值域：函數的值域是由定義域中一切元素所能產生的所有函數值的取值範圍。函数的图像：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。描点法画函数图形的一般步骤：第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律；解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示；图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。19.2正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零；②x指数为1；③b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。解析式：y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限。增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小。倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴。19.3一次函数19.3.1一次函数的定义及性质定义：一般地，形如y=kx＋b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。注：一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）。①k不为零；②x指数为1；③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-b/k，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）解析式：y=kx+b（k、b是常数，k0）必过点：（0，b）和（-b/k，0）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小。倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。19.3.2一次函数的图象的画法根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-b/k，0）即横坐标或纵坐标为0的点。19.3.3正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。19.3.4两条直线的位置关系两直线平行：两直线相交：两直线重合：19.3.5函数解析式的确定根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；解方程得出未知系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。19.3.6一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值。19.3.7一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。19.3.8一次函数与二元一次方程组以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同。二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数和图象交点。数据的分析20.1基本概念总体：所有考察对象的全体叫做总体。个体：总体中每一个考察对象叫做个体。样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数20.2平均数定义：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。算术平均数：加权平均数：20.3众数、中位数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。20.4方差极差：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。极差=最大值-最小值。反映这组数据的变化范围。方差的概念：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。即：。（先平均，然后求差，再平方，最后再平均。）方差反映一组数据的波动大小，方差值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐20.5标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用「s」表示。即：

九年级上册一元二次方程21.1一元二次方程定义：（等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式是2的方程，叫做一元二次方程。一般形式：一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。注意：只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是2；是整式方程。21.2一元二次方程的解法21.2.1直接开平方法形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得，解得。注意：若b<0，方程无解。21.2.2因式分解法步骤：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。21.2.3配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤：二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；用直接开平方法解变形后的方程。注意：若b<0，方程无解。21.2.4公式法一元二次方程根的判别式： 21.3韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：21.4一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：「审」：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；「设」：设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；「列」：列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式；「解」：求出所列方程的解。二次函数22.1定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。22.2二次函数的解析式22.2.1二次函数的三种表达式一般式：顶点式：交点式：注：在顶点式与一般式的互相转化中，有如下关系：22.2.2二次函数解析式的确定已知三个点或x、y的三对对应值时，可设一般式已知顶点坐标时，可设顶点式：已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设交点式：22.3二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。22.4抛物线的性质抛物线是轴对称图形，对称轴为直线。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）抛物线有一个顶点P，坐标为：当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。函数y的最值：当a>0时，抛物线向上开口，则当，.当a<0时，抛物线向下开口，则当，.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数时，抛物线与x轴有2个交点。时，抛物线与x轴有1个交点。时，抛物线与x轴没有交点。22.5二次函数与一元二次方程特别地，在二次函数中，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即。此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。旋转23.1旋转在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。23.2旋转对称中心把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。23.3旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。23.4中心对称中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。中心对称和中心对称图形的区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称。成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称。中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。中心对称图形的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。坐标系中对称点的特征关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）圆24.1圆的概念集合形式的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合轨迹形式的概念：圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；24.2圆的性质垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行干这文两条平行线日到两条直线距离都相等的一条直线。24.3位置关系24.3.1点与圆的位置关系点在圆内⟺d<r点在圆上⟺d=r点在圆外⟺d>r24.3.2直线与圆的位置关系直线与圆相交⟺d<r⟺两个交点直线与圆相切⟺d=r⟺一个交点直线与圆相离⟺d>r⟺无交点24.3.3圆与圆的位置关系外离⟺d>R+r⟺无交点外切⟺d=R+r⟺一个交点相交⟺R-r<d<R+r⟺两个交点内切⟺d=R-r⟺一个交点内含⟺d<R-r⟺无交点24.4垂径定理垂径定理：垂直于弦且平分弦所对的弧。推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直干弦。并日平分弦所对的两条弧：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧如右图所示，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。如右图，∵AB∥CD∴弧AC=弧BD24.5圆心角圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。如右图所示，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①∠AOB=∠DOE；②AB=DE；③OC=OF；④弧BA=弧BD。24.6圆周角24.6.1圆周角定理圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴∠AOB=2∠ACB24.6.2圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在圆O中，∵∠C、∠D都是弧AB所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在圆O中，∵AB是直径∴C=90°或：在圆O中，∵∠C=90°∴AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。A即：在△ABC中，∵OC=OA=OB△ABC是直角三角形或∠C=90°注：此推论是初二年级几何中矩形的推论，在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。24.7圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。24.8切线的性质与判定定理过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可性质定理：切线垂直于过切点的半径推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线。三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。24.9切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。24.10圆幂定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
的积相等。24.11两圆公共弦定理两圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。24.12圆的公切线两圆公切线长的计算公式：公切线长：外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。24.13弦切角定理顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。24.14圆内正多边形的计算正三角形：有关计算在Rt△BOD中进行：正四边形：有关计算在Rt△OAE中进