湖南省衡阳市 市第三中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析

湖南省衡阳市市第三中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}的前n项和为，，则（）A.77 B.88 C.154 D.176参考答案：A【分析】利用等差数列下标和的性质可计算得到，由计算可得结果.【详解】由得：

本题正确选项：A【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差数列下标和性质和等差中项的性质应用，属于基础题.2.设函数,则（）A． B．3 C． D．参考答案：D3.等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A4.（5分）设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（） A． 10 B． C． D． 38参考答案：A考点： 空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．专题： 计算题．分析： 点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，写出点B的坐标，根据这条线段与z轴平行，得到A、B两点距离．解答： 点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，﹣3，﹣5）∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，故选A．点评： 本题看出空间中点的坐标和两点之间的距离，本题解题的关键是根据关于坐标平面对称的点的特点，写出坐标，本题是一个基础题．5.函数y=loga（x2﹣2x）（0＜a＜1）的单调递增区间是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）参考答案：D【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论，注意定义域的性质．【解答】解：∵函数y=loga（x2﹣2x）（0＜a＜1），∴x2﹣2x＞0，x＞2或x＜0，∴t=x2﹣2x）在（﹣﹣∞，0）单调递减，在（2，+∞）单调递增．∵（0＜a＜1）∴根据复合函数的单调性规律得出：函数y=loga（x2﹣2x）（0＜a＜1）的单调递增区间是（﹣∞，0）故选：D．6.函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（1）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（）参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由函数f（x）在（0，2）上为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，得出函数f（x）在（2，4）上的单调性，并画出草图，根据草图可得到结论．【解答】解：函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，∴函数y=f（x+2）在（﹣2，0）上是增函数；又函数y=f（x+2）为偶函数，∴函数y=f（x+2）在（0，2）上是减函数，即函数y=f（x）在（2，4）上为减函数；则函数y=f（x）的图象如图所示，由图知：f（2）＞f（）＞f（1）＞f（）成立．故选：D．7.在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是（A）AB⊥BC且AB⊥BD

（B）AC⊥BC且AD⊥BD（C）AC＝AD且BC＝BD

（D）AD⊥BC且AC⊥BD参考答案：B8.已知等比数列{an}中，an=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为（）A．3n﹣1B．3（3n﹣1）C．D．参考答案：D考点：等比数列的前n项和．

专题：等差数列与等比数列．分析：求出等比数列{an}中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．解答：解：等比数列{an}中，an=2×3n﹣1，即有a2=6，a4=54，则新数列的公比为9，即有Sn==．故选：D．点评：本题考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9.已知f（x）=，若f（x）=3，则x的值是（）A．1 B．1或 C．1，或± D．参考答案：D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断．

【专题】计算题．【分析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x的值．【解答】解：该分段函数的三段各自的值域为（﹣∞，1]，[O，4）．[4，+∞），而3∈[0，4），故所求的字母x只能位于第二段．∴，而﹣1＜x＜2，∴．故选D．【点评】本题考查分段函数的理解和认识，考查已知函数值求自变量的思想，考查学生的分类讨论思想和方程思想．10.某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，他们第一次、第二次、第三次月考的物理成绩如表：

第一次月考物理成绩第二次月考物理成绩第三次月考物理成绩学生甲808590学生乙818385学生丙908682则下列结论正确的是（）A．甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大参考答案：D【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】分别求出平数、方差，由此能求出结果．【解答】解：在A中，甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为=≈85.7，故A错误；在B中，==85，=（81+83+85）=83，==86，∴在这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高，故B错误；在C中，==，=[（81﹣83）2+（83﹣83）2+（85﹣83）2]=，=[（90﹣86）2+（86﹣86）2+（82﹣86）2]=，∴在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定，故C正确；在D中，在这三次月考物理成绩中，甲的成绩方差最大，故D错误．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列{an}的前n项和为Sn，且，，成等差数列,若，则____________.参考答案：15．由题意得12.当时，上面算法输出的结果是

．参考答案：略13.若函数在上的值域为，则=

.参考答案：14.在空间直角坐标系中，点的坐标是，则点关于轴的对称点在坐标平面上的射影的坐标为

．

参考答案：（-4,0，-6）15.已知函数f（x）=，则f（f（e））=

．参考答案：2【考点】函数的值．【分析】先求出f（e）=﹣lne=﹣1，从而f（f（e））=f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（e）=﹣lne=﹣1，f（f（e））=f（﹣1）=（）﹣1=2．故答案为：2．16.与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．参考答案：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．17.一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭

万盒。参考答案：

解析：2000年：（万）；2001年：（万）；

2002年：（万）；(万)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分8分）已知二次函数在区间上有最大值，求实数的值．参考答案：由，得函数的对称轴为：，……1分①当时，在上递减，，即；

……3分②当时，在上递增，，即；

……5分③当时，在递增，在上递减，，即，解得：与矛盾；……………7分综上：或

……8分19.两个非零向量、不共线．（1）若=+，=2+8，=3（﹣），求证：A、B、D三点共线；（2）求实数k使k+与2+k共线．参考答案：【考点】平行向量与共线向量．【分析】（1）由=++=6，即可A、B、D三点共线．（2）由于k+与2+k共线．存在实数λ使得k+=λ（2+k）．利用向量基本定理即可得出．【解答】（1）证明∵=++=++==6，∴A、B、D三点共线．（2）解：∵k+与2+k共线．∴存在实数λ使得k+=λ（2+k）．∴（k﹣2λ）+（1﹣λk）=，∴，解得k=±．∴k=±．20.为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，点Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，经测量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】如图，先以BC边所在直线为x轴，，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求得直线AB的方程，再设出Q坐标，由矩形面积公式建立模型，然后根据函数的类型选择适当的方法求其最值．【解答】解：如图，以BC边所在直线为x轴，，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，20），B（30，0）．所以直线AB的方程为：+=1，即设，则矩形PQRD的面积为（0≤x≤30）化简，得（0≤x≤30）配方，（0≤x≤30）易得当x=5，y=时，S最大，其最大值为Smax≈6017m221.知函数f（x）的定义域是R，对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0．1）证明：f（x）在R上是增函数；2）判断f（x）的奇偶性，并证明；3）若f（﹣1）=﹣2．求个等式f（a2+a﹣4）＜4的解集．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在R上是减函数；（2）利用赋值法即可求f（0）的值，结合函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化即可解不等式．【解答】解：（1）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，由已知f（x2﹣x1）＞0，则f（x2﹣x1）=f[x2﹣（﹣x1）]=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），则函数f（x）在R上是增函数；（2）令x=0，y=0，则f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；（3）∵f（﹣1）=﹣2．∴f（1）=2f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=4．即不等式f（a2+a﹣4）＜4的等价为f（a2+a﹣4）＜f（2）．∵函数f（x）在R上是增函数；∴a2+a﹣4＜2．即a2+a﹣6＜0．解得﹣3＜a＜2，即不等式的解集为（﹣3，2）．22.（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=，若不等式g（2x）﹣k