2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.2 平行四边形同步分层训练培优题

2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册19.2平行四边形同步分层训练培优题一、选择题1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=36°，∠BA．36° B．144° C．108° D．126°2．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b，则1－2a＞1－2bB．等腰三角形的角平分线、中线和高重合C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°3．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，若AD=5，BE∶CE=3∶2，则四边形ABCD的周长是()A．16 B．14 C．12 D．104．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为()A．6 B．12 C．18 D．245．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E．若∠A=60°，则∠DEB的大小为（）A．130° B．125° C．120° D．115°6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=22，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则A．2 B．2 C．22 二、填空题9．如图，在▱ABCD中，BC的长为4，∠ABC的平分线交AD于点E，且E恰好是AD的中点，过点A作AG⊥BE，垂足为G.若AG=1，则BE的长为.10．如图，在▱ABCD中，∠ABD=25°，现将▱ABCD折叠成如图所示的形状，使点B与点D重合，EF为折痕，点C的对应点为C′，则∠C'EF的度数为11．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BCD内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若BQ=7时，则△BQC与△DCQ的周长之差为12．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边AD，AB上的点，连结OE，OF，EF.若AB=7，BC=52，13．如图，将一副三角尺中，含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边重合，P，Q分别是边AC，BC上的两点，AB与CD交于E，且四边形EPQB是面积为3的平行四边形，则线段DE的长为.三、解答题14．如图，在▱ABCD中，AF平分∠BAD，交BC于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E.（1）若AD=12，AB=8，求CF的长.（2）连结BE，与AF相交于点G，连结DF，与CE相交于点H，连结EF，GH相交于点O.求证：EF和GH互相平分.15．如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点．由点A向点C运动(P与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．

（1）若设AP的长为x，则PC=，QC=；（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；（3）过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，则EP，FQ有怎样的数量关系？说明理由．（4）点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．四、综合题16．如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=−3x的图象交于点B，点B的横坐标为−1．（1）求一次函数y=kx+b的解析式；（2）若点C在y轴上，且满足S△BOC=1（3）一次函数y=kx+b有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数y=−3x上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程．17．在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x+6分别与x轴，y轴交于点B，C，且与直线l2（1）分别求出A，B，C三点的坐标．（2）若D是射线OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数解析式．（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使得以O，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．答案:D解析：

由平行四边形ABCD可得AB∥CD，∴∠BAB′＝∠1＝36°

由折叠可知，∠BAC＝∠B′AC

∴∠BAC＝12∠BAB′＝18°

∴∠B＝180°-∠BAC-∠2＝180°-18°-36°＝126°。

故答案为：D

分析：根据折叠的性质可推导出∠BAC＝12．答案:D解析：解：A.若a＞b，则1－2a＜1－2b，故A不符合题意；B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边的高重合，故B不符合题意；

C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C不符合题意；

D.一个正多边形的内角和为720°，则该多边形的边数为720°180°+2=6，则这个正六边形的一个外角等于360°6分析：根据不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和多边形的内角和外角逐一判断即可.3．答案:A解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=5，

∴BC=AD=5，AD//BC，

∴∠DAE=∠BEA，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

∵BE∶CE=3∶2，

∴BE=3，CE=2，

∴AB=3，

∴四边形ABCD的周长是2（AB+AD)=2×（3+5）=16，

故答案为：A.

分析：根据平行四边形的性质求出BC=AD=5，AD//BC，再根据角平分线求出∠DAE=∠BAE，最后计算求解即可。4．答案:C解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠AEG=∠FGE，

∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，

∴∠GEF=∠DEF=60°，

∴∠AEG=180°-∠GEF-∠DEF=60°，

∴∠FGE=∠AEG=60°，

∴△GFE是等边三角形，

∵EF=6，

∴△GFE的周长为3×6=18，

故答案为：C.

分析：根据平行四边形的性质求出AD//BC，再根据折叠的性质求出∠GEF=∠DEF=60°，最后根据等边三角形的判定与性质证明求解即可。5．答案:C解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，∵∠A=60°，∴∠ABC=120°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=60°，∴∠DEB=120°，故答案为：C．

分析：先利用平行四边形的性质：邻角互补求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义求出∠ABE，再根据平行线的性质得到∠CEB=∠ABE，最后利用邻补角的性质求解即可。6．答案:C解析：∵D、F是中点，即DF是底边BC的中位线，

∴DF∥BEDF=12BC=BE

∴四边形DFEB是平行四边形

同理，四边形DFEC、DEFA也都是平行四边形

7．答案:C解析：解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：

∵四边形OABC是平行四边形，

∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，

∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，

∴AM∥CN，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∴∠MAN=∠NCM，

∴∠OAF=∠BCD，

∵∠OFA=∠BDC=90°，

∴∠FOA=∠DBC，

在△OAF和△BCD中

∠FOA=∠DBCOA=BC∠OAF=∠BCD

∴△OAF≌△BCD（ASA）

∴BD=OF=1，

∴OE=4+1=5，

∴OB=OE2+BE2.

∵OE的值是定值，

∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.8．答案:B解析：解：如图，∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=22

∴AC=AB=22，

∵四边形PAQC为平行四边形，

∴PQ=2OP，OC=AO=2，

欲求PQ的最小值，即是求出PO的最小值，

当OP⊥BC时，OP即最小，

过点O作OP'⊥BC，则△COP'为等腰直角三角形，

∴OP'=22OC=1，

∴PQ的最小值为2OP'=2；

故答案为：B.

分析：由等腰直角三角形求出AC=22，利用平行四边形的性质可得PQ=2OP，OC=AO=2，欲求PQ的最小值，即是求出PO的最小值，当OP⊥BC时，OP即最小，过点O作OP'⊥BC，则△COP'为等腰直角三角形，可得OP'=9．答案:23解析：解：在▱ABCD中，AD=BC=4，AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵E恰好是AD的中点，

∴AE=12AD=2，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=2，

∵AG⊥BE，

∴BG=GE，

∵GE=AE2−AG2=4−1=3，

10．答案:115°解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠ABD=∠CDB＝25°

∵翻折的原理

∴DF=BF，EF⊥BD，C'E∥DF，∠FDB＝∠ABD＝25°

∴∠DFE=90°-25°=65°

∵C'E∥DF，

∴∠C'EF=180°-65°=115°

故答案为：115°.

分析：根据平行四边形的性质，可得CD∥AB，由平行线的性质可得∠ABD=∠CDB；根据翻折的性质，可得DF=BF，EF⊥BD，C'E∥DF，∠FDB＝∠ABD＝25°；最后根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠C'EF的度数.11．答案:5解析：根据题干中的作图方法CQ平分∠BCD，

∴∠BCQ=∠DCQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=5，AD//BC，

∴∠BCQ=∠DQC，

∴∠DCQ=∠DQC，

∴DQ=DC=5，

∴△BQC与△DCQ的周长之差=（BC+BQ+CQ）-（DC+DQ+CQ）=8+7+CQ-5-5-CQ=5，

故答案为：5.

分析：利用平行四边形的性质可得CD=AB=5，∠BCQ=∠DQC，再利用角平分线的定义可得∠BCQ=∠DCQ，再利用等量代换可得∠DCQ=∠DQC，再利用等角对等边的性质可得DQ=DC=5，再利用三角形的周长公式求解即可.12．答案:5；13解析：解：如图，过点C作CH⊥AB交延长线于H，

在▱ABCD中，AD∥BC，∠DAB=45°，

∴∠CBH=∠DAB=45°，

∴∠BCH=90°-∠CBH=45°，

∴CH=BH=22BC=22×52=5，

即点C到直线AB的距离是5；

如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，

此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，

连接AN、AM，

由对称性可得AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠OAB，

∵∠DAB=∠DAO+∠OAB=45°，

∴∠MAN=2∠DAB=90°，

在Rt△CAH中，AB=AB+BH=12，CH=5，

由勾股定理可得AC=13，

∴AO=12AC=6.5，

∴AN=AO=AM=6.5，

∴MN=2AM=1322

∴△OEF周长的最小值是1322.

故答案为：5，13．答案:3解析：解：过点Q作QF⊥AB，垂足为F，

设EB=a，PE=x，则BQ=PE=x，PQ=BE=a，

∵∠B=60°，

∴BF=12BQ=12x，QF=32x，

∵四边形EPQB是面积为3的平行四边形，

∴BE·QF=a·32x=3，

∴ax=23①，

∵四边形EPQB是平行四边形，∠ACB=90°，

∴PE∥BC，PQ∥BA，

∴∠EPC=90°，∠CPQ=∠CAB=30°，

∵∠ACD=45°，

∴∠PEC=45°，

∴PC=PE=x，

在Rt△PCQ中，∠CPQ=30°，

∴PC=32PQ，即x=32a②，

联立①②，解得：a=2，x=3，

∴CQ=12PQ=1，PC=3，BC=CQ+BQ=1+3

∴CE=22PC=6，AC=3BC=3（1+3），

∴CD=22AC=322+62，

∴DE=CD-CE=32−62；

故答案为：32−62.

14．答案:（1）解：∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAF=∠AFB，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF=8，

∴CF=BC-BF=12-8=4（2）证明：同理可证DE=DC=8，

∴AE=AD-DE=12-8=4，

∵CF=4，BF=8，

∴AE=CF，BF=DE，

∵AD∥BC，

∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，

∴AF∥CE，BE∥DF，

∴四边形EHFG是平行四边形，

∴EF和GH互相平分.解析：（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠DAF=∠AFB，利用角平分线的定义可推出∠BAF=∠AFB；再利用等角对等边可求出BF的长，然后根据CF=BC-BF，可求出CF的长.

（2）同理可证DE=DC=8，由此可求出AE的长，可证得AE=CF，BF=DE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，可推出四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.15．答案:（1）6-x；6+x（2）解：因为∠ACB=60°，∠BQD=30°，

所以∠QPC=90°，

所以QC=2PC，

所以6+x=2(6−x)，

所以x=2，

所以AP=2，（3）解：EP=FQ，

理由如下：

如图，

∵点P、Q速度相同，

∴AP=BQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，

∵AP=BQ，∠AEP=∠QFB，∠A=∠QBF，

在△AEP和△BFQ中

∠AEP=∠BFQ∠A=∠QBFAP=BQ∴△AEP≌△BFQ（AAS），

（4）解：ED的长度不变．

连接EQ，PF，

∵△AEP≌△BFQ

∴AE=BF，

∴BE+AE=BF+BE，

∴AB=EF=6．

∵PE⊥AB，QF⊥AB，

∴QF//EP，且QF=PE，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE=DF=12解析：（1）解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°设AP=x，则PC=6−x，∴QC=QB+BC=6+x，故答案为∶6−x，分析：（1）根据等边三角形的性质，由线段和差关系可求解；（2）根据直角三角形的性质列方程6+x=2(6−x)（3）根据等边三角形的性质，由"AAS"证明△AEP≌△BFQ，可得QF=EP；（4）连接EQ，PF，利用全等三角形的性质证明AB=EF，再证四边形PEQF是平行四边形，可得16．答案:（1）解：∵OA=4，

∴A(−4，0)，

∵直线y=−3x经过点B，且点B的横坐标为−1，

∴B(−1，3)，

把A(−4，0)，B(−1，3)代入y=kx+b，得−4k+b=0−k+b=3，（2）设C(0，y)，则OC=|y|，

∵S△BOC=12S△AOB，

∴12⋅|xB|⋅OC=12×（3）由(1)知B(−1，3)，

∵一次函数y=x+4有一点D，点D的纵坐标为1，

∴D(−3，1)，

∵点N在直线y=−3x上，

∴设N(n，−3n)，

当点M在x轴上时，设M(m，0)，

若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，

∴m−1=n−33+0=1−3n，

解得：m=−83n=−23，

∴N(−23，2)；

若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，

∴−1−3=m+n3+1=−3n+0，

解得：m=−83n=−43，

∴N(−43，4)；

若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，

∴n−1=m−3−3n+3=1+0，

解得：m=83n=23，

∴N(23，−2)；

当点M在y轴上时，设M(0，m)，

若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，

∴−1+0=n−3m+3=1−3n，

解得：m=−8n=2，

∴N(2，−6)；

若BD、MN为对角线，则BD、解析：本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据面积求坐标和一次函数与四边形的几何问题，熟悉平行四边形的性