2018-2019学年实验学校九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年四川省成都七中实验学校九年级（上）期末数学

试卷

选择题（共10小题，满分30分）

1.（3分）-2018的绝对值的相反数是（）

A.-J：—B.--C.2018D.-2018

20182018

2.（3分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）

自

3.（3分）为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动.西

河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城.已知每粒稻

谷重约0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（）

A.35X10-6B.3.5X10-6c.3.5X105D.0.35X10-4

4.（3分）下列计算正确的是（）

A.-a^b~i-a2b=-c^bB.（〃-Z?）2=a2-b2

C.〃2・〃3=〃6D.-3〃2+2〃2=-/

5.（3分）己知反比例函数y=-2,下列结论中不正确的是（）

x

A.图象必经过点（-3,2）

B.图象位于第二、四象限

C.若无<-2,则0<y<3

D.在每一个象限内，y随x值的增大而减小

6.（3分）若关于x的一元二次方程（左-l）/+4x+l=0有实数根，则上的取值范围是（）

A.收5B.kW5,且公勺C.k<5,且后£1D.k<5

7.（3分）“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图

书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那

么依题意，可列出的方程是（）

A.x(x+1)=210B.x(x-1)=210

C.2x(x-1)=210D.—x(尤-1)=210

2

8.（3分）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点下在对角线AC上，连接尸2、FE.当

点尸在AC上运动时，设AF=x,△BEP的周长为y,下列图象中，能表示y与x的函数

关系的图象大致是（）

已知点。、E、厂分别为边8C、AD,CE的中点，且△ABC

的面积是4c”，，则阴影部分面积等于（）

A

E

B^DF^C

A.2cm2B.1cm2C.^.cm2D.^-cm2

42

10.（3分）如图，函数丫=--2x+l和y=ox-a（a是常数，且aWO）在同一平面直角坐

二.填空题（满分16分，每小题4分）

11.（4分）如果某数的一个平方根是-5,那么这个数是.

12.（4分）如图，在△ABC中，点。，E分别在48,AC上，NAED=/B,AB^2AE,若

△ADE的面积为2,则四边形BCED的面积为.

13.（4分）某班50名同学积极响应“为雅安地震灾区献爱心捐款活动”，并将所捐款情况

统计并制成统计图，根据图中信息，捐款金额的众数和中位数分别是元.

14.（4分）已知点P（x,y）在二次函数y=2（x+1）2-3的图象上，当-2cxW1时，y

的取值范围是.

三.解答题（共6小题，满分54分）

15.（12分）计算

⑴计算：（y）2+2X|2sin45°-2°

'-x-1

（2）解不等式组｛x2%,在数轴上表示其解集，并写出该不等式组的整数解.

,5x〉3（x-l）

16.（6分）先化简，再求值：（x-2+红）+x+2,其中尤=-L.

x-22x-42

17.（8分）如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到。处时，发现A

岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达8处发现A岛在北偏东45°方向，该

船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：73^1,732）

18.（8分）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是

中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学

举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三

等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：

（1）获得一等奖的学生人数;

（2）在本次知识竞赛活动中，A,B,C,。四所学校表现突出，现决定从这四所学校中

随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B

两所学校的概率.

19.（10分）如图，已知直线>=逗:与双曲线y=K交于两点，且点A的横坐标为

3x

（1）求女的值；

（2）若双曲线y=k上点C的纵坐标为3,求△AOC的面积；

X

（3）在坐标轴上有一点M,在直线AB上有一点P,在双曲线y=k■上有一点N,若以0、

x

M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点尸的坐

标.

20.（10分）数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧

所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究.

下面是他的探究过程，请补充完整：

定义概念：

顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内

角.如图1,为会所对的一个圆外角.

（1）请在图2中画出品所对的一个圆内角；

提出猜想

（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角这条弧所对

的圆周角；一条弧所对的圆内角这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或

“小于”）

推理证明：

（3）利用图1或图2,在以上两个猜想中任选一个进行证明；

问题解决

经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题.

（4）如图3,F,反是NCDE的边。。上两点，在边。E上找一点P使得/正尸以最大.请

简述如何确定点P的位置.（写出思路即可，不要求写出作法和画图）

四.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

21.（4分）设a,0是方程/-尤-2019=0的两个实数根，则a3-2021a-p的值为；

22.（4分）有5张正面分别写有数字-1,一L,0,1,3的卡片，它们除数字不同外全部

4

相同.将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张，记卡片上的数字为a,则使以x

为自变量的反比例函数旷2-经过二、四象限，且关于尤的方程2+2a=一1j

丫xx-lx+lx2-l

实数解的概率是.

23.（4分）如图，函数y=-x与函数y=的图象相交于48两点，过A,8两点分别

x

作y轴的垂线，垂足分别为点C,D.则四边形的面积为.

24.（4分）如图，尸是抛物线y=x2-4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径

作OP，当OP与直线y=0相切时，点尸的坐标为

25.（4分）如图，点尸是菱形A8CD的对角线20上一点，连接CP并延长，交于E,

交8A的延长线于点F.

（1）图中与哪个三角形全等:

（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系：

五.解答题（共3小题，满分30分）

26.（8分）某市政府大力支持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元

的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价无（元）之间的关系可近

似的看作一次函数：y=-Wx+500.

（1）设李明每月获得利润为皿（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？

（2）根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润

2000元，那么销售单价应定为多少元？

27.（10分）在四边形ABC。中，点£为边上一点，点尸为对角线3。上的一点，且跖

XAB.

（1）若四边形A8CD为正方形；

①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系；

②将△E8F绕点8逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE、DF,猜想AE与。尸的数

量关系并说明理由；

（2）如图3,若四边形ABC。为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将△EBP绕点B

逆时针旋转a（0°<a<90°）得到BF',连接AE',DF',请在图3中画出草

图，并求出AE'与DP的数量关系.

28.（12分）如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、8两点（点A在点8的左

边），与y轴交于点C,点。为抛物线的顶点.

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）点、M（m,0）为线段A8上一点（点/不与点A、8重合），过点加作x轴的垂线,

与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ//AB交抛物线于点Q,过点Q

作QNLx轴于点N,可得矩形PQNM.如图，点尸在点Q左边，试用含m的式子表示

矩形尸QW的周长；

(3)当矩形PQW的周长最大时，机的值是多少？并求出此时的的面积；

(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接过抛物线上一点尸作

y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点尸的上方).若FG=2^^PQ,求点E的

坐标.

2018-2019学年四川省成都七中实验学校九年级（上）期

末数学试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分30分）

1.（3分）-2018的绝对值的相反数是（）

A.-J：—B.--C.2018D.-2018

20182018

【考点】14：相反数；15：绝对值.

【专题】1：常规题型.

【分析】直接利用绝对值以及相反数的定义分析得出答案.

【解答】解：-2018的绝对值为：2018,

故2018的相反数是：-2018.

故选：D.

【点评】此题主要考查了绝对值以及相反数，正确把握相关定义是解题关键.

2.（3分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D

符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

3.（3分）为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动.西

河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城.已知每粒稻

谷重约0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（）

A.35Xl（f6B.3.5X10-6C.3.5X105D.0.35X10-4

【考点】1J：科学记数法一表示较小的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>1时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，”是负数.

【指军答】解：0.000035=3.5X10-5,

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10,，的形式，其

中〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

4.（3分）下列计算正确的是（）

A.-a4b^a2b=-a2bB.（a-&）2=a2-b2

C.=D.-'icr+lcr--CT

【考点】41：整式的混合运算.

【专题】11：计算题.

【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

【解答】解：-b=-a2,故选项A错误，

（a-b）2=a2-lab+lr,故选项B错误，

a1,a3—a5,故选项C错误，

-3a2+2a1=-a2,故选项D正确，

故选：D.

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法.

5.（3分）已知反比例函数>=-0，下列结论中不正确的是（）

x

A.图象必经过点（-3,2）

B.图象位于第二、四象限

C.若x<-2,则0<y<3

D.在每一个象限内，y随x值的增大而减小

【考点】G4：反比例函数的性质.

【专题】1：常规题型；534：反比例函数及其应用；67：推理能力.

【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可.

【解答】解：A、图象必经过点（-3,2）,故A正确；

B、图象位于第二、四象限，故8正确；

C、若x<-2,则y<3,故C正确；

D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故。正确；

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键.

6.（3分）若关于尤的一元二次方程l）/+4x+l=0有实数根，则上的取值范围是（）

A.kW5B.kW,且后勺C.k<5,且后GD.k<5

【考点】AA：根的判别式.

【专题】523：一元二次方程及应用；68：模型思想.

【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式

组，解之即可得出结论.

【解答】解：二•关于x的一元二次方程（k-1）/+4x+l=0有实数根，

.%-1卉0

^△=42-4（k-l）>0，

解得：收5且左W1.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结

合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键.

7.（3分）“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图

书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那

么依题意，可列出的方程是（）

A.x（x+1）=210B.x（x-1）=210

C.2x（x-1）=210D.Xx（尤-1）=210

2

【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】12：应用题.

【分析】根据题意列出一元二次方程即可.

【解答】解：由题意得，x（x-1）=210,

故选：B.

【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清

问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系.

8.（3分）在正方形A8CD中，点E为边的中点，点厂在对角线AC上，连接FB、FE.当

点厂在AC上运动时，设△BEE的周长为“下列图象中，能表示y与x的函数

关系的图象大致是（）

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【专题】121：几何图形问题；16：压轴题.

【分析】先根据正方形的对称性找到y的最小值，可知图象有最低点，再根据距离最低

点尤的值的大小（AM>MC）可判断正确的图形.

【解答】解：如图，连接。E与AC交于点

则当点/运动到点M处时，三角形△BEF的周长y最小，且

通过分析动点厂的运动轨迹可知,y是x的函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为:

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解

决问题.

9.（3分）如图，在△ABC中，已知点。、E、厂分别为边2C、AD,CE的中点，且△ABC

的面积是4C%2,则阴影部分面积等于（)

1cmC.L?52D.L?加?

42

【考点】K3：三角形的面积.

【专题】552：三角形.

【分析】因为点尸是CE的中点，所以△3所的底是△BEC的底的一半，△2所高等于

△8EC的高；同理，D、E、分别是BC、的中点，可得△E8C的面积是△ABC面积

的一半；利用三角形的等积变换可解答.

【解答】解：如图，点P是CE的中点,

的底是EF,△BEC的底是EC,BPEF=1-EC,而高相等,

2

•*.SABEF=LS^BEC，

2

是的中点，

S^BDE—^S^ABD,S^CDE—XSAACD,

22

S^EBC—^S^ABC?

2

:♦SABEF=LsAABC,且S^ABC=4,

4

•'•SABEF=1,

即阴影部分的面积为1.

故选：B.

【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其

中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个

三角形面积的几倍.

10.（3分）如图，函数>=以2-2x+l和y=or-。（a是常数，且aWO）在同一平面直角坐

标系的图象可能是（）

【考点】F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象.

【专题】1：常规题型.

【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符,

判断正误即可.

【解答】解：A、由一次函数a的图象可得：a<Q,此时二次函数y=a?-2x+l

的图象应该开口向下，故选项错误；

B、由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0,此时二次函数了=/-2x+l的图象应该开

□向上，对称轴x=-二2>o,故选项正确；

2a

C、由一次函数a的图象可得：a>0,此时二次函数y=a?一2x+l的图象应该开

□向上，对称轴彳=-二2>0,和x轴的正半轴相交，故选项错误；

2a

D、由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0,此时二次函数y=a/-2x+l的图象应该开

□向上，故选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y^ax

-a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、

顶点坐标等.

二.填空题（满分16分，每小题4分）

11.（4分）如果某数的一个平方根是-5,那么这个数是25.

【考点】21：平方根.

【专题】11：计算题；511：实数.

【分析】利用平方根定义即可求出这个数.

【解答】解：如果某数的一个平方根是-5,那么这个数是25,

故答案为：25

【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键.

12.（4分）如图，在△ABC中，点。，E分别在AB,AC上，/AED=/B,AB=2AE,若

△AOE的面积为2,则四边形BCED的面积为

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】由△AZJES^ACB,推出相似比=处=上，推出S△仙E=（1）2,由此即可

杷2SAABC2

解决问题；

【解答】解：VZA=ZA,ZAED=ZB,

:.△ADEsAACB,

相似比=3员=工

AB2

.SAADE包）2,

,△ABC2

VSAAD£=2,

SAABC=8,

••S四边形BCED=8-2=6,

故答案为6.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

13.（4分）某班50名同学积极响应“为雅安地震灾区献爱心捐款活动”，并将所捐款情况

统计并制成统计图，根据图中信息，捐款金额的众数和中位数分别是30,30元.

【分析】根据众数的定义即可得到捐款金额的众数是30；在50个数据中，第25个数和

第26个数都是30,然后根据中位数的定义求解.

【解答】解：捐款金额的众数是30元；

共有数据6+13+20+8+3=50,第25个数和第26个数都是30元，所以中位数是：30元.

故答案为30,30.

【点评】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数.也考查

了中位数的定义.

14.(4分)已知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图象上，当-2V尤W1时，y

的取值范围是-3WyW5.

【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】17：推理填空题.

【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y的取值范围，本题得以解

决.

【解答】解：•.•二次函数y=2(尤+1)2-3,

.•.该函数对称轴是直线尤=-1,当x=-1时，取得最小值，此时y=-3,

:点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图象上，

...当-2<忘1时，y的取值范围是：-3&W5,

故答案为：-3WyW5.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.

三.解答题(共6小题，满分54分)

15.(12分)计算

2

⑴计算：(j-)-+2X|2sin450-2|-高二)。

'_x-ie

(2)解不等式组｛X2%，在数轴上表示其解集，并写出该不等式组的整数解.

,5x>3(xT)

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；6F：负整数指数累；C4：在数轴上表示不等

式的解集；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解；T5：特殊角

的三角函数值.

【专题】1：常规题型.

【分析】(1)先求出每一部分的值，再代入求出即可；

(2)先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，即可得出答案.

【解答】解：(1)原式=4+2历-2|-1

=4+2(2-72)-1

=4+4-2&T

=7-2A/2；

（2）解：,

5x>3(x-l)②

由①得：无（1,

由②得：x>-|"

所以不等式组的解集是

IIIIjlII,

数轴上表示为：-5-4-3-2-102345

不等式组的整数解有：-1,0,1.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数累、零指数累、解一元一次不等

式组、在数轴上表示不等式组的解集、不等式组的整数解等知识点，能求出每一部分的

值是解（1）的关键，能求出不等式组的解集是解（2）的关键.

16.（6分）先化简，再求值：（x-2+红）+皿_,其中尤=-L.

x-22x-42

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.

［解答］解：原式=（父25+£+巫）・202）

x-2x_2x+2

<（X+2）2.2（X-2）

x-2x+2

=2（x+2）

=2尤+4,

当x--工时，

2

原式=2X（-A.）+4

2

=-1+4

=3.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化

简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

17.（8分）如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到。处时，发现A

岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达8处发现A岛在北偏东45°方向，该

船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：'门仁1.732）

【考点】TB：解直角三角形的应用-方向角问题.

【专题】12：应用题；16：压轴题.

【分析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点A的最近距离，然后与暗

礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险.

【解答】解：根据题意，有NAOC=30°,NABC=45°,ZACB=90°,

所以BC=AC,

于是在Rt^AOC中，由tan30°=里,

0C

得近^=_/_,

3-20+AC

解得AC=义1,27.32（海里），

V3-1

因为27.32>25,

所以轮船不会触礁.

【点评】此题主要考查解直角三角形的有关知识.通过数学建模把实际问题转化为解直

角三角形问题.

18.（8分）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是

中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学

举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三

等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：

（1）获得一等奖的学生人数；

（2）在本次知识竞赛活动中，A,B,C,。四所学校表现突出，现决定从这四所学校中

随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B

两所学校的概率.

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】1：常规题型；543：概率及其应用.

【分析】（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的

百分比即可求得一等奖的学生数；

（2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）二•三等奖所在扇形的圆心角为90°,

三等奖所占的百分比为25%,

•..三等奖为50人，

.•.总人数为504-25%=200人，

一等奖的学生人数为200义（1-20%-25%-40%）=30人；

•.•共有12种等可能的结果，恰好选中A、8的有2种，

：.P（选中A、B）=_L=_k

126

【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果

列举出来，然后利用概率公式求解，难度不大.

19.（10分）如图，已知直线与双曲线y=K交于A、B两点，且点A的横坐标为

3x

（1）求人的值；

（2）若双曲线y=K上点C的纵坐标为3,求△AOC的面积；

X

（3）在坐标轴上有一点在直线AB上有一点P,在双曲线y=k上有一点N,若以O、

M,P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点尸的坐

标.

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G8：

反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】11：计算题；15：综合题.

【分析】（1）把点A的横坐标为F代入y=®求出其纵坐标，然后把A点的坐标代入

3

y=JL求出k即可.

X

（2）根据纵坐标为3,求出横坐标，再求出过A,。两点的直线方程，然后根据△AOC

的面积=SAcoo-S/vloz）求解即可.

（3）设尸点坐标（a,区），根据题意，分两种情形①点/只能在横坐标轴上，@M

3

在y轴上时，分别即可求解.

【解答】解：（1）把点A的横坐标为盗代入＞=返方

3

...其纵坐标为1,

把点（遥，1）代入y=k,解得：k=M.

（2）•.•双曲线■上点C的纵坐标为3,

X

.♦.横坐标为匹，

3_

...过A,C两点的直线方程为：y^kx+b,把点（Jj，1），（昱,3）,代入得:

lb=4

.■.y=-J泉+4,设y=-■/泉+4与x轴交点为D,

则。点坐标为（殳叵，0）,

△AOC的面积=SACOD-&AOD=LX^Z1_X3-Lxi2ZIxl=

23233

（3）设P点坐标（a,叵），由直线4B解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°,

3_

•.•以O、M,P、N为顶点的四边形是有一组对角为60。的菱形，尸在直线y=1上，

3

当点M只能在x轴上时，

；.N点的横坐标为a,代入y=Y3,解得纵坐标为：叵,

xa

根据。尸=NP,即得：|2^g=l返-亨小

解得：a=i1.

故尸点坐标为：（1,1）或（-1,

33

当点M在y轴上时，同法可得p（3,e）或（-3,-b）.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及反比例函数图象上坐标的特征，难

度较大，关键掌握用待定系数法解函数的解析式.

20.（10分）数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧

所对的圆周角相等“，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究.

下面是他的探究过程，请补充完整：

定义概念：

顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内

角.如图1,为源所对的一个圆外角.

（1）请在图2中画出定所对的一个圆内角；

提出猜想

（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对

的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角;（填“大于”、“等于”或

“小于”）

推理证明：

（3）利用图1或图2,在以上两个猜想中任选一个进行证明；

问题解决

经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题.

(4)如图3,F,"是/COE的边。C上两点，在边。E上找一点P使得/五产"最大.请

简述如何确定点尸的位置.(写出思路即可，不要求写出作法和画图)

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)在O。内任取一点连接AM,BM-,

(2)观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆

内角大于这条弧所对的圆周角，此问得解；

(3)M)与。。相交于点C,连接AC,利用三角形外角的性质可得出/AC8=/M+

ZMAC,进而可证出(〃)延长交O。于点C,连接AC,利用三角形

外角的性质可得出ZACB+ZCAM,进而可证出ZACB；

(4)由(2)的结论，可知：当过点F,H的圆与。E相切时，切点即为所求的点P.

【解答】解：(1)如图2所示.

(2)观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆

内角大于这条弧所对的圆周角.

故答案为：小于；大于.

(3)证明：(i)如图1,3M与。。相交于点C,连接AC.

,/ZACB=ZM+ZMAC,

：.ZACB>ZM；

(〃)如图4,延长8M交。。于点C,连接AC.

"?ZAMB=ZACB+ZCAM,

：.ZAMB>ZACB.

(4)如图3,当过点RX的圆与。E相切时，切点即为所求的点P.

c

【点评】本题考查了圆的综合应用以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）依照题

意画出图形；（2）观察图形，找出结论；（3）利用三角形外角的性质证出：一条弧所对

的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角；（4）

利用（2）的结论找出点P的位置.

四.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

21.（4分）设a,B是方程/-x-2019=0的两个实数根,则a3-2021a-0的值为2018；

【考点】AB：根与系数的关系.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系，结合“a,0是方程7-X-2019=0的两个

实数根"，得至I]a+P的值，代入a3-2021a-0,再把a代入方程/-x-2019=0,经过

整理变化，即可得到答案.

【解答】解：根据题意得：a+B=l,

a3-2021a-p

=a（a2-2020）-（a+0）

=a(a2-2020)-1,

Va2-a-2019=0,

Aa2-2020=a-1,

把a2-2020=a-1代入原式得：

原式=a(a-1)-1

=a2-a-1

=2019-1

=2018.

【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的

关键.

22.(4分)有5张正面分别写有数字-1,J=，0,1,3的卡片，它们除数字不同外全部

4

相同.将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张，记卡片上的数字为小则使以x

为自变量的反比例函数产跄工经过二、四象限，且关于x的方程一2—+2a一有

xX-1x+1

实数解的概率是z.

一五一

【考点】B2：分式方程的解；G4：反比例函数的性质；X4：概率公式.

【分析】根据反比例函数图象经过第二、四象限列出不等式求出a的取值范围，从而确

定出a的值，再把分式方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1)化为整式方程并用a

表示出%,然后根据分式方程有实数解尤。±1求出a不能等于的值，从而最后得到a的

值，然后根据概率公式列式计算即可得解.

【解答】解：•••反比例函数图象经过第二、四象限，

：.3a-7<0,

解得工，

3

*.a---1,0,1,

4

方程两边都乘以(x+1)(尤-1)得，2(x+1)+2a(X-1)=1,

解得x=2-,

2a+2

・・,分式方程有实数解，

...2aT老士］,

2a+2

解得a名-―,

4

又-1时，2。+2=0,分式无意义,

••41T2-11,

综上所述，0,1,

.•.尸=2.

5

故答案为：2.

5

【点评】本题考查了概率公式，反比例函数图象的性质，分式方程的解，熟记性质以及

方程解的定义求出a的值是解题的关键.

23.（4分）如图，函数y=-x与函数y=-4的图象相交于A,8两点，过A,8两点分别

作y轴的垂线，垂足分别为点C,D.则四边形AC8O的面积为3

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义.

【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线

所围成的直角三角形面积S的关系即5=春川，得出SAAOC=SAODB=2,再根据反比例函

数的对称性可知：OC=OD,AC=BD,即可求出四边形AC8。的面积.

【解答】解：•••过函数＞=-2的图象上48两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C,

X

D,

••S^\AOC~S/\ODB=^-\k\=2,

2

又・：OC=OD,AC=BD,

S/^AOC=S/\ODA=S/\ODB=S/\OBC=2j

二・四边形ABCD的面积为：S/\AOC+SAODA+SAODB+SAOBC=4X2=8.

故答案为：8.

【点评】本题主要考查了反比例函数y=三中左的几何意义，即过双曲线上任意一点引x

轴、y轴垂线，所得矩形面积为因；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作

垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=三川，是经常考查的一个知识点；同时考查

2

了反比例函数图象的对称性.

24.（4分）如图，尸是抛物线y=/-4x+3上的一点，以点尸为圆心、1个单位长度为半径

作OP,当OP与直线y=0相切时，点P的坐标为（2+无，1）或（2-无，1）或（2,

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；MC：切线的性质.

【分析】。尸与直线y=0相切时就是：。尸与x轴相切，半径为1个单位长度，即点P

的纵坐标|y|=l,根据尸是抛物线y=7-4x+3上的一点，代入计算出尤的值，并写出点

P的坐标，一共有3种可能.

【解答】解：当y=l时，x2-4x+3=1,

解得：尤=2土加,

：.P（2+”何，1）或（2-%，1）,

当y=-1时，x2-4尤+3=-1,

解得：％1=X2=2,

：.P（2,-1）,

则点尸的坐标为：（2+%，1）或（2-,匹，1）或（2,-1）.

【点评】本题考查了切线的性质，并与二次函数相结合，首先理解圆的半径和点P的纵

坐标有关，且点尸又在抛物线上，X、y的值满足解析式，所以列一元二次方程可求解.

25.(4分)如图，点尸是菱形ABC。的对角线8。上一点，连接C尸并延长，交4D于E,

交BA的延长线于点F.

(1)图中△APO与哪个三角形全等：△CPD.

(2)猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系：Pd=PE，PF.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性

质.

【分析】(1)根据菱形的性质得DA=DC,从而得到△人?1)与△CP。

全等.

(2)根据菱形的对边互相平行得/尸，再根据(1)题的结论得到NDCP=N

DAP,从而证得△B4EsAP超，然后利用比例线段证得等积式即可.

【解答】解：(1)•四边形ABC。为菱形，

:./ADP=NCDP,DC=DA,

在和△CPD中，

rDC=DA

<ZADP=ZCDP

晔DP

/.AAPD^ACPD(SAS)；

(2)..•四边形ABC。为菱形，

：.ZDCF=ZF,

'：△APD"KPD,

：.ZDCP=ZDAP,

C.ZF^ZPAE,

:.NPAEs

-PA_PF

"pf=PA'

即：PA2=PE-PF,

是菱形ABC。的对角线3。上一点，

C.PA^PC,

：.PC2=PE'PF.

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性质，是一

道不错的综合题.

五.解答题（共3小题，满分30分）

26.（8分）