考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．(97年)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝，P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是【】A．P(X－Y)＝B．P(X＝Y)＝1C．P(X＋Y＝0)＝D．P(XY＝1)＝正确答案：A解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1)＝P(X＝－1)P(Y＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1)＝知识模块：概率论与数理统计2．(98年)设F1(χ)与F2(χ)分别为随机变量X1与X2的分布函数．为使F(χ)＝a1F1(χ)－bF2(χ)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取【】A．B．C．D．正确答案：A解析：∵F1(χ)和F2(χ)均为分布函数，∴F1(＋∞)＝F2(＋∞)＝1要使F(χ)为分布函数，也有F(＋∞)＝1．对该式令χ→＋∞，即得a－b＝1，只有A符合．知识模块：概率论与数理统计3．(99年)设随机变量Xi～(i＝1，2)，且满足P{X1X2＝0}，则P{X1＝X2}等于【】A．0B．C．D．1正确答案：A涉及知识点：概率论与数理统计4．(04年)设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}＝α，若P{｜X｜＜χ}＝a则χ等于【】A．B．C．D．正确答案：C涉及知识点：概率论与数理统计5．(06年)设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P{｜X－μ1｜＜1}＞P{｜Y－μ2｜＜1}则必有【】A．σ1＜σ2．B．σ1＜σ2．C．μ1＜μ2．D．μ1＜μ2．正确答案：A涉及知识点：概率论与数理统计6．(08年)设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(χ)，则Z＝max{X，Y}的分布函数为【】A．F2(χ)B．F(χ)F(y)C．1－[1－F(χ)]2D．[1－F(χ)][1－F(y)]正确答案：A解析：Z的分布函数FZ(χ)＝P{Z≤χ)＝P{max(X，Y)≤χ}＝P{X≤χ，Y≤χ}＝P{X≤χ}.P{Y≤χ}＝F2(χ)，故选A．知识模块：概率论与数理统计7．(09年)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1}＝．记FZ(z)为随机变量Z＝Xy的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：B解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(XY≤z)＝P{XY≤z｜Y＝0}P{Y＝0}＋P{XY≤z｜Y＝1}P{Y＝1}＝{0≤z}Y＝0}＋P{X≤z｜Y＝1}而P{0≤z｜Y＝0}＝P{0≤z}＝P{X≤z｜Y＝1}＝P{X≤z}＝故Fz(z)＝在z＜0和z＞0上，Fz(z)显然连续；在z＝0上，可见Fz(z)只有1个间断点(z＝0处，∵)，故选B．知识模块：概率论与数理统计8．(10年)设随机变量X的分布函数F(χ)＝，则P{X＝1)＝【】A．0．B．．C．－e-1．D．1－e-1．正确答案：C解析：P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝(1－e-1)－－e-1．故选C．知识模块：概率论与数理统计9．(10年)设f1(χ)为标准正态分布的概率密度，f2(χ)为[－1，3]上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足【】A．2a＋3b＝4．B．3a＋2b＝4．C．a＋b＝1．D．a＋b＝2．正确答案：A解析：由题意知：所以2a＋3b＝4，故选A．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(00年)设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计11．(02年)设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．正确答案：－0．02解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28而关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，Ey2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02知识模块：概率论与数理统计12．(03年)设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0．9涉及知识点：概率论与数理统计13．(04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．(08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计15．(11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．正确答案：μ＋μσ2涉及知识点：概率论与数理统计16．(13年)设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．正确答案：2e2涉及知识点：概率论与数理统计17．(15年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．(13年)设(X，Y)是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(χ)＝在给定X＝χ(0＜χ＜1)的条件下Y的条件概率密度为(Ⅰ)求(X，Y)的概率密度f(χ，y)；(Ⅱ)求Y的边缘概率密度fY(χ)；(Ⅲ)求P{X＞2Y}．正确答案：(Ⅰ)f(χ，y)＝fX(χ)fY｜X(y｜χ)(Ⅱ)fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχy≤0或y≥1时，fY(y)＝0；0＜y＜1时，fY(y)＝＝－9y2lny即fY(y)＝涉及知识点：概率论与数理统计19．(16年)设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令(Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度；(Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由；(Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．正确答案：(Ⅰ)区域D如图(a)，面积为SD＝，由题意，(X，Y)的概率密度为(Ⅱ)由题意，P(U≤0)＝P(U＝0)＝P(X＞Y)＝D1见图(b)可见，故U与X不独立．(Ⅲ)F(z)＝P(Z≤z)＝P(U＋X≤z)＝P(U＋X≤z，U＝0)＋P(U＋X≤z，U＝1)＝P(X≤z，X＞Y)＋P(X≤z－1，X≤Y)可见，z＜0时，F(z)＝0；z≥2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)，P(X≤z－1，X≤Y)＝P(X≤Y)所以F(z)＝P(X＞Y)＋P(X≤Y)＝1；0≤z＜1时，由－1≤z－1＜0，知P(X≤z－1，X≤Y)＝0，而P(X≤z，X＞Y)＝，G2见图(e)．故F(z)＝z2－z3；1≤z＜2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)＝，这时0≤z－1＜1，有P(X≤z－1，X≤Y)＝G3见图(f)．所以F(z)＝涉及知识点：概率论与数理统计20．(87年)已知随机变量X的概率密度为求随机变量Y＝的数学期望E(Y)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计21．(89年)已知随机变量(X，Y)的联合密度为试求：(1)P{X＜Y}；(2)E(XY)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计22．(91年)设随机变量(X，Y)在圆域χ2＋y2≤r2上服从联合均匀分布．(1)求(X，Y)的相关系数ρ；(2)问X和Y是否独立?正确答案：由题意，(X，Y)的联合概率密度为f(χ，y)＝，若χ2＋y2≤r2(别处为0)则关于X的边缘密度为fx(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy当｜χ｜＞r时，fX(χ)＝0；当｜χ｜≤r时，完全同理类似，得关于Yy的边缘概率密度为(1)EX＝同理，EY＝0而E(XY)＝以上积分为0可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到．于是covc(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0，故X与Y不独立．涉及知识点：概率论与数理统计23．(92年)某设备由三大部件构成．在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0．10，0．20和0．30．设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求E(X)和D(X)．正确答案：设这三个部件依次为第1、2、3个部件，记Ai＝(第i个部件需调整)，i＝1，2，3．则A1，A2，A3相互独立．则P(A1)＝0．1，P(A2)＝0．2，P(A3)＝0．3[或P(Ai)＝，i＝1，2，3]Xi＝显然，X1，X2，X3相互独立则E(Xi)＝1.P(Ai)＝，i＝1，2，3．且X＝X1＋X2＋X3D(Xi)＝E(Xi2)＝[E(Xi)]2＝12.P(Ai)－，i＝1，2，3故EX＝EX1＋EX2＋EX3＝＝0．6DX＝＝0．46涉及知识点：概率论与数理统计24．(93年)设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为(1)已知事件A＝{X＞a}和B＝{Y＞a}独立，且P{A∪B)＝，求常数a；(2)求的数学期望．正确答案：(1)(1)由题意，P(A)＝P(B)＝∫a＋∞f(χ)dχ显然a∈(0，2)．否则，若a≤0，则P(A)＝＝1；若a≥2，则P(A)＝0，都与P(A∪B)＝矛盾．故P(A)＝P(B)＝∴＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝解得a＝(舍负)(2)涉及知识点：概率论与数理统计25．(94年)设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品．销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损．已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?正确答案：ET＝(－1)P(X＜10)＋20.P(10≤X≤12)－5.P(X＞12)＝(－1).P(X－μ＜10－μ)＋20P(10－μ≤X－μ≤(12－μ)－5P(X－μ＞12－μ}＝(－1)Ф(10－μ)＋20[Ф(12－μ)－Ф(10－μ)]－5[1－Ф(12－μ)]＝25Ф(12－μ)－21ФP(10－μ)－5∴(ET)′μ＝25φ(12－μ).(－1)－21.φ(10－μ).(－1)＝其中φ(χ)＝为标准正态分布的概率密度令(ET)′μ＝0，得．两边取对数，得μ0＝11－可以验证，故ET在μ＝μ0处取得唯一极值且为极大值，所以ET在μ0处取最大值．故答：当μ＝11－时，平均利润最大．涉及知识点：概率论与数理统计26．(96年)设一部机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．一周五个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，获利润0元；若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内的利润期望．正确答案：设这部机器一周内有X天发生故障，这一周的利润为Y万元．由题意可知X～B(5，0．2)故EY＝10.P(X＝0)＋5P(X＝1)＋0.P(X＝2)＋(－2).P(X≥3)＝10×C50.0．20.0．85＋5×C51.0．21.0．84－2[1－C50.0．2.0．85－C51.0．21.0．84C52.0．220．83]＝5．20896涉及知识点：概率论与数理统计27．(97年)游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光．电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行．设一游客在早上八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．正确答案：设Y(分钟)为该游客的等候时间，由题意知：而X的概率密度为：涉及知识点：概率论与数理统计28．(97年)两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动．试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．正确答案：设第i台自动记录仪无故障工作的时间为Xi，(i＝1，2)，由题意，X1与X2独立同分布，概率密度为且知EX1＝EX2＝．DX1＝DX2＝，T＝X1＋X2故ET＝EX1＋EX2＝，DT＝DX1＋DX2＝下面求f(t)．用卷积公式知：f(t)＝∫－∞＋∞fx(χ1)fx(t－χ1)dχ1＝∫0＋∞5e-5χfx(t－χ)dχ而f(t－χ)＝当t≤0时，f(t)＝0(∵积分中χ≥0，∴χ≥t，f(t－χ)＝0)；当t＞0时，f(t)＝∫0t5e-5χ.5e-5(t-χ)dχ＝25∫0te-5tdχ＝25te-5t故f(t)＝涉及知识点：概率论与数理统计29．(98年)一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是两个相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润