经济数学4.4-几种特殊类型函数的积分

22五月20241第四节几种特殊类型函数的积分

第四章

基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法

初等函数求导初等函数积分（见本节第一段）一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）22五月20242一、有理函数的积分(IntegrationofRationalFunction)两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：22五月20243假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和22五月202442）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式22五月20245（1）分母中若有因式，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，其中则分解后为22五月20246

为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例122五月20247例2通分以后比较分子得：22五月20248

我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到22五月20249例3整理得22五月202410例4

求积分解：例222五月202411例5

求积分解：例322五月202412解:

原式思考:

如何求提示:变形方法同例6,并利用第三节例9.例6求22五月202413注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：多项式；主要讨论（3）积分22五月202414其中并记令22五月202415第三节例9结论：有理函数的原函数都是初等函数.22五月202416解:说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例7（补充题）

求22五月202417解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例8（补充题）

求点击看“常规解法”22五月202418第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!按常规方法解:22五月202419二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t

的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则22五月20242022五月202421令22五月202422例9

（课本例5）求解：令则22五月202423例10（补充题）

求解：一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。

由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。22五月202424解:

说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换例11（1987.III)

求22五月202425令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令2.简单无理函数的积分22五月202426解:

令则原式例12（课本例7）求22五月202427解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例13求（自学课本例8）22五月202428解:

令则原式例14求（自学课本例9）22五月202429本节小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,22五月202430思考与练习1.如何求下列积分更简便?解:

（1）（2）原式22五月202431