江西省五市九校2024届高三下学期2月开学联考数学试卷（含答案解析）

高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的乘法运算即可得解.【详解】．故选：C.2.集合，则（）A. B.1 C. D.或【答案】B【解析】【分析】依题意可得，即可得到，解得，再代入检验即可.【详解】因为，所以，则，解得，当时，，，不符合题意，当时，，，符合题意．故选：B3.已知，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和差的正余弦公式计算，由商数关系得的值.【详解】因为，结合题设，有，得．故选：D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.【详解】，且函数定义域关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意.故选：A．5.已知为椭圆C：()的右焦点，，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，若的周长为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用参数表示的周长，得关于a，c的齐次式，化简解方程，得离心率.【详解】由题意可得，所以，即，解得或（舍去）．故选：D.6.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，在它的轴截面中，，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】易得图1中小扇形和大扇形的弧长设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，再根据弧长公式即可得解.【详解】由题意图1中小扇形弧长为，大扇形的弧长为，设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，所以，解得，所以原扇形纸壳中扇形的圆心角为.故选：B.7.过原点的直线与圆交于两点，且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】设圆心到直线的距离为，且的中点为，根据题意得到，结合圆的性质和弦长公式，列出方程，求得，利用斜率公式，即可求解.【详解】由圆，即圆，圆心为，设圆心到直线的距离为，且的中点为，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，解得，所以直线经过圆心，所以.故选：A.8.如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解.【详解】取的中点，连接、，则，又，所以，，即，所以，．故的取值范围为．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于轴对称C.的值域为D.将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象【答案】AD【解析】【分析】将解析式转化为，易得函数的性质，判断选项的正误.【详解】因为，所以最小正周期为，A正确；不是偶函数，图象不关于轴对称，错误；因为，所以的值域为，C错误；将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象，D正确．故选：AD.10.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（）（居民消费水平：）A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为27504元D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多【答案】D【解析】【分析】AB选项，2019年比2020年的两项指标高；C选项，将数据从小到大排序，再利用百分位数的概念进行求解；D选项，设2022年我国农村人口数为，城镇人口数为，则可列出方程，得到，故D正确.【详解】A选项，2019年的居民消费水平为元，2020年的居民消费水平为元，2019年比2020年的居民消费水平高，A错误；B选项，2019年的城镇居民消费水平为元，2020年的城镇居民消费水平为元，2019年比2020年的城镇居民消费水平高，B错误；C选项，2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为，由于，故年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为从小到大第3个和第4个数据的平均数，即元，C错误.D选项，设2022年我国农村人口数为，城镇人口数为，则，化简得，所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.故选：D11.已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（）A. B.C.是奇函数 D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法得到，由此判断出的奇偶性.利用赋值法求得，进而求得，根据函数单调性的定义，计算的符号来判断函数的单调性.【详解】令，可得.令，可得.因为当时，，所以.令，可得.因为，所以当时，.又因为当时，，所以当时，.令，可得，①所以，两式相加可得.令，可得.②①-②可得，化简可得，所以奇函数，C正确.由，可得：，B错误.由可得解得，A正确.令，可得令，则.因为当时，，所以，所以，即，所以在上单调递增.因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知抛物线的焦点为为抛物线上任意一点，点，则的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于由抛物线定义可知，所以，则当共线时取得最小值，所以最小值为：．故答案为：4．13.小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串有三颗冰糖葫芦．若小王每次随机从其中一串吃一颗，则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为__________．【答案】##【解析】【分析】由题意将问题等价转换为满足题意的间隔插空或者捆绑插空的概率，结合排列组合知识即可求解.【详解】将串在一起的两颗冰糖葫芦编号为1，2（最下面那颗），串在一起的三颗冰糖葫芦编号为3，4，5（最下面那颗），现在可将题目等价转换为首先从左到右固定3，4，5的排列顺序，问将1，2间隔插空或者捆绑插空，且1，2都在5的左边的概率，若1，2间隔插空或者捆绑插空，共有种排列，其中满足1，2都在5的左边的排列，共有，所以只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：将问题等价转换为间隔插空或者捆绑插空是解题的关键.14.如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面.点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】过点作，垂足为，连接，过点作平面，垂足为，当三点共线，且时，取得最大值，进而可得出答案.【详解】过点作，垂足为，连接，因为平面，所以平面，所以点到平面的距离为，则，，过点作平面，垂足为，当三点共线，且时，取得最大值，最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：过点作平面，垂足为，由三点共线，且时，取得最大值，是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）构造数列，得数列是等差数列，得的通项公式，进而得的通项公式；（2）用裂项相消法求的前项和.【小问1详解】设，则，，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，．【小问2详解】，．16.如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，，．（1）证明：平面平面；（2）若，且，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过点作，求出，利用勾股定理即可证明；（2）根据（1）中的结论建立空间直角坐标系即可求解.【小问1详解】过点作，由等腰梯形易知，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】因为平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，所以，，，设平面的法向量，所以，令，所以，同理可得平面的法向量，所以二面角的余弦值绝对值为，所以二面角的正弦值.17.将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.（1）求数字2填在第2个空格中的概率；（2）记数字2填在第个空格中的概率为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意第1格填1，第2格填2，从而可得概率；（2）由题意可得，再分析1和3的位置求解概率与最大值即可.【小问1详解】由题意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一个，所有可能的情况有种，故数字2填在第2个空格中的概率为.【小问2详解】由题意可得，且，1填在第个空格的前格中1格，3填在第个空格的后格中1格.故.当时，取得最大值，最大值为18.已知双曲线的离心率为，右焦点为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在满足【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可得解；（2）设其方程为，，设，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，化简，从而得到定点与定值.【小问1详解】由题意可得，所以，所以双曲线的标准方程为；【小问2详解】依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，，代入得，设，，，则，，∴，若要上式为定值，则必须有，即，∴，故存在点满足.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.已知函数.（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）求得，得到且，求得切线方程，将点代入切线方程，即可求解；（2）转化为，令，求得，令，求得是增函数，得到，再令，求得是减函数，结合，得到存在，使得，再分和，两种情况讨论，得到，令，所以是增函数，进而结合，即可求解.【小问1详解】解：由函数，可得，则且，曲线在点处的切线方程为.因为该直线过点，所以，解得.【小问2详解】解：因为，所以，且，两边平方可得，令函数，可得，令函数，可得，所以是增函数，令，可得，下面比较与的大小：令函数，，减函数，因为，所以存在，使得当时，，即，若，可得，即.若，当时，，即；当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，且，令函数，所以是增函数，由