人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第13讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值（教师版）

第04讲5.3.2函数的极值与最大（小）值课程标准学习目标①.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。②掌握函数极值的判定及求法。③掌握函数在某一点取得极值的条件。④能根据极值点与极值的情况求参数范围。⑤会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。⑥会求某闭区间上函数的最值⑦理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围1.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.；2.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题；知识点01、函数的极值一般地，对于函数SKIPIF1<0，（1）若在点SKIPIF1<0处有SKIPIF1<0，且在点SKIPIF1<0附近的左侧有SKIPIF1<0，右侧有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极小值点，SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的极小值.（2）若在点SKIPIF1<0处有SKIPIF1<0，且在点SKIPIF1<0附近的左侧有SKIPIF1<0，右侧有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极大值点，SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.【即学即练1】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的极大值点为.【答案】2【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或6，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得极大值，故极大值点为2.故答案为：2知识点02、函数的最大（小）值一般地，如果在区间SKIPIF1<0上函数SKIPIF1<0的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，在SKIPIF1<0内可导，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值的步骤为：（1）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的极值；（2）将函数SKIPIF1<0的各极值与端点处的函数值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【即学即练2】（2023下·湖北十堰·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点03、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间SKIPIF1<0的整体而言；（2）在函数的定义区间SKIPIF1<0内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数SKIPIF1<0的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【即学即练3】（2023上·天津·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间与极值；(2)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值与最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)最大值为54，最小值为SKIPIF1<0.【详解】（1）由题设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0.函数SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，极小值为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的最大值为54，最小值为SKIPIF1<0.题型01函数图象与极值（点）的关系【典例1】（多选）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）如图所示是SKIPIF1<0的导数SKIPIF1<0的图象，下列结论中正确的有（

）．A．SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点C．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在区间SKIPIF1<0上单调递增D．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点【答案】BC【详解】由导函数的图象可知，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.故A错误，C正确；所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点；故B正确；所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0取得极大值点；故D错误.故选：BC.【典例2】（2023·上海·高二专题练习）已知函数SKIPIF1<0，其导函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为．

①当SKIPIF1<0时函数取得极小值；②SKIPIF1<0有两个极值点；③当SKIPIF1<0时函数取得极小值；④当SKIPIF1<0时函数取得极大值．【答案】②③④【详解】由图象可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以函数SKIPIF1<0有两个极值点，当SKIPIF1<0时函数取得极大值，当SKIPIF1<0时函数取得极小值，故①错误，②③④正确.故答案为：②③④【变式1】（多选）（2023上·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图所示是SKIPIF1<0的导数SKIPIF1<0的图象，下列结论中正确的有（

）

A．SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点C．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，在区间SKIPIF1<0上是增函数D．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点【答案】ABC【详解】解：根据图象知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数在SKIPIF1<0上单调递减．故A、C正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，故B正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得是极大值，SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的极小值点，故D错误．故选：ABC．【变式2】（多选）（2023上·新疆喀什·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0，其导函数SKIPIF1<0的图象如图所示，则SKIPIF1<0（

）

A．在SKIPIF1<0上为减函数 B．在SKIPIF1<0处取极大值C．在SKIPIF1<0上为减函数 D．在SKIPIF1<0处取极小值【答案】BCD【详解】由图像得：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时取得极大值，当SKIPIF1<0时取得极小值.故选：BCD题型02求已知函数的极值（点）【典例1】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求SKIPIF1<0的单调区间和极值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0；极小值为SKIPIF1<0，无极大值.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，无极大值.【典例2】（2023上·四川眉山·高三四川省眉山第一中学校考开学考试）若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极值点.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求函数的极值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个极值点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，满足题意，故SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，所以SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求SKIPIF1<0的单调区间与极值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)极小值为SKIPIF1<0，无极大值．【详解】（1）依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，无极大值．【变式2】（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极小值点．(1)求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)求SKIPIF1<0的极大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，无极值点，不合题意；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极大值点，不合题意；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极小值点，符合题意；综上所述：实数SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0.（2）由（1）可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0.题型03根据函数的极值（点）求参数【典例1】（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极大值，则SKIPIF1<0的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极小值，不合题意，当SKIPIF1<0时，经检验，满足题意；综上，SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）若函数SKIPIF1<0既有极大值也有极小值，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0既有极大值也有极小值，所以方程SKIPIF1<0有两个不相等的正根，设两根为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：A.【典例3】（2023上·北京·高三北京四中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0，其导函数为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0-0+(1)写出SKIPIF1<0的值，并说明理由；(2)求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，理由见解析；(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解：SKIPIF1<0，理由如下：由表格中的数据可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；所以，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得极大值SKIPIF1<0，

当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得极小值SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极小值点.（2）解：由题知SKIPIF1<0，所以，结合（1）有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0【变式1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】A【详解】由题意可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，此时SKIPIF1<0.故选：A【变式2】（2023·贵州遵义·统考三模）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】A【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验，SKIPIF1<0满足题意，所以SKIPIF1<0.故选：A【变式3】（2022下·甘肃·高二校考期中）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有极值0，求常数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的递增函数，此时函数SKIPIF1<0无极值，不合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得极大值，符合题意.所以SKIPIF1<0.题型04求函数的最值（不含参）【典例1】（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值是（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)最大值为SKIPIF1<0，最小值为1【详解】（1）对函数SKIPIF1<0求导得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，化简并整理得该切线方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0由上表可知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，且在SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得极大值，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0中的较小者，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0.【变式1】（2023上·上海虹口·高三校考期中）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值是.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值1.(1)求SKIPIF1<0、b的值；(2)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)最大值为1，最小值为SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值1，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0SKIPIF1<0增极大值减所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得极大值，合乎题意，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.题型05求函数的最值（含参）【典例1】（2023上·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）设函数SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0(3)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明过程见解析(3)答案见解析【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上取得极小值，也是最小值，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在R上恒成立.（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上取得极小值，也是最小值，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0综上：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0.【典例2】（2023下·江苏常州·高二校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值．【答案】答案见详解【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，则有：当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立，则函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立，则函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0；综上所述：当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0.【变式1】（2022下·广东潮州·高二饶平县第二中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，求：(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0；(2)答案见解析.【详解】（1）由题设，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0.（2）由（1）知，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0.【变式2】（2022下·湖北十堰·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值．【答案】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在R上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．(2)①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在R上单调递增；②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；③当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．（2）由（1）知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0．题型06根据函数的最值求参数【典例1】（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题可知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在区间SKIPIF1<0上单调递增，又有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【典例2】（2023下·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0的导数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0值；(2)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值与最小值的和为7，求SKIPIF1<0值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0.（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值SKIPIF1<0，最小值SKIPIF1<0，又∵函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值与最小值的和为7，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【变式1】（2023上·安徽芜湖·高二芜湖一中校考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值是SKIPIF1<0，求a的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，不满足题意；若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，满足题意；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不满足题意，综上，SKIPIF1<0.【变式2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若曲线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，求a的值；(2)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为1，求a的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0．由题意知，SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0，即对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）方法1：因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为1，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为1，满足题意．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0