江苏省泰州市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（含答案解析）

2023～2024学年度第一学期高二期末调研测试数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）命题人：宋健范继荣李建新邹勇泉审题人：吴春胜唐咸胜韩兵一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是()A.30° B.45° C.60° D.120°【答案】C【解析】【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而根据倾斜角与斜率之间的关系得到直线的倾斜角．【详解】由直线的方程可得直线的斜率为：，所以直线的倾斜角的度数为：60°．故选：C．2.椭圆的焦点在x轴上，离心率为，则实数k的值是（）A.2 B.3 C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】根据离心率列式计算即可.【详解】由已知得，则，所以，解得.故选：B.3.已知等比数列的各项均为正数，若，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式列方程求解.【详解】设等比数列的公比为，则，解得，所以.故选：A.4.设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解.【详解】圆，圆心为，半径为，圆，圆心为，半径为，若圆与圆有公共点，则，又，所以.故选：D5.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案.【详解】，，故，则，故选：D.6.已知函数在处取得极小值1，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据极值定义进行求解即可.【详解】由，因为在处取得极小值1，所以有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是函数的极小值点，故满足题意，于是有.故选：C7.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】由得，设，则，所以在上单调递减，故由得，所以，解得.故选：B.8.已知直线与抛物线相交于M，N两点，线段的中点的横坐标为4，点T为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】设点，联立直线与抛物线，利用韦达定理以及中点坐标，设点关于轴的对称点为，可得，代入计算即可求出实数的值.【详解】设点，联立，消去得，则，因为线段的中点的横坐标为4，所以，即，设点关于轴的对称点为，则，所以，解得或.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8B.椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6C.双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为D.双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1【答案】AC【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可.【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确；对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误；对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确；对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误.故选：AC.10.已知点在圆C：上，点，，则（）A.直线与圆相切B.点到直线的距离小于7C.当最大时，D.的最小值小于15°【答案】BCD【解析】【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解判断A；根据圆上的点到直线的距离最值，判断BD；根据直线与圆相切时最大，从而判断C.【详解】对于A：圆：的圆心，半径，直线的方程为，即，圆心到直线的距离，可知直线与圆相离，A错误；对于B：因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离最大值为，B正确；对于C：当直线与圆相切（图中位置）时，最大，此时，C正确；对于D：直线与圆相切（图中位置）时，最小，由，又得，又，可得，又，因为，所以，又为锐角，所以，D正确故选：BCD.11.若数列的前项和，数列的通项，则（）A.B.数列的前项和C.若，则数列的前项和D.若，数列的前项和为，则不存在正整数，使得【答案】ACD【解析】【分析】利用来判断A；利用等比数列求和公式判断B；利用裂项相消法判断CD.【详解】对于A：数列的前项和，当时，又时，，符合，所以，A正确；对于B：，B错误；对于C：，所以，C正确；对于D：因为，所以，令，可得，令，则，故数列为递减数列，又，所以无正整数解，D正确故选：ACD.12.已知函数，则（）A.当时，函数恰有1个零点B.当时，函数恰有2个极值点C.当时，函数恰有2个零点D.当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2【答案】ABD【解析】【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定极值点的个数和零点个数，从而判断选项的对错.【详解】因为，所以，令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，对于A：当时，，即恒成立，所以在上单调递增，又，，所以函数恰有1个零点，A正确；对于B：当时，，令，有，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，作出图象如下图：又，所以方程必有个根，即必有两个零点，设为，且，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，即函数恰有2个极值点，B正确；对于CD：当函数有2个零点时，或，所以或，将或代入得或，解得或，故C错误，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：导数问题要学会转化，比如零点个数问题转化方程根的个数，或者函数图象交点个数.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线被圆截得的弦长为____________【答案】【解析】【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.【详解】由圆，可得圆心为，半径为，又由圆心到直线，可得，所以直线截圆所得的弦长为.故答案为：.14.双曲线的一条渐近线是曲线的切线，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，利用切点的两重性：切点既在切线上又在曲线上，即可求解.【详解】因为双曲线的一条渐近线是曲线的切线，设切点为的坐标为，因为函数的定义域，其导函数，故在点处的切线斜率，由双曲线知，其渐近线方程，由得，此条渐近线方程为，所以，得，因切点也在渐近线上，故，所以的坐标为，所以，得.故的值为.故答案为：.15.设等差数列的前n项和为，数列的前项和为.若，，则_____________.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以，所以，所以.故答案为：.16.如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为______________；若动直线与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当的面积最大时，的值为____________.【答案】①.②.【解析】【分析】先由题意求出，进而可得离心率，然后将代入圆的方程和椭圆方程可得的坐标，进而可表示出的面积，求导，根据单调性可得取最大值时的值.【详解】圆A：的圆心为，半径为，即椭圆的上顶点为，椭圆的短半轴长，设椭圆方程为，则，所以离心率，所以椭圆方程为，将代入圆的方程和椭圆方程，不妨取，可得，，则，设，则，令，则，设，为锐角，令，得，，令，得，，即在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值，此时，则故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知直线：，：，其中为实数.（1）当时，求直线，之间的距离；（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可；（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.【小问1详解】由得，解得，此时直线：，：，不重合，则直线，之间的距离为；【小问2详解】当时，：，联立，解得，又直线斜率为，故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，即.18.已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，.（1）求抛物线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，结合点坐标，列出等式求出即可求得抛物线方程；（2）根据抛物线方程求出点坐标,进而求得直线方程，联立直线与抛物线方程求得两根之和，根据抛物线定义即可得，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式即可求得面积值。【小问1详解】解：由题知A为抛物线上一点，所以，解得，故抛物线方程为；小问2详解】由（1）知，抛物线方程为，所以，，，所以，，即，因为直线交抛物线另一点为，记点横坐标为，点横坐标为，联立，可得：，所以，所以，而点到直线的距离，所以.19.已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中.（1）求的值和的方程；（2）证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求切线方程；（2），求导，根据单调性求出最值即可.【小问1详解】由已知因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，解得，又所以切线方程为，即；【小问2详解】令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，整理得，所以，即.20.已知数列是等差数列，数列是公比大于1的等比数列，的前项和为.条件①；条件②；条件③；条件④.从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列、存在且唯一确定.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）考虑选①②，①③，②③数列、均不唯一确定，必须选④，考虑①④，②④，③④，结合等比数列的定义和通项公式求解；（2）由数列的分组求和以及等差等比的求和公式计算即可.【小问1详解】若选①②，选①③，选②③，数列、均不唯一确定，故必须选④，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，由，可得时，，两式相减可得，即，由于为常数，故必有，若选①④，可得时，，解得，所以；若选②④，，数列、不唯一确定；若选③④，，可得，则，此时等比数列不存在.综上：；【小问2详解】，则.21.已知双曲线：过点，离心率为.（1）求的方程；（2）过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.【答案】（1）（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证.【小问1详解】因为双曲线：过点，离心率为，所以有；【小问2详解】设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线得，即，联立，得，得，即，，因为在第一象限，双曲线渐近线方程为，联立，得，即，联立，得即，所以，因为，所以，所以①，又②，①②得，，所以，所以，因为所以，为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数，，.（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若关于的方程有两个实根，（i）求的范围；（ii）求证：.【答案】（1）（2）（i）;（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）在上恒成立，参变分离，转化为最值求解即可；（2）（i），求