指数函数的概念（原卷版）

4.2指数函数4.2.1指数函数的概念课标要求指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.素养要求1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.2.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.一、指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.温馨提醒指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.二、两类指数型函数模型(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当时为指数增长型函数模型.(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当时为指数衰减型函数模型.重点题型题型一指数函数的概念例1(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是()A.0 B.1C.2 (2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A.(0，1)∪(1，＋∞)B.[0，1)∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))思维升华1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.a，并注意a的限制条件.训练1(1)(多选)下列函数是指数函数的是()A.y＝52xB.y＝－4xC.y＝x3D.y＝(6a－3)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)且a≠\f(2,3)))(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________.题型二求指数函数的解析式或求值例2(1)已知函数f(x)是指数函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)，则f(3)＝________.(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，eq\f(f（1）,f（0）)＝eq\f(1,2)，eq\f(f（2）,f（1）)＝eq\f(1,2)，…，eq\f(f（n）,f（n－1）)＝eq\f(1,2)，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式.思维升华(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.训练2已知函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，求f(x)的解析式、feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值.题型三指数增长(衰减)型函数的实际应用例3(1)为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为()250)m eq\s\up6(\f(1,10))m250m eq\s\up6(\f(1,10)))m(2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为()A.640 B.1280C.2560 D.5120思维升华关于函数y＝kax在实际问题中的应用关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率.2.主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.训练3春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.[课堂小结]1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2.解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数模型求解.3.解题误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.课后训练A一、单选题1．下列函数是指数函数的是（

）A． B． C． D．2．下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（

）A． B． C． D．3．若函数，则（

）A． B． C． D．4．已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（

）A． B． C． D．5．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么年后若人均一年占有千克粮食，则关于的解析式为（

）A． B．C． D．6．函数的图像大致为（）A． B． C． D．二、多选题7．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．18．下列函数中，值域是的幂函数是（

）A． B． C． D．三、填空题9．已知函数和都是指数函数，则.10．双曲函数是由以为底的指数函数和所产生的．其定义为：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切．类比三角函数的公式，我们给出如下双曲函数的公式，其中正确公式的序号为．①②③④11．定义在上的奇函数满足，且当时，，则12．已知函数．若对，使成立，则实数的取值范围为．四、解答题13．设函数，，.（1）若，求；（2）是否存在正实数，使得是偶函数.14．已知指数函数的图象经过点，(1)求函数的解析式；(2)设函数，证明：函数的图象与函数的图象关于y轴对称．15．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为（其中表示初始废气中污染物数量）.经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物.问：（1）15小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少36%需要花多长时间？16．求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）；（3）.课后训练B一、基础达标1.下列函数是指数函数的是()A.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))eq\s\up12(x) B.y＝(－8)xC.y＝2x－1 D.y＝x2f(x)的图象过点(4，81)，则f(x)的解析式为()A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3xC.f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) D.f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,3))f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值为()A.2 C.2或－1 D.－14.(多选)若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－3))·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是()A.a＝8 B.f(0)＝－3C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eq\r(2) D.a＝45.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%的衰减率衰减，则t年后，这种放射性元素质量w的表达式为()A.w＝500×t B.w＝500×t－1C.w＝500×t D.w＝500×t－1f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________.8.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2，4)，则f(f(－1))＝________.9.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10℃的冰箱中的保鲜时间是多少小时？f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.二、能力提升y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)f(2)等于()A.8 C.32 55＝0.7779)()A.赚723元 C.亏145元 ‰，则经过x年后，此市人口数为y(万).(1)求y与x的函数关系y＝f(x