2024年中考数学考前押题密卷（甘肃卷）（全解全析）

年中考考前押题密卷（甘肃卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．|﹣2|等于（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．【分析】根据绝对值的定义，可以得到|﹣2|等于多少，本题得以解决．【解答】解：由于|﹣2|＝2，故选：C．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的定义．2．如图，直线l1∥l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（）A．56° B．34° C．44° D．46°【分析】依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．【解答】解：如图：∵l1∥l2，∠1＝46°，∴∠3＝∠1＝46°，又∵l3⊥l4，∴∠2＝90°﹣46°＝44°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．计算：（x+2y）（x﹣2y）＝（）A．x2﹣2y2 B．x2+2y2 C．x2+4y2 D．x2﹣4y2【分析】根据平方差公式进行计算，然后逐一判断即可．【解答】解：原式＝x2﹣4y2．故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．5．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，∠C+∠O＝60°，则∠O的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】先利用圆周角定理得到∠C＝∠O，再利用∠C+∠O＝60°得到∠O+∠O＝60°，然后解方程即可．【解答】解：∵∠C＝∠O，而∠C+∠O＝60°，∴∠O+∠O＝60°，解得∠O＝40°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了圆周角定理．6．若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣2x+m上，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．与m的值有关【分析】把点的坐标分别代入函数解析式，可用m分别表示出a和b，比较其大小即可．【解答】解：∵点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣2x+m上，∴a＝﹣2+m，b＝﹣8+m，∵﹣2+m＞﹣8+m，∴a＞b，故选：A．【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．7．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．2【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的方程，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．8．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（）A．1 B．3 C．5 D．45【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1，∵△ABC的周长为15，∴△DEF的周长为5．故选：C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键．9．春节期间，小星从三部热门电影《飞驰人生2》《热辣滚烫》《熊出没•逆转时空》中随机选取一部观看，则恰好选中《热辣滚烫》的概率是（）A． B． C． D．【分析】直接根据概率公式求解．【解答】解：随机选取一部观看，则恰好选中《热辣滚烫》的概率＝．故选：B．【点评】本题考查了概率公式：某事件的概率＝这个事件所占有的结果数与总的结果数之比．10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】由菱形的性质可得BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，再由直角三角形的性质得∠ABD＝65°，则∠BDH＝25°，然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°，∵DH⊥AB，BO＝DO，∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO＝BD＝DO，∴∠DHO＝∠BDH＝25°，故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．二次函数y＝x2﹣2x﹣3，若y＞5，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞4 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣2＜x＜4 D．﹣1＜x＜3【分析】由y＝5求得对应的函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x的值，然后根据二次函数y＝x2﹣2x﹣3的性质即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，当y＝5时，则x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，解得：x＝4或x＝﹣2，∴当y＞5时，自变量x的取值范围是x＞4或x＜﹣2，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，明确二次函数y＝x2﹣2x﹣3的性质是解题的关键．12．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（）A． B． C． D．【分析】首先证明△OCD是等边三角形，求出OC＝OD＝CD＝2cm，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD，求解即可．【解答】解：如图，连接CD．∵OC＝OD，∠O＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝3cm，∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．因式分解：4m2+4m+1＝（2m+1）2．【分析】利用完全平方公式分解即可．【解答】解：4m2+4m+1＝（2m+1）2．故答案为：（2m+1）2．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．14．若点A（a，b）在第三象限，则点C（﹣a，b﹣5）在第四象限．【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数确定出a、b的正负情况，然后进行判断即可．【解答】解：∵点A（a，b）在第三象限，∴a＜0，b＜0，∴﹣a＞0，b﹣5＜0，∴点C（﹣a，b﹣5）在第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，折痕为DE．若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，则∠AED＝60°，AB＝．【分析】根据将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，可得∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，即知∠AED＝60°，在Rt△ADE中，tan60°＝，可得AE＝＝A'E，在Rt△A'BE中，BE＝A'E＝，故AB＝AE+BE＝．【解答】解：如图：∵将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，∵∠AED+∠A'ED+∠A'EB＝180°，∴∠AED＝60°，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，∴tan60°＝，∴AE＝，∴A'E＝，在Rt△A'BE中，∠A'EB＝∠AED＝60°，∴∠EA'B＝30°，∴BE＝A'E＝，∴AB＝AE+BE＝+＝，故答案为：60°，．【点评】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边关系．16．2023年3月12日是我国第45个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000幼树移植成活数（棵）878834455720989831351918044幼树移植成活的频率0.87000.88200.89100.90110.89830.90130.9022估计该种幼树在此条件下移植成活率是90%．（结果精确到1%）【分析】根据调查收集数据的过程和方法、近似数的定义解决此题．【解答】解：根据题意，成活率精确到1%，根据表格中的数据，可以估计移植的成活率为90%．故答案为：90%．【点评】本题主要考查统计数据、有效数字，熟练掌握调查统计数据的过程与方法、近似数以及有效数字的定义是解决本题的关键．三、解答题（本大题共2个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（4分）解不等式：2x﹣1＜3（1+x）．【分析】不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集．【解答】解：去括号得：2x﹣1＜3+3x，移项得：2x﹣3x＜3+1，合并得：﹣x＜4，解得：x＞﹣4．【点评】此题考查了一元一次不等式，解本题的关键：熟练掌握解不等式的步骤．18．（4分）计算：（2﹣）．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可．【解答】解：原式＝•＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．19．（4分）已知：如图，点C是线段AE的中点，AB∥CD，BC∥DE．求证：AB＝CD．【分析】根据线段中点定义可得AC＝CE，再利用平行线的性质和ASA定理判定△ABC≌△CDE，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】证明：∵点C是线段AE的中点，∴AC＝CE，∵AB∥CD，BC∥DE，∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠CED，在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形还有HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20．（6分）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，（求小李到古塔的水平距离即BC的长．（结果精确到1m，参考数据：，【分析】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO＝40米，OC＝20米，OE＝BD，OE∥BD，从而可得∠EOC＝∠OCD＝45°，进而可得∠AOE＝30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，由题意得：AO＝8×5＝40（米），OC＝4×5＝20（米），OE＝BD，OE∥BD，∴∠EOC＝∠OCD＝45°，∵∠AOC＝75°，∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，在Rt△OCD中，CD＝OC•cos45°＝20×＝10（米），在Rt△AOE中，OE＝AO•cos30°＝40×＝20（米），∴OE＝BD＝20（米），∴BC＝BD﹣CD＝20﹣10≈21（米），∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（6分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：整理描述表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）报班数人数类别01234及以上合计“双减”前10248755124m“双减”后2551524n0m（1）根据表1，m的值为300，的值为0.02；分析处理（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据图表中的信息回答以下问题：①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为1，“双减”后学生报班个数的众数为0；②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定m的值，然后再计算求得n值，从而求解；（2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比；（3）①根据中位数和众数的概念分析求解；②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，n＝m﹣（255+15+24）＝6，∴＝＝0.02，故答案为：300；0.02；（2）汇总表1和图1可得：01234及以上总数“双减”前172821188246500“双减”后4232440121500×100%＝2.4%，答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为2.4%；（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，∴“双减”后学生报班个数的众数为0，故答案为：1；0；②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．【点评】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．22．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，D，E在边BC上，延长AD，AE与△ABC的外接圆分别交于P，Q两点．（1）求证：D，E，Q，P四点共圆；（2）若AD＝BD＝3，AE＝4，DC＝5，求弦AQ的长度．【分析】（1）连接BQ，根据同弧所对圆周角相等可得∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，由∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°结合等腰三角形性质可证∠PDE+∠EQP＝180°，最后得证∠P+∠DEQ＝180°即可；（2）先证明△ABC∽△DAB，根据相似三角形的性质求得，再证明△ABE∽△AQB，最后根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：如图，连接BQ，∴∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠AQB，∵∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠PDE+∠AQB+∠BQP＝180°，∴∠PDE+∠EQP＝180°，∵∠PDE+∠DEQ+∠EQP+∠P＝360°，∴∠P+∠DEQ＝180°，∴D，E，Q，P四点共圆；（2）解：∵AD＝BD＝3，DC＝5∴∠ABD＝∠BAD，BC＝8，由（1）知∠ABC＝∠C，∴∠ABD＝∠BAD＝∠C，∴△ABC∽△DAB，∴，即，∴，由（1）可知∠ABE＝∠AQB，∵∠BAE＝∠QAB，∴△ABE∽△AQB，∴，即，解得AQ＝6．【点评】本题考查同弧所对圆周角相等，四点共圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关定理并理解且能综合运用是关键．23．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P从B点出发，沿射线AB的方向运动，已知C（1，0），点P的横坐标为x，连接OP，PC，记△COP的面积为y1．（1）求y1关于x的函数关系式及x的取值范围；（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出（1）中所得函数的图象，记其与y轴的交点为D，将该图象绕点D逆时针旋转90°，画出旋转后的图象；（3）结合函数图象，直接写出旋转前后的图象与直线y2＝﹣x+3的交点坐标．【分析】（1）根据直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，求得点A、B的坐标，点P从B点出发，沿射线AB的方向运动，得点P（x，x+2），进而求得y1关于x的函数关系式及x的取值范围；（2）根据（1）所得函数解析式即可在平面直角坐标系中画出函数的图象，及旋转后的图象；（3）联立方程组即可求出旋转前后的图象与直线y2＝﹣x+3的交点坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴当x＝0时，y＝2，B（0，2），当y＝0时，x＝﹣2，A（2，0）．∵点P从B点出发，沿射线AB的方向运动，∴P（x，x+2），∵C（1，0），∴△COP的面积为y1＝×1×（x+2）＝x+1．∴y1关于x的函数关系式为：y＝x+1，x的取值范围为：x≥0；（2）如图所示，（1）中所得函数的图象为y1＝0.5x+1，旋转后的图象为y3＝﹣2x+1．（3）旋转前后的图象与直线y2＝﹣x+3的交点坐标为点E、F，解得所以E（，）．解得所以F（﹣2，5）．答：旋转前后的图象与直线y2＝﹣x+3的交点坐标为（，），（﹣2，5）．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意理解动点的运动过程．24．（6分）小聪在瑞阳湖湿地公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求此抛物线的解析式；（2）若喷水头P喷出的水柱下方有一安全的长廊，小聪的同学小明站在水柱正下方，且距喷水头P的水平距离为3m，身高1.6m的小聪在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小明的水平距离．【分析】（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得他与小明的水平距离为2m或6m．【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：0.7＝25a+3.2，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，∴他与小明的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小明的水平距离是2m或6m．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．25．（6分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，2），B（4，1）两点．（1）求这两个函数的表达式；（2）在反比例函数y＝第三象限的图象上有一点P，且点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）作直线AB的平行线，当其与反比例函数的图象只有一个交点P时，点P到直线AB的距离最短，据此设直线PM的解析式为，则，整理得到x2﹣2nx+8＝0，由题意得，Δ＝4n2﹣32＝0，解此方程即可求得P的坐标．【解答】解：（1）将点A（2，2）代入中，得k＝4，∴反比例函数的表达式为，将点A（2，2），B（4，1）代入y＝ax+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为；（2）如图，作直线AB的平行线，当其与反比例函数的图象只有一个交点P时，此时点P到直线AB的距离最短，设直线PM的解析式为，则，去分母，得x2﹣2nx+8＝0，由题意得，Δ＝0，∴4n2﹣32＝0，解得，（不合题意，舍去），∴，解得，∴在中，当时，，∴点P的坐标为．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，点到直线的距离，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．26．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝3，sin∠CBF＝，求BF的长．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及圆的切线的判定方法进行解答即可；（2）根据直角三角形的边角关系，圆周角定理求出BE、AE、BC，进而求出CG、BG，再根据相似三角形的判定和性质求出FG即可．【解答】（1）证明：如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∵∠CBF＝∠CAB，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠ABE+∠CBF＝90°，即AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：过点C作CG⊥BF于点G，在Rt△ABE中，AB＝3，sin∠BAE＝sin∠CBF＝，∴BE＝AB＝，AE＝＝，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2BE＝，在Rt△BCG中，BC＝，sin∠CFB＝，∴CG＝BC＝，BG＝＝，∵AB∥CG，∴△ABF∽△CGF，∴＝，即＝，解得FG＝，经检验FG＝是原方程的解，∴BF＝BG+FG＝+＝4．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．27．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（t﹣2，0），B（t+2，0）．对于点P给出如下定义：若∠APB＝45°，则称P为线段AB的“等直点”．（1）当t＝0时，①在点，P2（﹣4，0），，P4（2，5）中，线段AB的“等直点”是点P1和点P3；②点Q在直线y＝x上，若点Q为线段AB的“等直点”，直接写出点Q的横坐标．（2）当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）①根据“等直点”得的定义，确定出符合条件的点的特征，画出图形进行判断即可；②设Q（m，m），利用“等直点”的定义列出方程，解方程即可得出结论；（2）利用分类讨论的思想方法，依据“等直点”的定义，通过画出符合条件的图形求得临界值的方法求得结论即可．【解答】解：（1）①当t＝0时，A（﹣2，0），B（2，0），根据“等直点”得的定义，线段AB的“等直点”在以点C（0，2）为圆心，为半径的圆中的优弧上，或在以点D（0，﹣2）为圆心，为半径的圆中的优弧上，如图，则即“等直点”到圆心C的距离均为，∵，P2（﹣4，0），，P4（2，5），∴，，，，DP3＝2，∴点P1，P3是线段AB的“等直点”，故答案为：点P1，P3；②由点Q在直线y＝x上，设Q（m，m），∵点Q为线段AB的“等直点”，∴CQ＝，∴，解得，（不合题意舍去），利用对称性可求第三象限也存在符合题意的点Q，它们关于原点对称，∴此时的点Q的横坐标为﹣1﹣．∴点Q的横坐标为1+或﹣1﹣．（2）∵A（t﹣2，0），B（t+2，0），∴AB＝4，AB的中点的横坐标为t，由（1）知：线段AB的“等直点”在以AB为弦的优弧上，即圆心在直线y＝2或y＝﹣2上，2为半径的圆的优弧上．①当t＞0时，设直线y＝x+t与x轴交于点N，与y轴交于点F，如图，则F（0，t），N（﹣t，0），∴OF＝ON＝t，∴∠NFO＝∠FNO＝45°．⊙C为一个符合条件的圆，设直线y＝x+t与⊙C相切于点E，交直线y＝2于点G，直线y＝2与y轴交于点H，连接CE，则CE⊥EF，过点C作CM⊥AB于点M，则M为AB的中点，∴OM＝t，∵CM⊥AB，HO⊥AB，CH⊥OH，∴四边形OMCH为矩形，∴CH＝OM＝t．由题意：OH＝2，OF＝t，CE＝2，∴HF＝OF﹣OH＝t﹣2，∴GH＝HF﹣OH＝t﹣2，∴CG＝GH+CH＝t﹣2+t＝2t﹣2．∵CG∥ON，∴∠EGC＝∠FNO＝45°，∴CG＝CE，∴2t﹣2＝，∴t＝3．∴当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t＜3，由于当t＝1时，y＝x+1经过点A，符合条件的点只有一个，∴t≠1．②当t＜0时，设直线y＝x+t与x轴交于点N，与y轴交于点F，如图，则F（0，t），N（﹣t，0），∴OF＝ON＝﹣t，∴∠NFO＝∠FNO＝45°．⊙D为一个符合条件的圆，设直线y＝x+t与⊙D相切于点E，直线y＝﹣2交直线y＝x+t于点G，直线y＝﹣2与y轴交于点H，连接DE，则DE⊥EF，过点D作DM⊥AB于点M，则M为AB的中点，∴OM＝﹣t，∵DM⊥AB，HO⊥AB，DH⊥OH，∴四边形OMDH为矩形，∴DH＝OM＝﹣t．由题意：OH＝2，OF＝﹣t，DE＝2，∴HF＝OF﹣OH＝﹣t﹣2，∴GH＝HF﹣OH＝﹣t﹣2，∴DG＝GH+DH＝﹣t﹣2﹣t＝﹣2t﹣2．∵CG∥ON，∴∠EGC＝∠FNO＝45°，∴CG＝CE，∴﹣2t﹣2＝，∴t＝﹣3．∴当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t＞﹣3，由于当t＝﹣1时，y＝x+1经过点B，符合条件的点只有一个，∴t≠﹣1．综上，当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t的取值范围为﹣3＜t＜3且t≠±1．【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，圆的有关性质，点的轨迹，等腰直角三角形的判定与性质，圆的切线的性质，等腰三角形的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．28．（9分）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，则BE，EF，DF之间的数量关系为EF＝BE+DF；【类比探究】（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，若△ABC的面积为12，BD•CE＝4，请直接写出△ADE的面