2022-2023学年山西省吕梁市离石区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省吕梁市离石区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若式子，久-4在实数范围内有意义，则工的取值范围是（)

A.%<—4B.%>—4C.%<4D.%>4

2.点（血5）在函数y=2久+1的图象上，则小的值是（）

A.-1B.1C.-2D.2

3.某专卖店专营某品牌女鞋，店主对上一周中不同尺码的鞋子销售情况统计如表

尺码3536373839

平均每天销售数量（

281062

双）

该店主决定本周进货时，增加一些37码的女鞋，影响该店主决策的统计量是（）

A.平均数B.方差C.众数D.中位数

4.如图，在等边△4BC中，D、E分别是边力B、BC的中点，DE=2,A

A

则AABC的周长为（）

A.9

B.12

EC

C.16

D.18

5.如图，在矩形48CD中，对角线4C与BD相交于点。，若

4BAC=55。，贝IJN40B的度数是（）

--------------------------

A.55°B.50°C.70°D.80°

6.我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一

根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.

它被记载于下列哪部著名数学著作中（）

A.倜髀算经》

海

笠

算海岛算经》

^.

y.

的是（）y=kx+b

A.k<0

O

B.b=-1

C.y随x的增大而减小

D.直线y=kx+b与两坐标轴围成的图形面积为2

8.小明调查了班里40名同学本学期购买课外书的本数，并将结

果绘制成了如图所示的扇形统计图.则下列说法正确的是（）

A.爪的值为55

B.众数为4

C.平均数为3

D.中位数为3

9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-]%+3交x轴于点4,交

y轴于点B,以点4为圆心，力B长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C,

则直线BC的解析式为()

A.y=3%+3

B.y=4%+3

C.y—4x+4

D.y=—4x+4

10.如图所示的网格是正方形网格，点4,B,P是网格线的交

点，贝UNPAB+NPB4=()

A

A.30°B,45°C.60°D.75°

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

11.若一个长方形的长为宽为2，3cm，则它的面积为cm2.

12.命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是.

13.2022年“世界杯”的成功举办，引起学生对足球的极大兴趣.某校开展了足球知识比赛,

经过几轮筛选，八年级(1)班甲、乙、丙、丁四名同学的平均成绩(单位：分)及方差如下表:

甲乙丙T

平均成绩/分96989896

方差0.340.340.560.39

如果要选出一名成绩较好且发挥稳定的同学代表班级参加比赛，那么应选择同学.

14.如图，已知函数为=ax+b和力=质的图象相交于点尸(-4,—2),则不等式。久+6<kx

的解集是.

15.如图，一张直角三角形纸片48C,两直角边4C=4,BC=8,

将AABC沿直线折叠，使点B与点力重合，折痕为DE,贝UDE的长为

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题10.0分）

计算：

（1）^02+<7（。-3）;

（2）4-2）2++66

17.（本小题7.0分）

端午节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲

种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：

水果单价甲乙

进价（元/千克）1620

售价（元/千克）2025

若超市购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市

应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

18.（本小题10.0分）

现如今，环保这一理念越来越融入到我们的生活中.为了加强学生的环保意识，某中学举办

“我是环保小达人”的演讲比赛，比赛分为人围赛和决赛两个赛段.全校学生积极响应，全部

报名参加入围赛，随机抽取了若干名学生，调查他们每天课后练习演讲的时间，现将调查结

果绘制成如下尚不完整的统计图表.请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：

(1)将下面的统计表和条形统计图补充完整；

(2)若该校学生有3000人，请你估计每天课后练习时间超过60分钟的学生有多少人?

组别练习时间(分钟)频数(人)百分比

A0<%<3050—

B30<%<60—40%

C60<x<904020%

Dx>90——

(3)演讲决赛时，总成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组成，并按3：4：2：1计算.进

入冠亚军争夺的张明和赵亮的各项得分如下表：

内容表达风度印象

张明85分78分80分90分

赵亮75分82分85分92分

总成绩高的人为冠军，请你通过计算判断他俩谁获得冠军？

19.(本小题8.0分)

如图，△?!也中，AABC=90°,过点B作力C的平行线，与ABAC的平分线交于点。，点E是4C

上一点，35，4。于点尸，连接DE.

(1)求证：四边形48DE是菱形；

(2)若28=2,Z.ADC=90°,求BC的长.

图1图2

20.（本小题8.0分）

为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买批

新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y伊元，去乙商店购买实付丫乙元,

（1）分别求y尹，Vz关于x的函数关系式；

（2）两图象交于点a,求点a坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

21.（本小题8.0分）

请阅读下列材料，并完成相应的任务.

勾股定理的证明

2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要，还因为这个定理贴

近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都愿意探讨研究它的

证明，新的证法不断出现.其中，美国第20任总统詹姆斯•加菲尔德的证法在数学史上被传为佳

话，他将两个完全相同的直角三角形拼成一个梯形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明

过程:

如图:

利用整体法，梯形的面积为S=j(a+b)(a+b)=ab+(a2+b2)；

利用分割法，梯形的面积为S=^ab+^c-c+^ab=a/?+|c2；

(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分.

(2)如图，在AABC中，44=60。，/.ACB=75°,CDLAB,AC=4,求BC的长.

22.(本小题12.0分)

综合与实践

问题情境：

数学活动课上，老师引导学生用一块等腰直角三角板和一个正方形展开探究活动.将正方形

的一个顶点与等腰直角三角板的斜边的中点重合，摆放的位置不同一些线段就会出现一定的

数量关系.

知识初探：

将等腰直角三角板ABC与正方形。DEF如图1摆放，使正方形ODEF的顶点。与等腰直角三角板

斜边力B的中点。重合，且。。边经过点C,请你写出DC与BF的数量关系和位置关系：.

类比再探：

如图2,正方形ODEF的顶点。与等腰直角三角板斜边4B的中点。重合，。。边不经过点C,连

接CD,BF,此时DC与BF的又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

拓展延伸：

如图3,正方形。DEF的顶点。与等腰直角三角板斜边4B的中点。重合，正方形ODEF的对角线

交于点G,连接CD,BD,取BD的中点H,连接GH,请你直接写出GH与CD之间的数量关系与

位置关系.

23.(本小题12.0分)

综合与探究

如图,在平面直角坐标系中，直线Z］：y=2x-1与x轴,y轴分别交于点直线L：y=kx+b

与万轴，y轴分别交于点P,C(0,l),连接2C,直线小交于点。，且点。的横坐标为?

(1)求直线%的函数解析式；

(2)求△4CD的面积；

(3)若点E在直线匕上，尸为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B,C,E,F为顶点

的四边形是矩形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解:依题意知，x-4>0,

解得x>4.

故选：D.

二次根式有意义，被开方数是非负数.

考查了二次根式的意义和性质.概念：式子/々（a20）叫二次根式.性质：二次根式中的被开方

数必须是非负数，否则二次根式无意义.

2.【答案】D

【解析】解：把点（科5）代入函数y=2x+1,

得26+1=5,

解得：m=2.

故选：D.

利用一次函数图象上点的坐标特征.把点（科5）代入函数解析式中求小即可.

本题考查一次函数图象上点与函数解析式的关系，知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适

合这条直线的解析式.

3.【答案】C

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数.

故选：C.

平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计

量.销量大的尺码就是这组数据的众数.

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.

4.【答案】B

【解析】解：•・•£>、E分别是边AB、BC的中点，DE=2,

•••DE是AABC的中位线，

•••DE11AC,2DE=4C=4,

•・•△ABC是等边三角形，

••.△ABC的周长=3AC=12,

故选：B.

根据等边三角形的性质和三角形中位线定理解答即可.

此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出4C的长解答.

5.【答案】C

【解析】解:•••四边形4BC0是矩形,

0A=0C,OB=OD,AC=BD,

0A=OB,

40AB=^ABO=55°,

•••乙AOB=180°—2x55°=70°；

故选：C.

根据矩形的性质，证出。4=。8,得出N0AB=N4B0,再由三角形内角和定理即可得出答案.

本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；证出02=OB是解题关键.

6.【答案】A

【解析】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾

等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名数学著

作倜髀算经》中.

故选：A.

加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处.

本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：如图所示：4、图象经过第一、三、四象限，贝瞌>0,故此选项不符合题意；

B、图象与y轴交于点(0,-1),故b=-1,故此选项符合题意；

C、k>0,y随久的增大而增大，故此选项不符合题意；

D、直线y=kx+b与两坐标轴围成的图形面积为：x2xl=l,故此选项不符合题意；

故选：B.

直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案.

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键.

8.【答案】D

【解析】解：4、6的值为100-20-25-10=45,故不符合题意；

B、这40名同学购买课外书的众数为3,故不符合题意；

C购买课外书1本有40x25%=10（人）,

购买课外书2本有40x10%=4（人），

购买课外书3本有40x45%=18（人），

购买课外书4本有40x20%=8（人），

这40名同学购买课外书的平均数为2x（10x1+4x2+18X3+8X4）=2.6,故不符合题意;

4U

D、这40名同学购买课外书的中位数为孚=3,故符合题意.

故选：D.

根据扇形图中的数据逐项判断即可.

本题主要考查扇形统计图，从扇形统计图中得出解题所需数据及众数、中位数、平均数的定义是

解题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：在直线y=-,久+3中，令y=0,求得x=4；令x=0,求得y=3,

二点4的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,3）,

BO=3,AO=4,

・•・AB=V32+42=5,

•・似点/为圆心，长为半径画弧，交支轴的负半轴于点C,

・•・C。=5—4=1,

则点C的坐标为：（—1,0）,

设直线的解析式为y=kx+b,

把B(0,3),C(TO)代入得｛二乙=0,

解得仁；，

二直线BC的解析式为y=3x+3.

故选：A.

先求得4、B的坐标，然后利用勾股定理得出4B的长，再利用圆的性质得出C。的长，即可得出C的

坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BC的解析式.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式,勾股定理的应用等，

求得C的坐标是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：如图，延长4P交格点于。，连接BD,

2222

则P£12=BD2=12+2=5,PB=I+3=10,

PD2+BD2=PB2,

：•KPDB=90°,则4DPB为等腰直角三角形，

•••乙DPB=45°,

•••/-PAB+乙PBA=Z.DPB=45°,

故选：B.

延长4P交格点于。，连接BD,根据勾股定理得PD?=BD2=5,PB2=10,求得+附2=

于是得到NPDB=90。，根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论.

本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，

正确作出辅助线是解题的关键.

11.【答案】12/2

【解析】解：2AT6x

=4<18

=12A/-2(cm2).

故答案为：1242.

根据长方形的面积计算方法列式计算即可.

本题考查了二次根式的应用，解题的关键是列式后正确的进行二次根式的运算.

12.【答案】四条边都相等的四边形是菱形

【解析】解：命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形，

故答案为：四条边都相等的四边形是菱形.

根据互逆命题的概念解答.

本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第

一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一

个命题的逆命题.

13.【答案】乙

【解析】解：•••乙和丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大，

二应从乙和丙同学中选，

•••乙同学的方差比丙同学的小，

•••乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学.

故答案为：乙.

先比较平均数得到同学乙和丙同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定

选乙同学去参赛.

本题考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平

均值的离散程度越小，稳定性越好是关键.

14.【答案】%>-4

【解析】解：由图象知：不等式ax+b<for的解集是x>-4,

故答案为：%>-4.

函数为=ax+b和刈=k久的图象相交于点P(-4,-2),结合图象即可得出答案.

本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解决本题的关键是掌握一次函数与一

元一次不等式的关系.

15.【答案】V-5

【解析】解：•.・/?£△ABC的两直角边/C=4,BC=8,

・•・ZC=90°,

・•.AB=VAC2+BC2=742+82=4产，

由折叠得2D=BD,AE=BE=^AB=2女，^AED=乙BED=1x180°=90°,

CD=8—BD=8—AD,

VAC2+CD2=AD2,

.•.42+（8—20）2=AD2,

解得AD=5,

DE=VAD2-AE2=J52—（2口）2=底，

故答案为：V"-5.

由AC=4,BC=8,zc=90°,根据勾股定理得4B=VAC2+BC2=4口,由折叠得4。=BD,

AE=BE=2AT5,4AED=4BED=90°,所以CD=8—BD=8-AD,由AC?+=402,

得42+（8-4。）2=4。2,求得a。=5,则。E=V202_=2=仁,于是得到问题的答案.

此题重点考查勾股定理、轴对称的性质等知识，根据勾股定理正确地列出所需要的方程是解题的

关键.

16.【答案】解：（1）原式=4A/"攵+2—3"\/"攵

=A/-2+2；

（2）原式=3-4/3+4+2c+2<3

=7.

【解析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后把E化为最简二次根式后合并即可；

（2）先根据完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.

本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的

关键.

17.【答案】解：设购进甲种水果根千克，则乙种水果（200-爪）千克，利润为y元，

由题意可知：

y=(20—16)m+(25—20)(200—m)=—m+1000,

•••甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍,

•••m>3(200—rn),

解得：m>150,即150W爪<200,

在了=—巾+1000中，一1<0,购y随小的增大而减小，

.,.当m=150时，y最大，且为一150+1000=850元，

,购进甲种水果150千克，则乙种水果50千克，获得最大利润850元.

【解析】设购进甲种水果小千克，则乙种水果(200-爪)千克，利润为y,列出y关于巾的表达式,

根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出6的范围，再利用一次函数的性质求出最大

值.

本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出函数表达式.

18.【答案】25%803015%

【解析】解：(1)本次调查的样本容量是：40+20%=200,

则4组的频率蒜x100%=25%,

8组的频数=200x40%=80,

。组的频率1-25%-40%-20%=15%,

。组的频数200x15%=30,

(2)3000X(20%+15%)=1050(人)，

答：估计每天课后练习时间超过60分钟的学生有1050人;

85x3+78x4+80x2+90x1

(3)张明成绩==81.7（分）,

3+4+2+1

75x3+82x4+85x2+92x1

赵凫成绩==81.5（分）,

3+4+2+1

故张明获得冠军.

(1)由C的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出4B,D,的频数，频率，补充完整统计表

和条形统计图；

(2)将3000x每天课后练习时间超过60分钟的百分比即可得答案；

(3)计算出加权平均数比较可得答案.

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

19.【答案】⑴证明：•••的平分NB2E,

・•・乙BAF=Z.EAF,

BE1AD,

••・Z.AFB=^AFE=90°,

•••乙ABE=乙AEB,

AB=AE,

•・•BD//AC,

・••乙BDF=Z.EAF,

・•.ABAF=Z-BDF,

AB=BD,

BD=AE,

•••BD//AE

四边形4BDE是平行四边形，

AB=BD,

.•产4BDE是菱形；

（2）解：•・•四边形ZBDE是菱形，

・•.DE=AE=AB=2,

LEAD=Z.EDAf

•・•乙ADC=90°,

・•・乙EDC+/.EDA=90°,LEAD+乙ECD=90°,

••・乙EDC=4ECD,

DE=EC=2,

AC=AE+CE=4,

•・•/-ABC=90°,

•••BC=VAC2-AB2=742—22=20-

【解析】(1)先证8。=4E,再证四边形4BDE是平行四边形，然后由4B=BD,即可得出结论；

(2)由菱形的性质得。E==4B=2,再证NEDC=NECD,贝l|DE=EC=2,得AC=AE+CE=

4,然后由勾股定理求出BC的长即可.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理

等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

20.【答案】解:(1)由题意可得，

y甲=0.85x,

当0WxW300时，=X,

当久>300时，丫乙=300+(x-300)x0.7=0.7x+90,

俨(0<x<300).

(0.7久+90(%>300),

(2)令0.85久=0.7x+90,

解得％=600,

将x=600代入0.85x得，0.85x600=510,

即点4的坐标为(600,510)；

(3)由图象可得，

当乂<600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当久=600时，两家体育专卖店购买体育用

品一样合算；当久>600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算.

【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以分别写出y平，Vz关于x的函数关系式；

(2)根据(1)中的结果和题意，令0.85%=0.7久+90,求出久的值，再求出相应的y的值，即可得到

点a的坐标.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

21.【答案】（1）解：利用整体法，梯形的面积为5=*0+6）（£1+6）=防+■02+炉）,

利用分割法，梯形的面积为S=|aZ?+|c-c+|a/>=ab+|c2.

1

+c2

将两式联立得,ab2-

即23+/?2)=-c2,

・••a2+h2=c2.

(2)解：vCDLAB,

・•.AADC=乙BDC=90°,

•・・AA=60°,

••・乙ACD=30°,

•••AC=4,

AD=2,

在Rt△AC。中，

CD=VAC2-AD2=V42-22=2「，

•••乙4cB=75°,

乙DCB=乙4cB-乙ACD=45°,

•••ZB=45°,

BD=CD=2V-3,

在RtABCD中，

BC=VBD2+CD2=J(2AT3)2+(2<3)2=2口.

【解析】(1)利用整体法和分割法求梯形面积，两式联立.解答即可；

(2)解直角三角形即可得到结论.

本题考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形，正确的理解题意是解题的关键.

22.【答案】DC=BF,DC1BF

【解析】解：知识初探：连接。尸,

A

图1

••・四边形。DCF是正方形，

•••4OFD=45°,0D=OF,

・；△ABC是等腰直角三角形，。为48的中点，

•••/-OBC=45°,0C=OB,Z.COB=90°,

Z.OBC=Z.OFD,

・•.BC//DF,

.££_竺

••而一而‘

・•.CD=BF,DC1BF,

故答案为：DC=BF,DC1BF；

类比再探：DC=BF,DC1BF,理由如下:

r

图2

连接OC,

・・•点。是等腰直角△ABC斜边的中点,

0C="B=OB,/.COB=90°,

••・四边形。DEF是正方形，

•••OF=OD,乙FOD=90°,

•・•乙FOB=乙COB+乙COF,(COD=(FOD+乙COF,

••・(FOB=乙COD,

・•.△8。2△COD(S/S),

.・.DC=BF,zl=z2,

・•.Z.FMD=乙FOD=90°,

・••DC1BF；

拓展延伸：GH="C,GH1DC,理由如下：

连接BF,

图3

由类比探究同理可得，CD=BF,CD1BF,

•••H为8。的中点，G为DF的中点，

GH为△&£>/的中位线，

GH=^BF,GH//BF,

1

GH=^DC,GH1DC.

知识初探：连接DF,利用平行线分线段成比例定理可得答案；

类比再探：连接。C,利用S4S证明ABOFmAC。。，得。C=BF,N1=42,则NFMD=LFOD=90°,

进而解决问题；

拓展延伸：连接BF,由类比探究同理可得，CD=BF,CD1BF,再证明GH为△BO尸的中位线,

得GH=：BF,GH//BF,从而得出答案.

本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例

定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，证明ABOFmAC。。是解决问题

的关键.

23.【答案】解：⑴•・•点。在直线直线匕：y=2x-l上，且点。的横坐标为

c4V3

•••yD=2x--1=-,

43

•••叱。