江西省九江市六校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（含答案解析）

2023-2024学年江西省九江市六校高二（上）期末数学试卷（北师大版）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线标准方程求出准线方程.【详解】解：抛物线的焦点在轴上，且开口向右，所以，，抛物线的准线方程为．故选：B．2.已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X＜a)＝0.32，则P(a≤X＜4－a)等于()A.0.32 B.0.68 C.0.36 D.0.64【答案】C【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】∵a＋(4－a)＝2×2，∴在横轴上，a和4－a关于2对称，如图，由正态曲线的对称性可得.故选：C.3.现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的名都是女志愿者的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据组合计数可求基本事件总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率.【详解】现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者，随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务，基本事件总数，抽出的名都是女志愿者包含的基本事件个数，则抽出的名都是女志愿者的概率是．故选：B．4.若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A. B. C. D.与斜交【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得，由直线与平面的位置关系分析可得答案．【详解】根据题意，直线的方向向量为，平面的法向量为，易得，又由直线在平面外，则有．故选：B．5.已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的离心率，求出，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可．【详解】解：由得，所以双曲线的右焦点是，经过第一、三象限的渐近线方程是，于是所求的直线方程是，即．故选：C．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．【详解】根据二项式展开式：，；故当时，展开式中的系数为，故．故选：D．7.对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．【详解】解：若，则，即，由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，，可取任意值，不一定有，所以是，，，四点共面的充分不必要条件．故选：B．8.已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解．【详解】因为椭圆方程为，所以，，，又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，所以垂直平分线段，所以，又因为，所以，，在直角三角形中，，于是的面积为．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解.二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.设，对于直线：，下列说法中正确的是（）A.的斜率为 B.在轴上的截距为C.不可能平行于轴 D.与直线垂直【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解．【详解】对于A，直线：，则的斜率为，故A错误；对于B，令，解得，故在轴上的截距为，故B正确；对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误；对于D，当时，直线与直线显然垂直，当时，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，故D正确．故选：BD．10.在长方体中，，，则（）A.直线与平面所成角的余弦值为B.直线与平面所成角正弦值为C.点到平面的距离为D.点到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】在长方体中，，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，对于，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角的正弦值为：;直线与平面所成角的余弦值为，故A错误；对于B，，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为，故B正确；对于，点到平面的距离为，故C正确；对于，点到平面的距离为，故D正确．故选：BCD．11.一般地，我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆已知椭圆和椭圆是相似椭圆，则下列结论中正确的是（）A.椭圆与椭圆相似B.可以取C.可以取D.双曲线的离心率为【答案】ABC【解析】【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，即可分别求解．【详解】解：对于A，椭圆与椭圆的离心率分别为，，椭圆与椭圆相似，故A正确；对于B，C，根据题意可得或，解得或，故B，C选项正确；对于D，因为双曲线的离心率为或，即双曲线的离心率为或，故D选项错误．故选：ABC．12.由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（）A.线段长的最小值为B.四边形面积的最小值为C.最大值是D.当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算.【详解】将化为标准方程：，可知圆的圆心为，半径为．对于选项A：因为圆心到直线：的距离，可知，可得，所以线段长的最小值为，故A正确；对于选项B：因为四边形面积，由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误；对于选项C：因，所以的最小值为，故C错误；对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上，当点的坐标为时，则的中点为，且，即点在圆，即上，将与作差可得，所以切点弦所在的直线方程，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则______用，，表示．【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算结合条件可以直接得到结果．【详解】为的中点，，又为中点，，．故答案为：．14.从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有______条用数值表示【答案】【解析】【分析】先根据条件知道，再根据计算原理计算即可．【详解】解：若直线方程经过坐标原点，则，那么，任意取两个即可，有.故答案为：．15.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.圆C的标准方程为________；【答案】(x－1)2＋(y－)2＝2【解析】【详解】由题意,圆的半径为,圆心坐标为(1,)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.16.过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为______．【答案】##【解析】【分析】联立得到韦达定理，解方程，再检验即得解.【详解】由题意可设l的方程为．联立消去y得，．显然．设，，则，解得．由得，显然不适合，适合．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根．（1）求弦的长；（2）若圆的圆心为，求圆的一般方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式计算即得.（2）利用点到直线的距离公式求出圆的半径，再确定圆的方程．【小问1详解】依题意，，，，则，所以弦的长为.【小问2详解】圆心到直线的距离，设圆的半径为，则，因此圆的半径长为，所以圆的方程是，即．18.如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且．（1）试用基底表示向量；（2）求线段的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子；（2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长．【小问1详解】连接，延长，交于，由为的重心，得是边上的中线，且，结合，得，因为，所以，整理得，因此，；【小问2详解】因为底面，，底面是边长为的正方形，所以，，，可得，所以，即线段的长为．19.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设动圆圆心的坐标为，由题意可得，化简整理即可求得动圆圆心的轨迹的方程；（2）由两点的斜率公式，结合已知条件计算，即可得证．【小问1详解】设动圆圆心的坐标为，则，整理得，，故所求动圆圆心的轨迹的方程为．【小问2详解】证明：设，，则有，，，直线的斜率为，所以，于是.故直线，的倾斜角互补．20.如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、．（1）证明：平面平面；（2）若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，，通过底面，证明，然后推出平面，即可证明平面平面；（2）以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可求出正弦值．【小问1详解】证明：在图中，，是的中点，，而，，故为二面角的平面角，又为直二面角，，而平面，故平面，而平面，，且，平面，因此平面，又平面，平面平面.【小问2详解】以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，因，所以，那么，设平面的法向量，由且，得，取，则，设平面的一个法向量，，则，即，令，则，所以，于是，所以二面角的正弦值为．21.在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药．初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．（1）若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以表示选取的人中服药后有效的人数，求的分布列和数学期望；（2）若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，分别求出相应的概率，进而求解；（2）由全概率公式即可求解.【小问1详解】由题意可知的可能取值有0、1、2、3，，，，，所以随机变量的分布列如下表所示：0123P所以，.【小问2详解】设“任取一人新药对其有效”，“患者来自第i组”（，2，3，分别对应甲，乙，丙），则，且，，两两互斥，根据题意得：，，，，，，由全概率公式，得，任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率，所以，任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为.22.设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，．（1）求的值；（2）若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，可得点的横坐标，代入椭圆的方程，可得点的纵坐标的绝对值，求出，的表达式，由题意可得的值；（2）联立直线的方程与椭圆的方程，两个两根之和，求出的中点的坐标，由题意可得，由斜率之积为，整理可证得为定值．【小