高考数学一轮复习考案（4理4文）第四章平面向量数系的扩充与复数的引入综合过关规范限时检测（含解析）新人教版

第四章综合过关规范限时检测(时间：45分钟满分100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2021·河北衡水检测)若复数z1与z2＝－3－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝(B)A．－3－i B．－3＋iC．3＋i D．3－i[解析]z2＝－3－i在复平面内对应点(－3，－1)，点(－3，－1)关于实轴对称的点的坐标为(－3,1)，所以z1＝－3＋i.2．(2021·湖北名校联考)下列各式的运算结果为纯虚数的是(A)A.eq\f(1－i,1＋i) B．eq\f(1＋i,i)C．i(1＋i)2 D．i2(1＋i)[解析]因为eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i，eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋ii,i2)＝1－i，i(1＋i)2＝i×2i＝－2，i2(1＋i)＝－1－i，所以运算结果为纯虚数的是eq\f(1－i,1＋i).故选A.3．(2021·武汉市调研考试)已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝(D)A．1－i B．1＋iC.eq\f(4,3)－i D．eq\f(4,3)＋i[解析]设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝3＋i，由复数相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝3，,b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3)，,b＝1，))故z＝eq\f(4,3)＋i.故选D.4．(2021·江南十校联考)设D是△ABC所在平面内一点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则(D)A.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))[解析]eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).故选D.5．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(D)A．－eq\r(2) B．eq\r(2)C．0 D．±eq\r(2)[解析]由a∥b知1×2－m2＝0，所以m＝±eq\r(2).故选D.6．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cosm，n＝eq\f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(B)A．4 B．－4C．eq\f(9,4) D．－eq\f(9,4)[解析]由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m||n|·cosm，n＋|n|2＝t×3k×4k×eq\f(1,3)＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4.7．(2021·山东部分重点中学新高三起点考试)已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是(C)A．(－4,1) B．[－4,1]C．(－1,4) D．[－1,4][解析]复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1<a8．(2021·浙江金华十校期末)平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝(A)A．1 B．2C．eq\r(5) D．5[解析]解法一：∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a·b＝－2，b·c＝a·c＝－1，∴|a＋b＋c|2＝4＋4＋1－4－2－2＝1，∴|a＋b＋c|＝1.故选A.解法二：设a＋b＝d，∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，∴d＝λc(λ<0)，又|a|＝|b|＝2，∴|d|＝2，又|c|＝1，∴d＝－2c，∴|a＋b＋c|＝|－c解法三：a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°.如图，建立平面直角坐标系，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a＝(－1，eq\r(3))，b＝(－1，－eq\r(3))，c＝(1,0)，∴a＋b＋c＝(－1,0)，∴|a＋b＋c|＝1.故选A.9．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i的“错位共轭”复数为(D)A．－eq\f(\r(3),6)－eq\f(1,2)i B．－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)iC.eq\f(\r(3),6)＋eq\f(1,2)i D．eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)i[解析]解法一：由(z－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝1，可得z－i＝eq\f(1,\f(\r(3),2)－\f(1,2)i)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，所以z＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.解法二：(z－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝1且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝1，所以z－i和eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i是共轭复数，即z－i＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，故z＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.故选D.10．(2021·四川成都外国语学校月考)设P是△ABC所在平面内的一点，若eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))，则点P是△ABC的(A)A．外心 B．内心C．重心 D．垂心[解析]由eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))，得eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))－2eq\o(CP,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AB,\s\up6(→))·[(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→)))＋(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→)))]＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))D为AB的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·2eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0.因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))，所以(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AP,\s\up6(→)))＝0.设BC的中点为E，同理可得eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(PE,\s\up6(→))＝0，所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．(2021·河南郑州一中摸底)复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，i为虚数单位，若eq\f(z1,z2)是实数，则实数b的值为6.[解析]由题意设eq\f(z1,z2)＝a(a∈R)，则eq\f(3－bi,1－2i)＝a，即3－bi＝a－2ai，解得a＝3，b＝6.12．(2020·河北衡水中学期末联考)已知在平行四边形ABCD中，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(BD,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，则x－y＝－eq\f(7,3).[解析]本题考查平面向量基本定理及线性运算．由题意，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).又eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(BD,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝eq\f(4,3).因此，x－y＝－eq\f(7,3).13．(2021·天津二十四中月考)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为eq\r(13).[解析]∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝eq\r(13).14．(2021·重庆一中月考)设非零向量a，b，c满足a＋eq\r(2)b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为90°.[解析]通解：∵a＋eq\r(2)b＋c＝0，∴a＋eq\r(2)b＝－c，∴a2＋eq\r(2)b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－eq\f(\r(2),2)|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.优解一：如图所示，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则a＝(2,0)，b＝(－eq\r(2)，eq\r(2))，∵a＋eq\r(2)b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.优解二：如图所示，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋eq\r(2)b)⊥a，又a＋eq\r(2)b＝－c，∴a，c的夹角为90°.三、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分15分)(2020·湖南怀化重点中学第三次联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，设m＝a＋tb(t∈R)．(1)若α＝eq\f(π,4)，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若a⊥b，是否存在实数t，使得向量a－b与向量m的夹角为eq\f(π,4)？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．[解析](1)当α＝eq\f(π,4)时，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，a·b＝(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))＝eq\f(3\r(2),2).所以|m|＝eq\r(a＋tb2)＝eq\r(5＋t2＋2ta·b)＝eq\r(t2＋3\r(2)t＋5)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(3\r(2),2)))2＋\f(1,2))，所以当t＝－eq\f(3\r(2),2)时，|m|取最小值．(2)假设存在满足条件的实数t，则由条件得cose