直线的交点坐标与距离公式讲义-高二上学期数学人教A版选择性

第四讲直线的交点坐标与距离公式教学目标：1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握平面上两点间的距离公式和点到直线的距离公式.4.会求两条平行直线间的距离.一、常考题型知识梳理考点一、两条直线的交点坐标1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．考点二、两点间的距离公式1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：.【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：2、三种特殊距离：（1）原点到任意一点的距离为；（2）当平行于轴时，；（3）当平行于轴时，.考点三、点到直线的距离、平行线之间的的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在平行直线间公垂线段的长图示公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))注意1：点到几种特殊直线的距离①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|；②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离.注意2：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决：①两直线都与轴垂直时，则；②两直线都与轴垂直时则.考点四、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线.题型方法剖析例1.判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：(1)，；(2)，；(3)，．【变式1】1.直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（

）A．B．C．D．2.【多选】若三条直线，，交于一点，则a的值为（

）A． B．3 C．1 D．23.若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．4．直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且5.（2023秋·广东·高二统考期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（

）A． B．C． D．6.过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．7．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.8.在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为.例2.已知两点，，则（

）A．3 B．5 C．9 D．25例3.已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．例4.两条平行直线和间的距离为，则分别为（

）A． B．C． D．【变式2】1.函数的最大值为_________．2．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（

）A． B． C． D．3.【多选】已知O为坐标原点，，，，P，Q分别是线段，上的动点，则下列说法正确的是（

）A．点M到直线的距离为 B．若，则点Q的坐标为C．点M关于直线对称的点的坐标为 D．周长的最小值为4.已知直线，则点关于l的对称点的坐标为．5．已知满足，则的最小值为6.已知平行四边形中三个顶点的坐标为，，，求这个平行四边形的面积．7．在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，，点E是线段BC的中点．(1)求直线AE的方程；(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．8．已知直线．(1)为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值；(2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．9.已知直线（）交轴正半轴于，交轴正半轴于．(1)为坐标原点，求的面积最小时直线的方程；(2)设点是直线经过的定点，求的值最小时直线的方程．课后巩固1.若直线与直线的交点在直线上，则实数（

）A．4 B．2 C． D．2.若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3.（多选）已知直线过直线和的交点，且原点到直线的距离为3，则的方程可以为（

）A． B．C． D．4.已知点为直线与直线的交点，则点到直线的最大距离为．5.在中，点的坐标为，点的坐标为边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为.(1)求点的坐标；(2)过点的直线与轴的正半轴､轴的正半轴分别交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值.6.设直线的方程为(1)求证：不论为