2019-2020学年人教A版山东省淄博市部分学校高二第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.命题“VxGR,f+ax+l'。”的否定是（）

A.2xGR,x+a^+1^0B.3xGR,x+axt-1<0

C.VxER,4+axMWOD.VxSR,x+ax+1<0

2.下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>0f则ac>beB.若aV6V0,则a<ab

若aV6V0,则!<工

C.若a>6>0,贝必后〉几D.

ab

»3——*.,

3.在三棱锥/-夕曲中，£■是棱曲的中点，且BF=:yBE,则AF=()

1-*33-*™™*3~~*3>

A.yAB-^AC-^ADB.ABAC-jAD

…”.一一.蒋屈卓6季5

C.-5AB+3AC+3ADD.

So

4.设等比数列｛4｝的前〃项和为品若.福则”=()

a3,

b4

,5„34、4

A.-B.—C.—D.—

4453

5.若双曲线G-.=1（a>0,6>0）的一条渐近线方程为y=2x,则，的离心率为

（）

A.aB.娓C.堂D.喙

6.方程为版+"y=0和版+"=1（加丰0）的两条曲线在同一坐标系中可以是（）

7.为落实“精准扶贫”任务，某扶贫干部帮助帮扶贫困村筹集资金16万元，购进了一条

配件加工生产线.已知该生产线每年收入20万元，第一年生产成本为4万元，从第二年

起，每年生产成本比前一年增加2万元.若该生产线〃（〃GN*）年后年平均利润达到最

大值（利润=收入-生产成本-筹集资金），则"等于（）

A.3B.4C.5D.6

8.如图，四棱锥S-4反Q中，底面/脑是边长为2的正方形，SAL平面ABCD,夕为底面

ABCD内的一动点、,若而•前=1，则动点"的轨迹在（）

“,•/）

产

A.圆上B.双曲线上C.抛物线上D.椭圆上

二、多项选择题

9.关于x的一元二次不等式f-6A+aW0（aSZ）的解集中有且仅有3个整数，则a的取

值可以是（）

A.6B.7C.8D.9

10.在递增的等比数列｛a｝中，£是数列｛&｝的前〃项和，若以«=32,且+为=12,则下列

说法正确的是（）

A.q=1

B.数列｛£+2｝是等比数列

C.&=510

D.数列｛/ga｝是公差为2的等差数列

11.下列命题为真命题的是（）

A.3xGR,x-A+1^0

B.当ac>0时，3xGR,ax+bx-c=0

C.|x-y|=|x|-|y|成立的充要条件是xy》0

D.“-2VxV3”是“（*2-2|X|+4）（x?-2x-3）VO”的必要不充分条件

12.如图，在长方体四曲-48G4中，4斤五仙哂人女小百，点。为线段4c上的动

点，则下列结论正确的是（）

A.当A[C=2AF时，&,P,〃三点共线

B.当薪1平时，APIDT?

C.当A[C=3A]P时，UP〃平面被G

D.当A]C=5A[P时，4CJ•平面

二、填空题(本题共4小题，每题5分，满分3分，将答案填在答题纸上)

13.若0<aV1,则关于x的不等式(a-x)(x--)>0的解集是.

a

'a“a12al3'

14.由9个正数组成的3行3列方阵a21a22a23中，每行中三个数成等比数列，且a”当2昌3,

a31a32a33」

521322323,而备2a33成等差数列.若，12=2,532=4,则/2=.

15.若x,y€R+,若a=1,则A+y的最小值为.

x+-1Jy

16.已知直线/:4x-3jH-6=0,抛物线C:/=4x图象上的一动点。到直线/与到y轴距

离之和的最小值为,P到直线/距离的最小值为.

四、解答题

17.已知为等差数列｛a〃｝,｛a-1｝是首项为5公比为q的等比数列，且满足向+6=7,全

=q,a+6=35.

(1)求数列｛&｝,｛a｝的通项公式；

(2)设Cn=ajbn-an,求数列｛c„｝的前"项和S.

18.如图，在四棱锥P-4脑中，底面48缈是边长为1的正方形，PAL平面ABCD,PA=X,

解为侧棱刃的中点.

(1)证明：平面筋IC_L平面也；

(2)求直线用与平面9所成的角的大小.

22

19.已知双曲线C：x-y=a(a>0)与椭圆J^-=［有相同的焦点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)以夕(1,2)为中点作双曲线C的一条弦46,求弦48所在直线的方程.

20.已知三棱柱/8C-45G中，川」平面/外，ACS.BC,AC=®BC,CMLAB于点、M,点、N

在棱州上，满足部~=入(0<入<1).

kzV|

9

(1)若入=字求证：CM〃平面RAN;

O

(2)设平面84V与平面83所成的锐二面角的大小为e,若48JL8C,试判断命题'勺

xe(0,D,e==”的真假，并说明理由.

.44

3

21.已知在数列｛a〃｝中，a=3,对于V〃GN*,an+1=l-*y^—.

1an

(1)求电条,并证明2介于a〃和a之间；

(2)若L二求数列｛4｝的通项公式，并证明Ia/2

n3

22FT

22.已知在平面直角坐标系的中，椭圆C：工y+上fl(a>b>0)过点(«,洋)，离

心率为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点尸作一条不与坐标轴平行的直线/,交椭圆C于4,8两点，求△力必面积

的取值范围.

参考答案

一、选择题

1.命题“VxGR,的否定是（）

A.3xGR,X+SA+1^0B.3xGR,x+ax+1<0

C.VxGR,f+ax+1W0D.VxGR,x+ax+1<0

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

解：命题为全称命题，则命题“VxGR,x+ax+1^0w的否定是：3xGR,x+ax+1<0,

故选：B.

2.下列命题为真命题的是（）

A.若a>6>0,则ac>bcB.若a<b<Q,则a<ab

C.若a>6>0,则、几>瓜D.若aV6V0,则」-〈工

ab

【分析】利用不等式的基本性质可判断命题曲的真假，取特殊值可判断命题45的真假.

解：A.取c=0,则ac2>6d不成立，故/错误；

B.由aVbVO,取a=-2,h=-1,则，Vab不成立，故夕错误；

C.-：a>b>0,...由不等式的基本性质知故C正确；

D.'：a<b<Q,：.ab>Q,：.a*—<b'—,故〃错误.

ababba

故选：C.

3.在三棱锥4-8微中，£是棱微的中点，且BF或BE,则标=（）

A./AB+^ACqADB.AB普AC告AD

C.-5AB+3AC+3ADD.ABT•正亭5

【分析】直接利用空间向量的加减法运算，即可得答案.

解：如图，•••£是棱缈的中点，且BF专BE,ABF^-（AE-AB）=

yX^-（AD+AC）4AB,

-AF=AB+BF=AB+^AD^-|-AC-yAB=-yAB+^AD^AC.

故选：D.

A

So

4.设等比数列｛a.｝的前〃项和为品若a54a3,则占（)

b4

,54D1

A.BC.

4-153

【分析】结合已知及等比数列的通项公式可求公比q,然后结合等比数列的求和公式即

可求解.

解：由a[a才可得

哈兴Y

故选：A.

5.若双曲线Ct三•-工5=1（a>0,6>0）的一条渐近线方程为y=2x,则C的离心率为

)

娓

A.V&B.后PV.----D

24

【分析】利用双曲线的渐近线推出6,a关系，然后求解离心率即可.

解：由已知双曲线C:4-*=1（a>0,/»>0）的一条渐近线方程为y=2x,

可畤必,2

1+(―)=V5»

a

故选：B.

6.方程为版+〃j/=0和版+〃/=1（勿〃=#0）的两条曲线在同一坐标系中可以是（）

D.

m、"同号或异号讨论，即可得到结论.

解：方程戒+〃y=0即x=--y,表示抛物线，方程加Qmn*Q）表示椭圆或

m

双曲线.

当加和"同号时，抛物线开口向下，方程（加0）表示椭圆，无符合条件的

选项.

当〃和〃异号时，抛物线x=--y,开口向上，方程mx+ny=\表示双曲线，注意8

m

满足，

故选：B.

7.为落实“精准扶贫”任务，某扶贫干部帮助帮扶贫困村筹集资金16万元，购进了一条

配件加工生产线.已知该生产线每年收入20万元，第一年生产成本为4万元，从第二年

起，每年生产成本比前一年增加2万元.若该生产线"（〃GN*）年后年平均利润达到最

大值（利润=收入-生产成本-筹集资金），则〃等于（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】由题意可知，生产成本是以4为首项，公差为2的等差数列，先求出生产成本

之和，再结合题意列出年平均利润关于"的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数

的最大值，以及此时〃的值.

解：设年平均利润达为y,"年的生产成本之和为s,

由题意可知，生产成本是以4为首项，公差为2的等差数列，

._.,n（n-l）_2

.・s_4n^Xv2n-n+3n,

.20n-s-1620n-n2-3n-16_-n2+17n-16_16_/.16x

..y=--------------=--------------------------------------------n------+17——1"—）

nnnn

+174-X—+17=9,

n

当且仅当"=」回，即"=4时，取等号,

n

，平均利润达到最大值时，n=4,

故选：B.

8.如图，四棱锥S-/反Q中，底面48，步是边长为2的正方形，SA工平面ABCD,夕为底面

ABCD内的一动点、,若丽•西=1，则动点"的轨迹在()

“,•/)

--T

A.圆上B.双曲线上C.抛物线上D.椭圆上

【分析】建立空间直角坐标系，设坐标，由数量积可得夕的轨迹为圆.

解：由题意建立空间直角坐标系，以/夕为x轴，4?为y轴，4S为z轴，4为坐标原点，

则8(2,0,0),5(0,0,c),设P(x,y,0)因为而.前=(2-x,-y,0)(-

x,-y,c)=x-2x+y+0=(.x-1)2+y,

由题意可得：可得动点户的轨迹为：以(1,0)为圆心，以1为半径

的圆.

故选：4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.关于x的一元二次不等式/-6/aW0(aGZ)的解集中有且仅有3个整数，则a的取

值可以是()

A.6B.7C.8D.9

【分析】设F(x)=x-6A+S,画出函数图象，利用数形结合的方法得出关于a的不等

式组，从而求出a的值.

解：设F(x)=x-6A+S,其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示；

若关于x的一元二次不等式4-6/的解集中有且仅有3个整数，则

p(2)<0j4-12+a<0

|f(l)>0，即jl-6+a>0，

解得5VaW8,又aGZ,

所以a=6,7,8.

故选：ABC.

10.在递增的等比数列｛4｝中，£是数列｛吊｝的前"项和，若&a=32,^=12,贝”下列

说法正确的是()

A.<7=1

B.数列｛£+2｝是等比数列

C.&=510

D.数列｛Iga｝是公差为2的等差数列

【分析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a,的值，则即可得到等比数列｛4｝的

通项公式和前〃项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项.

解：由题意，根据等比中项的性质，可得

必备=a1a4=32>0,与+a=12>0,

故与>0,a>0.

根据根与系数的关系，可知

&,为是一元二次方程4-12肝32=0的两个根.

解得包=4,今=8,或32=8,a=4.

故必有公比Q>0,

品=—a^,>0.

q

•••等比数列｛a„｝是递增数列，q>1.

.♦.&=4,a=8满足题意.

a9

：.q=2,ai=—=2.故选项/不正确.

q

a“=q"-'=2".

.•S=2(l-2”)=2出—2

・"一—1:2~一,

二£+2=2"'=4,2"~'.

二数列｛£+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列.故选项8正确.

$=2.-2=512-2=510.故选项C正确.

Vlgan=/@=n.

二数列｛/g4｝是公差为1的等差数列.故选项。不正确.

故选：BC.

11.下列命题为真命题的是()

A.3xGR,x-A+1=^0

B.当ac>0时，3xGR,ax+bx-c=0

C.|x-y|=|x|-|y|成立的充要条件是xy,0

D.“-2VxV3”是“(f-2|x|+4)(f-2x-3)VO”的必要不充分条件

【分析】4VxGR,x-A+1=(x-y)2+-1>0,即可判断出正误；

B.当ac>0时，由#+6x-c=0,可得△>(),即可判断出正误；.

C.|x-y|=|x|-|y|成立的充要条件是xy"0,且即可判断出正误；

D.由V-2|x|+4=(|x|-1)，3>0恒成立，因此(x?-2|x|+4)(x?-2x-3)VOo

f-2x-3V0o-1VxV3,即可判断出正误.

解：A.VxGR,x-A+1=(X^-)2+^>0,因此/不正确；

B.当ac>0时，由c=0,可得△=〃+4石c>0,因此mx£R,ax+bx-c=0,正

确.

C.|x-y|=|x|-3成立的充要条件是且|x|23,因此不正确;

D.由f-2|x|+4=(|x|-1)2+3>0恒成立，因此(寸-2|x|+4)(x-2x-3)VOo

x-2x-3<0<=>-1<x<3

“-2VxV3”是“(*Z-2|x|+4)(x-2x-3)VO”的必要不充分条件.因此正确.

故选：BD.

12.如图，在长方体/的-48C4中，人8=炳2忐卜卜\=如,点。为线段4c上的动

点，则下列结论正确的是()

A.当A]C=2AF时，8,P,。三点共线

B.当亚11忑时，APl^Dp?

C.当立=3不时，DP〃平面劭G

D.当不=5不时，4aL平面ZMP

【分析】建立空间直角坐标系，设A[C=AA[P,AjC=(-1,M，T)，可得：DP

A.当A[C=2AF时，点P为对角线4c的中点，即可判断出结论.

=_LL

B.当AP_LA]C时，AP(-七1>**•AP*A1C=Y+-^-+Y-1=0,解得

kkkkkk

k=5.计算部•D[P=O是否成立即可.

C.当司下=34时，户(春，今，#),D?P=(f,噂，-1),设平面呼的法

J3so0o

向量为(x,y,z),利用7DB=n*DC[=O,可得[计算D1P・n=0是否成

立即可得出.

D.当下=5不时，可得：，(看，g,4)-可得：AP=(-i坐，当.用

bobDbD

=(1,0,-1),设平面〃〃的法向量为7=(a,b,c),利用iAP-K*D]A=0,

可得7,判断A[C〃7是否成立即可判断出结论.

解：建立空间直角坐标系，4(1,0,1),D(0,0,0),C(0,0),白(0,0,

D,

/(1,0,0),4(1,0,1),8(1,匾，0),

G(0,1),

设A[C=4A]P,A[C=(-1,M，-1)，

可得：而=为4年=(1-9—,1-y-),

kkkk

A.当年忑二2兄1T时，点夕为对角线4c的中点，可得8,P,，三点共线，正确.

B.当行1不时，获=(-占，g,i-j),：•乐•不=_^^]-1=0,解得

1kkk1kkk

则而•D!P=(-y,y)•(含唱•，-乡=-3一提■丰°，因此APJ.D〔P

不正确；

C.当W=34时,P母圣|),DpP=<P冬T)，

设平面劭G的法向量为扇=(x,y,z),DB=(1，M，0)，Dg=(0,M，1),

=A+/=

***n*DBV3J0>n*DCI=V3J/+Z=0,取。=(，'区,T，V3)•则D[P・n=

二三-夸-：，5=0,〃平面劭G,正确.

D.当不=5不时，可得：，(会坐，力.可得：屈=(W，g,当.用

555bob

=(1,0,-1),设平面的法向量为二=(a,b,c),则蚤~Jp

555

=0,5D[A=a-c=0,取:=(-1,M，-1).AAjC/7^,・・.4C，平面

因此正确.

综上可得：ACD正璘.

故选：ACD.

4

二、填空题(本题共4小题，每题5分，满分3分，将答案填在答题纸上)

13.若0<aV1,则关于x的不等式(a-x)(x--)>0的解集是_(a,—

aa

【分析】已知0Va<1,可得工>1,判断a与工的大小，再根据不等式的解法，进行求

aa

解

解：因为0VaV1,可得」>1,

■:(a-x)(x--)>0=(x-a)(x--)V0=aVxV工；

aaa

.二关于x的不等式(a-z)(x--)>0的解集是(a,—);

aa

故答案为：(a,—)

a

<aUa12a13>

14,由9个正数组成的3行3列方阵a21a22a23中，每行中三个数成等比数列，且各间2a3,

131a32a33j

为1/2a3,勿修2/3成等差数列.若向2=2,a2=4,则322=gQ

【分析】由题意设出一个满足条件的矩阵，结合疑山2台3,而42a3,布色2/3成等差数列，

运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得所求值.

21

aaqaq

2

解：由题意可设9个正数组成的矩阵为bbmbm(q,m,n9分别为各行的公比)，

2

ccncnI

各1各2句3,小奥2生3,含1石32张成等差数列，可得(aq)3+(cn)3=2(bm)3,

ai2=2,532=4,可得6加=2,cn=4,

则2、43=2X%3,解得生产V品.

故答案为：^36-

15.若x,yGR+,若_,则妙y的最小值为3.

x+1y

【分析】由已知可得，肝尸1=（叶尸1）•（一J-）,展开后应用基本不等式即可

x+1y

解：由题意可得，/齐1=（A+JH-1）（1,4）=2+—匚J^\2+2=4；

x+1yx+1y

yx+1

yx+1r

当且仅当x+1早型则x=1,y=2时取等号

-

x+1y

的最小值为4-1=3.

故答案为：3

16.已知直线/:4x-3y+6=0,抛物线C:/=4x图象上的一动点P到直线/与到y轴距

离之和的最小值为1,0到直线/距离的最小值为4.

【分析】将点到y轴的距离转化为到准线的距离减准线到y轴的距离，再由由抛物线的

性质到准线的距离等于到焦点的距离，用焦点到直线的距离求出最小距离；

抛物线上的点到直线的距离转化为平行线间的距离，直线与抛物线相切时平行线间的距

离最小，切线与抛物线联立用判别式等于0求出/的平行线，进而求出。到直线的最小

值.

解：由题意抛物线的焦点尸（1,0）,准线方程为％=-1,

由抛物线的性质，到准线的距离等于到焦点的距离，所以/=4x图象上的一动点户到直

线/与到y轴距离之和的最小值时过焦点下做这些/的垂线与抛物线的交点只

所以最小值为焦点尸到直线/的距离减准线到y轴的距离，而焦点到直线/的距离d=

|4>1~3>0+6|

=2,所以P到直线/与到y轴距离之和的最小值为：2-1=1;

V42+32

当与直线/的平行的直线与抛物线相切时，两条平行直线的距离最小，即切点"到直线

/的距离最小，

4x-3y+c=0

设直线/的平行线：4x-3y+c=0,与抛物线联立：《9,整理得：y-3jH-c=

Ly=4x

9

0,A=9-4c=0,所以

4

16-Io

所以夕到直线/的最小距离为：4

4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步琳.

17.已知为等差数列｛4｝,｛4-1｝是首项为5公比为q的等比数列，且满足以+以=7,为

=q,a+6=35.

(1)求数列｛&｝,｛a｝的通项公式；

(2)设a=ajb„-an,求数列｛c„｝的前"项和£.

【分析】(1)设｛aj的公差为&运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首

项、公差和公比，进而得到所求通项公式；

(2)求得Cn=an，bn-an=(4n-3)(5n+l)-(4n-3)=(4n-3)・5n,运用数列的错位

相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和.

解：(1)设Q.｝的公差为d,

n-1

所以bn-l=5qkl,bn=5q+l,所以)=6,因为日+打=7,

所以各=1,

由己知得［Mq,解得严；

Il+2d+l+5q=35(q-5

n

故an=4rr3,bn=5+l.

(2)设％=an"(4n-3)(5n+l)-(4n-3)=(4n-3)*5n,

所以S=1・5+5•52+9«53+—+(4"-3)•5",

5£=1・52+5»53+9»5"+…+(4/7-3)•5"',

相减可得-4£=5+4(52+53+-+5n)-(4n-3)•5"'

=5+4.25(1-5nJ_(4"_3)•5用

1-5

所以Sn=（n-1A5nH+5.

18.如图，在四棱锥P-4胸中，底面485是边长为1的正方形，PAL平面ABCD,PA=\,

"为侧棱阳的中点.

（1）证明：平面AMCJ"平面/W；

（2）求直线用与平面。6M所成的角的大小.

【分析】（1）以48所在的直线为x轴，以4?所在的直线为y轴，以/夕所在的直线为

z轴，建立如图所示的直角坐标系，用向量法先证明4/垂直阳证明4ML平面夕必，再

证明结论；

.,11

（2）由（1）可知AM=（O,y,卷）为平面W的一个法向量，根据线面夹角的向量公

式求出结论即可.

解：（1）因为月4_L平面48，步，ABCD为正方形,以/夕所在的直线为x轴，以4?所在的

直线为y

轴，以/2所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.

由已知可得4(0,0,0),8(1,0,0),C(1,1,0),〃(0,1,0),P(0,0,1).

因为附为外的中点，且21=47=1,

所以皿叫1(0,y,y),AM=(0,y,y),正=(T,,y)

乙乙乙乙乙乙

所以正•正=(0,-y.y)=0,

所以4a隔

所以4KL平面PCD,

因为平面MAC,所以平面例CJ■平面PCD-,

(2)设直线加与平面。6M所成的角的大小6,

»,11—»

由(1)可知AM=(O,y,卷)为平面W的一个法向量，因为PB=(1,0,-1),

1

|AM,PB|2

所以sin8=-

同|•同工义*/2

所以e「「，即直线用与平面夕曲所成的角的大小为-7-.

66

22

19.已知双曲线C：x-y=a(a>0)与椭圆「!^_=［有相同的焦点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)以夕(1,2)为中点作双曲线C的一条弦48,求弦48所在直线的方程.

22

【分析】(1)由已知椭圆三=i，得双曲线C的焦点为A(-2,0),F2(2,0),

84

即c=2,由等轴双曲线的性质a=6及02=3+8,求出a,得到双曲线方程.

(2)法一：当48所在直线斜率不存在时，验证不满足题意；

y=kx+m

当48所在直线斜率存在时，设48所在直线的方程为y=k/m,联立方程组，

利用韦达定理，转化求解直线方程x-2yb3=0即为所求.

法二：设/(x“M),8(M,y2),利用平方差法，求解直线的斜率，得到直线方程.

22

解：(1)由已知椭圆三_工=1

84

得双曲线C的焦点为月(-2,0),月(2,0),即c=2,

由等轴双曲线的性质a=6及4=且2+。2,

则a=-^2

所求双曲线C的方程为x-y=2.

(2)法一：当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为。(1,2),

故此时不满足题意;

当Z8所在直线斜率存在时，设/夕所在直线的方程为y=2m,

y=kxtm2km

联立方程组,弓，得(1-〃)x-2kmx-3+2)=OXi+x2=----7=2①

lx2-y02=21-k2

点P(1,2)在/夕所在的直线上，即2=好加②.

联立①②两式，解得kJ，m=^-,

经检验，直线方程x-2八3=0即为所求.

法二：设力（%i,yO,B（x2,刃），

（22c

Xi-V1=2

,两式作差：

2

^2-y2=

所以“所以L*

x2-xl丫1+了242

直线形的方程为y-2=/(x-l),即x-2y+3=0,

经检验x-2P^二。为所求直线方程.

20.已知三棱柱/8C-48G中，AAJ平面ABC,AC±BC,AC=42BC,M/S于点附，点、N

在棱GG上，满足*~=入(0＜入＜1).

kzV|

9

(1)若入=字求证：CM〃平面RAN；

O

(2)设平面84V与平面83所成的锐二面角的大小为e,若48_L8G试判断命题'勺

【分析】(1)建立空间直角坐标系，设BC=a,则ACf/^a,AB=J§a,设44=6,求

出平面84V的法向量，根据法向量与向量而的数量积为0,证明即可；

(2)由4BLAC,求出a=6,再求出平面84V的法向量；，平面8破的法向量二，利用

夹角公式求出关于人的函数，根据函数的大尿性判断即可.

解：（1）因为CML4B,AC1.BC,设BC=a,则AC=&a,AB=«a,CM*AB=AOBC,

所以CM冬a，所以/川2a2-%）2=^a,

设44i=6,以心所在的直线为x轴，过附和即

平行的直线为y轴，以物所在的直线为z建立如图所示的空间直角坐标系,

所以A(Wa,0,0),B(亶a,0,0),

Oo

C(0,0,B]b,0),C[(0，b,^^a)，Aj(—^-a,b,0),

所以西=(0,b,0),而=(且ga,0,夸a)，彳=(坐a-b,乎a)，

所以CN=(O,当，0),所以AN=AC+CN=(^p-a,白，尊公,

oOOO

AB[=(-V^a,b,0),

_,、m-AN=0

设m=(x,y,z)为平面8m的法向量，贝4------,

nrAB1=0

[2a2,V6.

即，333,取则y=3a,z=0,

-V3ax+by=0

所以irpG/^b,3a,0),而MC=(0，0，-^a),所以irfMC13。，

o

又因为直线以在平面8刖外,

所以扇〃平面&AN；

(2)由(1)知，A।B=("V3a»—b,0),B।C=9一上>

因为4艮L8C,所以不•彳=(-7§a,-b,0)"-b,^y-a)=b2-a2=0,

所以a=b,

所以CN=(O,入a,0),所以AN=AC+CN=(-^p-a,入a,

o

AB[=(-V^a,a,0),

设!r=(x,y,z)为平面84"的法向量.

2V3%怖门

m*AN=0一「ax+人ay-t—r-az=0

贝q贝-----B即rt<33,

km*AB4,=0~V§ax+ay=0

2=堂"(2-3入)，m=(V313,冷(2-3入))，

取x=6,则y=3,

因为威1平面4明4,所以加4夕，因为4夕，5a

所以A1B=(7^a,-a,0)与8版的法向量工平行,

取1,0),

设平面84V与平面8例所成锐二面角为6,

a_।m，n।________6_____________巫

所以3玲一入产工入-2产+8

对于vxe(o,D,若把cose看作人的函数.

则此函数在S,言)上是单调递增的，在(晟，1)是单调递减的，

OO

所以cos8所以8

2264

IT

所以不存在入e(0,1),使得e--,

4

命题“三儿C(0,1),8=—”是假命题.

4

3

21.已知在数列｛a〃｝中，a=3,对于V〃GN*,a=l-Tj--.

n+11an

(1)求生，a,并证明2介于a〃和府之间；

(2)若L二V，求数列｛扇的通项公式，并证明।an-2

n3

【分析】(1)运用代入法和化简可得所求；

(2)运用等比数列的定义和通项公式，不等式的解法可得证明.

由己知可得，对V〃GN*,a„>0,且a/2(否则a1=2与已知矛盾)，

_(a-2)2

所以(a/2)(a1tH-2)=:<0,