2020-2021学年松原市前郭县九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年松原市前郭县九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）

1.平面直角坐标系内一点P（-3,4）关于原点对称点的坐标是（)

A.(3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,-3)

◎尊韵解是（）

2.方程组•

x=4%=9x=6%=5

B.

A.,7=1?=2C.y=-^D.

3.如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,

其中菱形AEFG可以看成是把菱形4BCD以点4为中心（）

A.逆时针旋转120。得到

B.逆时针旋转60。得到

C.顺时针旋转120。得到

D.顺时针旋转60。得到

4.如图，已知二次函数丫=。/+治：+（;（£1力（））的图象如图所示，有

下列4个结论：(T)abc>0：(2)a+c<bi③4a+2b+c>0；

④2a+b=0.其中正确结论的有（）

A.①②③

B.②③

C.②③④

D.③④

如图，四边形4BCD的四个顶点均在半圆。上，若NA=50。，贝此C

()

A.130°

B.120°

C.125°

D.110°

6.如图，在△力BC中，乙4=60。，AB=4,以BC的中点0为圆心作圆,

分别与4B、4c相切于。、E两点，则元的长是（）

DB

A.逅兀

3

B.n

c2V3

71

C.3

D.3

二、填空题(本大题共8小题，共24.0分)

2

7.抛物线y=：x2,y=_2x,y=—/中开口最大的抛物线是.

8.若关于x的一元二次方程(巾一1)/+2%-2=0有实数根，则m满足.

9.在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是｝二一提2,桥下的水面

10.若4(-1,771)与B(2,m-3)是反比例函数y=：图象上的两个点，则m=

11.如图，已知抛物线y=—%2+px+q的对称轴为彳=一3,过其顶点

M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为要在

坐标轴上找一点P,使得APMN的周长最小，则点P的坐标为

12.某商品原价289元，经过连续两次降价后，售价为256元.设平均每次降价的百分率为X,贝卜的

值为.

13.如图，力、B两点在双曲线丫=：上，分别过4、B两点向坐标轴作垂线,

已知Si+$2=6,贝iJS用爵=.

14.如图，在4x4的正方形网格图中，已知点4、B、C、D、。均在格点上，其中4、B、D又在O。上,

点E是线段CD与。。的交点.则NBAE的正切值为.

三、计算题(本大题共1小题，共7.0分)

15.如图，已知反比例函数犷='与一次函数^=芍工+3的图象交于做1,8),

X

(1)求七、七、b的值；

(2)求△40B的面积；

(3)若6(%2，丫2)是反比例函数丁=二图象上的两点，且％1<%2，%<丫2,指出点M、

X

N各位于哪个象限.

四、解答题(本大题共U小题，共77・0分)

16.(1)计算：(8一cos30。)。+|2-m《60。|-2s讥60。;

(2)解方程：4(尤一3产=9。+1产.

x

17.定义：若关于尤的一元二次方程a/+bx+c=0(a力0)的两个实数根为x2(i<^2)>分别

以打，打为横坐标和纵坐标得到点M(X1，X2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点.

(1)若方程为/-2X=0.写出该方程的衍生点M的坐标.

(2)若关于x的一元二次方程X2一2(m-l)x+m2-2m=0求证：不论rn为何值，该方程总有两个不

相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；

(3)是否存在b、c,使得不论k(k+0)为何值，关于x的方程产+bx+c=。的衍生点M始终在直线y=

kx-2(k-2)的图象上，若有，请求出b,c的值；若没有，说明理由.

18.如图，图中的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴.

19.一个家庭有3个孩子，

(1)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率;

(2)求这个家庭至少有一个男孩的概率.

20.有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突

出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒.如果制成的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁

皮各角应切去多大的正方形?

21.如图，已知ZACB=9O。，CD是。。的直径，CE切。0于点。，AB//DE交CD于点尸，CB=CD,

若AC=1.8,DE=3.2.

⑴求证：4ACBFCDE；

(2)求DF的长.

22.如图1,我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知4,B,C,D分

别为“果圆”与坐标轴的交点，y=：x-3与“果圆”中的抛物线y=：x2+bx+c交于B,C两

44

点.

(1)求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长.

(2)“果圆”上是否存在点P使z4PC=4C4B?如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理

由.

(3)如图2,E为直线BC下方“果圆”上一点，连接ZE,AB,BE,设4E与8c交于F,△BEF的面积

记为SAB"，AABF的面积记为SAMF，求学的最小值.

3△BEF

23.如图1,在AABC中，Z.ABC=90°,4。是AABC的角平分线，以。为圆心，OB为半径作圆交BC于

点D，

(1)求证：直线4c是。。的切线;

(2)在图2中，设4c与O0相切于点E,连结8E,如果48=4,tan^CBE=

①求BE的长；②求EC的长.

24.如图，四边形4BCC中，4B=AD,^BAD=120°,乙BCD=60。,^EAF=60°.

(1)若CB=CD,AE=AF,证明：EF=DF+BE：

(2)若没有条件CB=CD,AE=AF,还有关系EF=DF+BE吗？为什么？

25.⑴数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点。作正方形。ECF,分别交BC,

AC于点E,F,求AB,BE,4尸之间的数量关系；

(2)问题解决：如图②，在任意直角A/IBC内，找一点D,过点。作正方形OECF,分别交BC,AC于

点E,F,若4B=BE+AF,求乙4DB的度数；

(3)联系拓广：如图③，在(2)的条件下，分别延长ED,FD,交于点M,N,求MN,AM,BN的

数量关系.

26.已知抛物线L*丫=/-6%+5与丫轴交于4、B两点(点4在点B的

左侧)，与y轴交于点C，顶点为M.

(1)请求出C、M两点的坐标;

(2)将抛物线人：y=%2一6%+5绕平面内的某一点旋转180。，旋转后

得到抛物线力2,抛物线G的顶点为M',与久轴相交于E、F两点(点F

在点E的右侧)，使得抛物线乙2过点M,且以点C、M、M'、F为顶点

的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的抛物线切的顶点坐标•

参考答案及解析

1.答案：c

解析:解：•••P(-3,4),

••・关于原点对称点的坐标是(3,-4),

故选：C.

根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到

答案.

此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，

它们的坐标符号相反.

2.答案：C

解析：解：

(5x-6y=33②

①x3+②x2得：19%=114,

解得：x=6,

把x=6代入①得：y=

(x=6

则方程组的解为、，一1,

(y--2

故选：C.

方程组利用加减消元法求出解即可.

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

3.答案：A

解析：解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形AEFG可以看成是把菱形ABCC以4为中心逆时针

旋转120。得到.

故选：A.

由NB4E=120。结合旋转的性质，即可得出结论.

本题考查了菱形的性质以及旋转的性质，观察图象找出NB4E=120。是解题的关键.

4.答案：C

解析：解：•••抛物线开口向下，

a<0,

•••对称轴在y轴右侧，即-白>0,

・•・b>0,

・・・抛物线与y轴的交点在％轴的上方，

AC>0,

abc<0,故①错误；

根据图象知道当％=—1时，y=Q—b+cVO,

・・.a+c<b,故②正确；

根据图象知道当％=2时，y=4a4-2b4-c>0,故③正确；

•・•对称轴％=—==1,

2a

2a+b=0,故④正确.

故选：C.

首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交

点确定c的取值范围，根据图象和x=2的函数值即可确定4a+2b+c的取值范围，根据对称轴为直

线x-1可以确定2a+b=0是否成立.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用图象求出a,b,c的范围，以及特殊值的代入能得

到特殊的式子.

5.答案：A

解析：解：•••四边形4BCD的四个顶点均在半圆0上，

•1•乙4+“=180°,

〃=50°,

4c=180°-50°=130°.

故选：A.

根据圆内接四边形对角互补可得NZ+NC=180°,进而可得答案.

此题主要考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补.

6.答案：C

C

解析：解：连接04OE,OD,/V-------、

vAB.AC与。。相切于。、E两点,

•••Z.OEC=乙ODB=AAEO=AADO=90°,

乙BAC=60°,

•••LDOE=120°,

•・・点。为的中点，

0B—0C,

•・•0E—0D,

RtAOECwRtODB(HL),

，zC=乙B,

AC=AB=4,AO1FC,

•••/.CAO=-ABAC=30°,

2

・・・4。=4"=2后

・•・OE=-AO=V3,

2

...戊的长是坨迎=2兀，

1803

故选：C.

连接04OE,。。，根据切线的性质得至IJ/0EC=40DB=乙4E0=/.ADO=90°,求得乙DOE=120%

根据全等三角形的性质得到4C=/B,求得4C=4B=4,AO1BC,根据弧长公式即可得到结论.

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

弧长的计算，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

7答案:y=^x2

解析：解：当x=l时，三条抛物线的对应点是2),(1,-1),

因为《|<|一1|<|一2|，

所以抛物线丁=之/开口最大.

故答案为旷=：/.

分别写出二次项系数的绝对值并比较大小.仁|<|—1|<|-2],根据性质可知开口大小.

本题考查了二次函数的性质.二次函数了=Q/+b%+c(a,仇c为常数，QHO),且Q决定函数的开

口方向，|。|还可以决定开口大小.

8.答案：山之：且小,1

解析：解：•.•关于x的一元二次方程(m一1)/+2%—2=0有实数根，

・•・m—1于0,且^=b2-4ac=22—4(m—1)•(—2)=8m—4>0,

解之得加之;且他41.

故答案为：

若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4acN0,建立关于m的不等式，求出他的取值范

围.还要注意二次项系数不为0.

本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐

含条件.

9.答案：2屈

解析：试题分析：由二次函数图象的对称性可知B点的横坐标为3,把x=3代入二次函数关系式

y=_；x2,可以求出对应的纵坐标，进而求出点。的纵坐标，再把D的纵坐标代入y=一,x2,即可求

出。的横坐标，即CD长度的一半。

•.,水面宽4B为6m,y轴是对称轴，

B点的横坐标为3,

B的纵坐标为y=-9=—3,

,桥下的水面宽4B为6m.水位上涨1m时，

二0的纵坐标为一3+1=-2,

把y=-2代入解析式得：

•••。的横坐标为一2=-#，解得x=76。

桥下的水面宽CO为行x2=2痣米，

故答案为：2屈o

考点：二次函数

10.答案:2

解析：解：把4(-1,771)与8(2,m-3)分别代入反比例函数y=：得：-m=k,2(m-3)=k,

-m=2(m—3),

解得m=2.

故答案为2.

根据反比例函数图象上点的坐标特征得—m=k,2(巾—3)=k,消掉k得到一加=2(巾—3),然后

解关于ni的一元一次方程即可.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数

关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

11.答案:(0,2)

解析:解:如图，:抛物线y=-/+

px+q的对称轴为x=—3,点

N(-1,1)是抛物线上的一点，

产=—3

A\2,

1-p+q=1

解哦:

图1图2

•••该抛物线的解析式为y=-x2-

6x—4=—(x+3)2+5,

M(—3,5).

,.•△/3"/7的周长="2+。用+2/7,且MN是定值，所以只需(PM+PN)最小.

如图1,过点M作关于y轴对称的点“，连接M'N,M'N与y轴的交点即为所求的点P.则

设直线M'N的解析式为：y=ax+t(a0).

则｛:言普解得

故该直线的解析式为y=x+2.

当x=0时，y=2,即P(0,2).

同理，如图2,过点M作关于x轴对称的点M',连接则只需M'N与x轴的交点即为所求的点

P(-/0).

如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长=4&+MN；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长=

2m+MN;

所以点P在(0,2)时，三角形PMN的周长最小.

综上所述，符合条件的点P的坐标是(0,2).

故答案为(0,2).

首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标：欲使APM/V的周长最小，MN的长度

一定，所以只需(PM+PN)取最小值即可.然后，过点M作关于y轴对称的点M',连接M'N,M'N与y

轴的交点即为所求的点P(如图1)；过点M作关于％轴对称的点M',连接M'N,则只需M'N与x轴的交

点即为所求的点P(如图2).

本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数

图象上点的坐标特征.在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P"，所以

应该找X轴和y轴上符合条件的点P,不要漏解，这是同学们容易忽略的地方.

12.答案：*

解析：解：设平均每次降价的百分率为％,

根据题意得：根9x（1-*）2=256,

解得：乂=白或%=称（舍去），

1717'7

故答案为七.

可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格x（l-降低的百分率）=256,把相应数

值代入即可求解.

本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为工，则经过两

次变化后的数量关系为a（l土式产=b.

13.答案：1

解析：解：由题意得Si+S阴影=S2+S阴影=4,

则S]=S2,又&+S2=6,

•••S]=3,

"S阴影=4-3=1.

故答案为：1.

根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到Si+S阴影=S2+S阴影=4,则品=S2,由于1+S2=6,

所以可计算出品=3,则可得到S屐=1

本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=E图象中任取一点，过这一个点

向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.正确理解反比例系数k的几何意义是

解题的关键.

14.答案：!

解析：解：由题意可得，Z.BDE=/.BAE,

在RMBDC中，Z.DBC=90°,

cvBC21

，tanZ-BDC=—=-=

BO42

・•・tan/-BAE=

2

故答案为：

根据“同弧所对的圆周角相等”可得NBDE=NBAE,在RMBCC中，tan4BDC=瞿=：=；,则

BD42

tanZ-BAE=

2

本题主要考查圆周角定理，锐角三角形函数的定义，利用圆周角定理把所求角经过等量转换放在直

角三角形中是解题关键.

15.答案：解：(I)、・反比例函数y=j与一次函数y=k2%+b的图象交于点4(1,8)、

1/q=1x8=8,-4m=8,

:，m=­2,

4(1,8),B(-4,m)在y=心+b图象上

8=k,+b

r2=-4k2+b，

解得：k2=2,b=6；

(2)设直线y=2久+6与x轴交于点C,当y=0时，x=-3,

•••OC=3,

11

SAAOB=SMOB+S4Aoe=2X3X8+Nx3x2=15；

(3)点M在第三象限，点N在第一象限.

•••比例函数y=j的图象位于一、三象限，

.••在每个象限内，y随x的增大而减小，

①若与＜小＜0，点M、N在第三象限分支上，则丫1＞先，不合题意;

②若0<%1<x2,点M、N在第一象限分支上，则yi>y2，不合题意;

③若/<0<血，点”在第三象限，点N在第一象限，则％<0<为，符合题意.

MQ1，乃)在第三象限，N(X2，y2)在第一象限.

解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌

握反比例函数的性质是解题的关键.

(1)先把4点坐标代入y=;可求得自=8,则可得到反比例函数解析式，再把8(-4,加)代入反比例

函数求得m,得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；

11

(2)由(1)知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为(0,6),可求治.。；？=-x6X2+-x6x

1=15；

(3)根据反比例函数的性质即可得到结果.

16.答案：解：(1)原式=1+V3—1—2x^=0;

(2)两边开方得:2(x-3)=±3(x+l),

当2(%-3)=3(x+1)时，解得：x=-9；

当2(%-3)=-3(%+1)时，解得：％=|；

・,・原方程的根为%1=-9,%2=|-

解析：(1)根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

(2)利用直接开平方法求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

17.答案：解:(1)v%2-2%=0,

・,・%(%—2)=0,

解得：％=0,%2=2,

故方程一一2%=0的衍生点为M(0,2)；

(2)x2—2(m—l)x+m2-2m=0,

b2—4ac=[—2(m—l)]2—4(m2—2m)=4>0,

・•・不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，

X2—2(771—l)x+m2-2m=0,

解得：xr=m-2,x2-m,

工方程/一2(m-l)x+m2-2m=0的衍生点为M(m-2,m)；

(3)存在，理由如下：

,•,直线y=kx-2(/c-2)=fc(x-2)+4.过定点M(2,4),

2

x+bx+c=0两个根为X1—2,x2-4,

.C4+2h+c=0

116+4b+c=O'

解得，b=6,c=8.

解析：(1)因式分解法解方程，求得方程的解即可求得；

(2)证得△=4>0,即可得到不论zn为何值，该方程总有两个不相等的实数根的结论；然后解方程,

求得方程的解，即可得到该方程的衍生点M的坐标；

(3)由直线y=kx-2(k-2)=k(x-2)+4得到直线过定点M(2,4),根据题意产+加+c=0有两

个根为/=2,刀2=4,代入方程得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得b,c的值.

本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是理解题意，学会用转化的思

想思考问题.

18.答案：解：第1,2,3,5个图形是轴对称图形；第4个图形不是轴对称图形.

如图所示：

解析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这

个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得到答案.

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义.

19.答案：解：画树状图为：

第女

R男乂

八八八八

男女男女男女男女

共有8种等可能的结果数；

(1)有2个男孩和1个女孩的结果数为3,

所以有2个男孩和1个女孩的概率=

(2)至少有一个男孩的结果数为7,

所以至少有一个男孩的概率=f.

O

解析：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出

符合事件4或8的结果数目m,然后利用概率公式计算事件4或事件B的概率.

画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出有2个男孩和1个女孩的结果数和至少有一个男孩的结

果数，然后根据概率公式求解.

20.答案：解：设铁皮的各角应切去边长为xcm的正方形，

根据题意得(100-2x)(5。-2%)=3600,

(x-50)(%-25)=900,

X2-75x4-350=0,

(x-5)(x-70)=0,

解得x=5或％=70(不合题意，应舍去).

答：切去边长为5cm的正方形.

解析：此题可以设铁皮的各角应切去边长为xcm的正方形.则底面矩形的长和宽分别是(100-2x)和

(50-2%),然后根据方盒的底面积是3600cm2列方程求解.

在列方程的时候，弄清方盒底面的长和宽，能够熟练运用因式分解法解方程.最后求得的解要注意

检验看是否符合题意.

21.答案：(1)证明：:DE是。。的切线，

•••CD1.DE,

：.4CDE=90°,

•••Z.ACB=90°,

•••Z-ACB=Z.CDE,

・・•ABIIDE.

:.Z.CBA=乙E，

•••△ACB~ACDE.

(2)解：设CD=BC=x,

ACB〜bCDE,

ACBC

:.——=——,

CDDE

・•・x2=1.8x3.2,

・•・%=2.4或-2.4(舍弃)，

-CD=BC=2.4,

vAB//DE,CD1.BD,

・•・CFLAB,

-AB=y/AC2+BC2=39

y."YAC-BC=^-AB-CF,

CF=1.44,

DF=CD-CF=2.4-1.44=0.96.

解析：(1)根据两角对应相等两三角形相似即可证明.

(2)设C。=BC=x,利用相似三角形的性质求出x,再解直角三角形求出CF即可解决问题.

本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参

数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

22.答案：解：(1)对于直线y=[x-3,交坐标轴BC两点,

6(0,-3),C(4,0),

抛物线y=：/+打+c过B,C两点，

.《=一3

••/xl6+4b+c=(T

解得：[6=-4,

U=-3

即y=浮一江-3,

.,.抛物线与x轴交点4(-1,0),

・•.AC=5,

如图2,记半圆的圆心为。'，连接。'。，

O'A=O'D=O'C=-AC=

22

00'=OC-O'C=4--=

22

在RtAO'OD中，OD=y/0'D2-O'O2=J(|)2-(|)2=2,

•••D(0,2),

BD=2-(-3)=5；

(2)如图2,•••AC是半圆的直径，

•••半圆上除点A,C外任意一点Q,都有N4QC=90。，

•••点P只能在抛物线部分上，

-3),C(4,0),

.・.BC=5,

-AC=5,

:.AC=BC,

••・乙BAC=Z.ABC,

当=时，点P和点B重合，即：P(0,-3),

由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为(3,-3),

即：使〃PC=4CAB,点P坐标为(0,-3)或(3,-3).

(3)如图3,

4(-1,0),C(4,0),

AC=5,

过点E作EG〃BC交x轴于G,

ABF的力尸边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为人,

11

S^ABF=2AF'九，SABEF=2EF'h,

.S"BF_竺

S^BEFEF，

•••冷的最小值，即w最小，

b^BEFEF

•・,CF//GE,

.AE_AC_5

•・EF~CG~CGf

・••当CG最大时，即普最小，产的最小值，

EF、ABEF

•••EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大，

・••直线BC的解析式为y=：x-3,

设直线EG的解析式为y=+m@,

••・抛物线的解析式为即y=^x2-；x-3②，

联立①②化简得，3/-12%-12-4m=0,

144+4X3x(12+4m)=0,抛物线和直线只有一个交点.

解得：m=-6,

・•・直线EG的解析式为y=-6,

4-

・・,直线EG与％轴交点坐标(8,0)

・・・CG=4,

.S“BF_AE_AC5

；

SABEF~EF~CG4

鬻的最小值为a

解析：(1)先求出点8,C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点4坐标，即可求出半

圆的直径，再构造直角三角形求出点。的坐标即可求出BD；

(2)求出线段4C,8C进而得出4C=BC,判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对

称性求出另一个点P.

(3)先判断出要寝的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方

程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG,结论得证.

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，

抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的

关键.

23.答案:解：(1)证明:如图1,作。E14C,

B

图1

Z.OEA=90°,

•••乙ABC=90,

Z.OEA=/.ABC,

•••40是44BC的角平分线,

:.Z.BAO=464。，

在△AB。和△AE。中，

Z840=/-EAO

Z.ABO=Z.AEO,

OA=OA

ABO三4AEO^AAS),

OE=OB,

,:OB是。。的半径，

OE是。。的半径，

直线4c是。0的切线；

(2)①如图2,连接DE,

C图2

•••Z.ABO=90°,

AB切。。于B,

••,4E与。。相切于点E,

:.AB=AE=4,

•••4。是小ABC的角平分线,

:.AO1BE,

:.Z.BAO+Z-ABE=90°,

v乙CBE+乙ABE=90°,

•••(BAO=乙CBE,

vtanZ-CBE=

2

・•・tanZ-BAO=

2

在RtAZB。中，AB=4,tan^BAO=-=-

AB2

OB=-AB=2,

2

・•・BD=2OB=4,

•・•8。是。。的直径，

・・・乙BED=90°,

又TtanzCBE=—=

BE2

・•・BE=2DE,

在Rtz\BDE中，

•・•BE2+DE2=BD2,

BE2+(海产=42,

解得BE=随；

5

②连接OE,如图2,

•••47是。。的切线,

Z.OEC=90°,BPzCfD+乙DEO=90°,

v乙BED=90°,

・・・4DEO+4BEO=90。，

・•・乙CED=乙BEO,

vOB=OE,

・，・Z-BEO=Z-CBE,

:.Z-CED=乙CBE,

,:乙DCE=乙ECB,

・•.△CDE~ACEB,

CE_DE_CD

'葭=靛=而'

又•・•tanZ-CBE=—=

BE2

BC=2CE,CD=-CE,

2

-BD=BC-CD,

：.2CE--CE=4,

2

解得CE=1.

解析：此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定

理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，解本题的关键是求出圆的半径.

(1)作OE14C于E点，由AO是△力BC的角平分线，得到NBA。=4EA。，判断出△力BO三△AE。，得

$WE=OB,进而得到答案；

(2)①利用同角的余角相等得出，^BAO=ACBE,再用锐角三角函数即可求出半径OB=2,所以

80=208=4,然后勾股定理即可求出BE的长；

②先判断出△CDE-ZkCEB,得出比例式，用CE表示BC,CD,用BD=BC-CD建立方程即可求出EC

即可.

(1)证明：v2LBAD+乙BCD=120°+60°=180°,

/.ADC+/.ABC=180°,

又AB=AD,

.•.把△ADF绕点4逆时针方向旋转240。，得到△AD'F',

由点。'与B重合，即△4D2',与ZBF'重合

E、B、尸三点共线

在△4EF与AAEF'中，

•••Z.EAF'=/.EAB+乙FAD=120°-60°=60°=^LEAF

且4E=AE,AF'=AF

•••△EAFW&EAFQSAS)

EF=EF'=EB+BF'=EF=DF+BE

即EF=DF+BE

(2)没有条件CB=CD,AE=AF,还有关系EF=DF+BE,

因为(1)的证明过程与"条件CB=CD,AE=AF,还有关系EF=DF+BE”无关.

解析：⑴把AaDF绕点4逆时针方向旋转240。，得到△4D'F',由点D'与B重合，即△AD'F',与4BF'

重合，E、B、F三点共线，可证△E4F'三AEAF,可得EF=OF+BE；

(2)因为(1)的证明过程与"条件CB=CD,AE=AF,还有关系EF=DF+BE”无关，所以没有条

件CB=CD,AE=AF,还有关系EF=DF+BE.

本题运用旋转知识，三角形全等的判定与性质等知识点转换边角关系.

25.答案：解：数学理解：

(l)AB=五(AF+BE)

理由如下：,.♦△ABC是等腰直角三角形

•••AC=BC,乙4=NB=45°,AB=\[2AC

•••四边形OEC尸是正方形

•••DE=DF=CE=CF,乙DFC=/.DEC=90°

•••Z.A=Z.ADF=45°

AF=DF=CE

:.AF+BE=BC=AC

AB=aQ4F+BE)

问题解决：

(2)如图，延长AC,使FM=BE,连接CM,

•・,四边形DECF是正方形

:・DF=DE,^LDFC=/.DEC=90°

•・・BE=FM,乙DFC=乙DEB=90°,DF=ED

・•・△DFMZA0E8(S4S)

••・DM=DB

-AB=AF+BE,AM=AF+FM,FM=BE,

/.AM=AB,且0M