2021-2022学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）(解析版)

2021-2022学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷

（一模）

注意事项：

i.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）

1.下列抛物线经过原点的是（）

A.y=x2—2xB.y=（x—2）2

C.y=x2+2D.y={x+2）（x-1）

2.在放△ABC中，/。=90°，已知s加力=下列结论正确的是（）

0

11

A.sinBB.cosB=-C.tanBD.cotB=:

333o

3.如图，已知AD^BEHCF,它们依次交直线"和72

于点4、8、C和点。、E、F,如果AB：BC=2：

3,那么下列结论中错误的是（）

八DE2

A-FF=3

B.些，

DF5

BE_2

CF=5

EF_3

D.PF=5

4.如图，已知点B、D、C、尸在同一条直线上，AB//EF,AB=EF,AC//DE,

如果BF=6,DC=3,那么8。的长等于（）

A

R3

A.1B-2C.2D.3

5.已知才与了是非零向量，且|同=|3%I，那么下列说法中正确的是（）

A.丁=37B.胃=一3万C.才〃了D.%|=3

6.已知在△48。中，NC=90°，4C=v^，BC=2,如果与△ABC相

似，且两条边的长分别为4和2/7,那么第三条边的长为（）

A.2B.匕C.2\/3D.2>/11

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

=-..Xyx+y

7.已知工=弓，那么---=_______.

53y

8.已知反比例函数“=二，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，9的值随

X

着工的值增大而增大，那么k的取值范围是.

9.已知函数/（c）=/一3工+1,如果H=3,那么/（乃=.

10.已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线c=0,那么这条抛物线的表达式可以

是（只要写出一个表达式）.

11.已知工是单位向量，才与工方向相反，且长度为6,那么才=.（用向量工

表示）

12.已知二次函数y=aQ++c（a^0）的图象上有两点4（2,4）、B（m,4）,那么m的

值等于______

13.如图，在△48。中，4。平分/R4C,如果=80°，

ZC=40°，那么AADC的度数等于.

14.如图，在四边形4BCO中，AD//BC,对角线47、

3。相交于点。，如果S44OB=2a,S/\BOC—4a,

那么S^ADc=.（用含有字母a的代数式表示）

第2页，共26页

15.某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金

分割点，给观众带来美感，如图，如果她踮起脚尖起舞时，

那么她的腰部以下高度。与身形。之间的比值等于.

16.如图，在△48。中，/4=90°，斜边的垂直平

7

分线分别交43、BC交于点、D、E,如果cosB=s，

O

AB=7,那么。。的长等于.

17.如图，已知点。、E分别在线段43和4C上，，点、F是BE

与。。的交点，乙8=/。，如果DF=4EF,AB=6,

47=4,那么4。的长等于.

18.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4,工。是边BC

上的高，将△48。绕点。旋转，点B落在线段4。上的点E

处，点4落在点F处，那么cos/FAD=.

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）

«c4sin260°—2s加30°—cot45°

19.计算：-----------------------.

ian60°—2cos45°

20.如图，已知48〃。。，AD.相交于点E,过.E作EF^CD交BD千点、F,

AB：。。=1：3.

⑴求黑的值;

⑵设西=Z，亘声=了，那么前=,A^=(用向量才，可表

示)

21.在平面直角坐标系立。沙中，反比例函数"二^伊芦。)的图象与正比例函数v=2啰的

图象相交于横坐标为1的点工.

(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)如图，已知B是正比例函数图象在第一象限内的一点，过点B作轴，

垂足为点C,与反比例函数图象交于点。，如果48=47,求点。的坐标.

第4页，共26页

22,图（1）为钓鱼竿安置于湖边的示意图，钓鱼竿有两部分组成，一部分为支架，另一

部分为钓竿，图（2）是钓鱼竿装置的平面图，NF//MB,NF±MN,支架中的

MN=AM=20厘米，47=50厘米，ACAB=37°»43可以伸缩，长度调节

范围为65sl（AB<180cm,钓竿E尸放在支架的支点3、。上，并使钓竿的一

个端点F恰好碰到水面.

（1）当43的长度越（填“长”或“短”）时，钓竿的端点F与点N之间的距

离越远；

（2）冬季的鱼喜欢远离岸边活动，为了提高钓鱼的成功率，可适当调节的长度，

使钓竿的端点F与点N之间的距离最远，请直接写出你选择的的长度，并求出

此时钓竿的端点F与点N之间的距离（参考数据：s加37°70.6，cos37°«0.8,

tan37°«0.75）

B

M

M

N

N(2)

23.已知：如图，在△ABC中，点。、石分别在边力。、BC上,BD=DC,

BD-BC=BE-AC.

(1)求证：AABE=ADEB；

FD_AD

⑵延长54、ED交于点、F,求证:'FE=~DC

24.如图，在平面直角坐标系cQ/中，已知抛物线g=+近+c与直线y=—卜+1

OO

交于点4(771,0),B(-3,n),与夕轴交于点C,联结4C.

第6页，共26页

(1)求m、n的值和抛物线的表达式;

(2)点。在抛物线+就+c的对称轴上，当/ACO=90°时，求点。的坐

O

标；

(3)将△40。平移，平移后点/仍在抛物线上，记作点P,此时点。恰好落在直

线43上,

25.如图，在△ABC中，边上的高40=2,tan.B=2,直线/平行于分

别交线段43,AC,4。于点E、F、G,直线/与直线之间的距离为

(1)当EF=CD=3时，求m的值；

(2)将△力EF沿着EF翻折，点4落在两平行直线/与之间的点P处，延长

EP交线段于点Q.

①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长；

②联结BP,在/C3P>48工。的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m

的代数式表示线段的长.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4、将r=0代入，得U=0,所以该抛物线经过原点，本选项符合题意；

B、将r=0代入，得？=4,所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；

C,将c=0代入，得？=2,所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；

D、将c=0代入，得沙=-2,所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；

故选：A.

将力=()分别代入各抛物线的解析式，如果求出沙=(),那么该抛物线经过原点.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，则该点的坐标满足函数的解

析式.

2.【答案】B

【解析】解：:sinA=cos(90°-A),

：.sinA=cosB,

,“1

*.*SZTIA=3,

o

cosB=|,

o

故选：B.

根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答即可.

本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握互余两角的三角函数的关系是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：AB：BC=2：3,

DEAB_2

前=丽=丁

=1,黑=g，故选项4B、O结论正确，不

Dr5DF5

符合题意；

连接4F,交.BE于H,

・「BE//DF,

「.△ABH〜/\ACF,

BH_AB_2

*CF==

BE2

,--->—,

,,CF5

二.选项C结论错误，符合题意；

故选：c.

根据平行线分线段成比例定理列出比例式判断4、B、D,连接4F,交BE于H,

根据相似三角形的性质判断C.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：•.•4B〃EF,

ZB=ZF,

AC//DE,

ZACB=NEDF,

在△45。和△EF。中，

(ZACB=NEDF

<ZB=ZF,

[AB=EF

：./\ABC=/\EFD(AAS),

：.BC=FD,

:.BC-DC=FD-DC,

：,BD=FC,

.•.加=；西_*)=；(6_3)=|.

故选：B.

由平行线的性质得到/B=/F,NACB=/EDF,证得△AB。三△EFO,得到

i3

BC=FD,进而得到3。=FC,即可得出==5.

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得4BC三是解决问题的关键.

5.【答案】D

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【解析】解：4、由N与了是非零向量，且|司=|3号|知，区与3万只是模相等，方

向不一定相同，/=3万不一定成立，故不符合题意；

B、由Z与3是非零向量，且|初=|37|知，力与3了只是模相等，方向不一定相反，

即/=_3下不一定成立，故不符合题意；

C、由才与了是非零向量，且|同=|3用知，/与3了只是模相等，不一定共线，故

不符合题意；

。、由方与了是非零向量，且口|=|3匕|知，|亍1=3,符合题意.

故选：D.

根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案

本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向.

6.【答案】C

【解析】解：在△A3。中，ZC=90°，4。=8，BC=2,

AB=+BC2=V7-

△DEF与△ABC相似，

AB_AB_AC

,,aF=EF=DF，

.2一/圾

,,4=2VV=DF，

DF=2\/3，

则ZYDEF第三条边的长为2&,

故选：C.

根据勾股定理得到AB=，4。2+叱2=，根据相似三角形的性质健康得到结论.

本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

7.【答案】1

【解析】解：设1=弓=卜，

53

则n=5k,y=3k,

,力+g

一y

5fc+3k

二3k

_8k

=3k

_8

故答案为：!.

o

17/X+U

设工=彳=k,根据比例的性质求出①=5k,g=3k,把i=5k,g=3k代入----,

53y

即可求出答案.

本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果而=cd,

那么2=:,反之亦然.

cb

8.【答案】fc<-1

【解析】解：•.•函数“=山的图象在其所在的每一象限内，函数值V随自变量2的

X

增大而增大，

k+1V0,

解得：k<—1,

故答案为：k<-l.

根据反比例函数的性质可得k+l<Q,再解不等式即可.

本题考查了反比例函数的性质，关键掌握以下性质：反比例函数沙=~,当k>0时，

x

在每一个象限内，函数值V随自变量2的增大而减小；当卜<0时，在每一个象限内，

函数值V随自变量①增大而增大.

9.【答案】1

【解析】解：/(3)=32-3X3+1=1,

故答案为1.

把工=3代入函数关系式即可求得.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数图象上点的坐标适合解析式.

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10.【答案】U=—/+2.答案不唯一

【解析】解：满足题意的抛物线解析式为：y=-x2+2.

本题答案不唯一.

故答案为：夕=—/+2.答案不唯一.

可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴是直线c=0,开口向下即可.

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键.

11.【答案】—6N

【解析】解：N是单位向量，/与N方向相反，且长度为6,

:.宕=—6N,

故答案为：一6/.

根据平面向量的性质解决问题即可.

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

12.【答案】—4

【解析】解：•.•二次函数U=a(c+l)2+c(a#0),

.•.抛物线的对称轴为直线z=-1,

•.•点4(2,4)、B(m,4)都在抛物线上,

.,.点4、B关于直线立=一1对称，

2+m

m=—4.

故答案为：-4.

根据点4(2,4)、B(私4)坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出m的值.

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解

决问题的关键.

13.【答案】110°

【解析】解：•；/B=80°，ZC=40°，

ABAC=180°-ZB-ZC=60°,

・「AD平分/BA。，

ABAD=jzBXC=30°,

：.AADC=ZB+ABAD=110°.

故答案为：110。.

由三角形的内角和可求得/氏4。=60°,再由角平分线的定义得=30°,利用

三角形的外角性质即可求乙4DC的度数.

本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的

掌握.

14.【答案】3a

【解析】解：在梯形4BC。中，AD//BC,

-S&AOB=2a,S&BOC=4a,

S^AOB：S&BOC—1：2,

AO：OC=1：2；

AD//BC,

：,XAODsXBOC,

■.■AD：BC=1：2,

S^AOD：S/\uoc—1：4,

S/\AOD=a,

S&COD=2a,

S&ADC=S^AOD+S^DOC=3a.

故答案为：3a.

首先根据S、4OB：SABOC=1：2,可得A。：OC=1：2；然后根据相似三角形的

面积的比的等于它们的相似比的平方，和等高的三角形面积比是底与底的比，进而可以

解决问题.

此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握.

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15.【答案】吏二1

2

【解析】解：1•某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，

,—a=-\/-5-----1，

b2

故答案为：.T.

2

由黄金分割的定义即可得出答案.

本题考查了黄金分割，解决本题的关键是熟记黄金分割的比值.

16.【答案】y

7

【解析】解：在△ABC中，ZX=90°,cosB=-AB=7,

of

7

BC=ABcosB=74--=8,

8

•・・斜边BC的垂直平分线分别交43、BC交于点D、E,

：,BE=^BC=4,

739

/.CD=BD=BE+cosB=44--=—,

87

故答案为：y.

739

根据cosB=4g=7,求出BC=8,则BE=4,BD=—,再根据CD=BD,

即可求出。。.

本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

17.【答案】2

【解析】解：•：4DFB=4EFC,AB=AC,

：./\DBFsAECF,

,-D--F--B--F--B--D-A

,EF~FC~EC~

•/ZB=ZC,ZA=ZA,

：./\ABE^/\ACD,

AB_AE

,AC=AD

・/48=6,AC=4,

AE_6_3

,,AD=4=2?

设=则B0=4力，

：.AE=AC-CE=^-x,AD=AB-BD=6-4x,

4-x_3

,'6-4x=2f

,\x=1.

：.AD=2.

故答案为：2.

证明由相似三角形的性质得出/=翌=剪=4,证明△4BE

EFFCEC

ARA

〜△a。。，由相似三角形的性质得出筌=要，设则BO=4宓，得出方

ACAD

程4—7=r3求出工=1,则可得出答案.

6-4/2

本题考查了相似三角形的判定与性质，证明-△4。。是解题的关键.

18.【答案】v^l-2v^

10

【解析】解：如图，过点E作BG_LAO于点G,

.•将△ABC绕点。旋转，点3落在线段月。上的点E处，点4落在点E处,

:.CE=BC=4,CFEFABAC=5,

：AB=AC,工。是边BC上的高，

：.BD=CD=2,

・cos/ECO-必-2_1

..cosAEGD-CE----,

：.AECD=60°,

DE=CE-sin乙ECD=4xsE60°=2\/3>

AACF=AECD=60°,

.•.△ACT是等边三角形，

AF=EF=5,

在MA4CO中，a。=—CD?=,52—22=历,

/.AE=AD—DE=y/21—2\/3，

/AF=EF,FGLAD,

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\/21-2\/3

AG=EG=

2

\/21-2\/3

74Gf_\/21-2\/3,

：,cosAFAD=—

AF-5=10

故答案为：旗-2©

10

如图，过点F作歹G,AD于点G,由旋转可知：CE=BC=4,

CF=EF=AB=AC=5,利用三角函数可得/EC。=60°，进而可得：DE=2瓜，

4F=EF=5,运用勾股定理可得4D=，五，AE=\/21-2V3'由等腰三角形性

质可得AG=EG=历—2、,再运用三角函数可得

2

/“nAGV21-2V^

cosAFAD=——=-------------

AF10

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三

角函数定义，解题关键是要熟练运用等腰三角形性质.

4X（产产_2X）-1

19.【答案】解：原式=--Z------------

器-2x苧

3

4x--1-1

=4_______

\/3-\/2

_3-1-1

一鼻

_1

一心—鼻

=Vs+V2-

【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.【答案】±寸+了

412

【解析】解：0,：ABIICD,

：.Z.EAB=Z.EDC,/ABE=ADCE,

：.4ABE~ADCE,

AB_BE_1

''Cb=CE=3,

：.CE=3BE,

・/EF//CD,

ABEF=々BCD,

;ZB=ZB,

：.4BEF~丛BCD,

BE_EF

'^BC='Cb'

*/BC=BE+CE=BE+3BE=4BE,

EF_1

''cb=T

(2)由(1)知：EF=|CD,

Ef=粹=宗,

,.市+/=/，

.•.市=/-/，

•/=~b，

.•.屋=7一;云,

4

「48：CD=1：3,

：.AB=\CD,

o

=gd=,

血=池+屋=/+7一/=+了.

故答案为：卜，之君+了.

412

(1)根据平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABE-△OCE和ABEFSABCD

即可得出结论；

⑵根据⑴中结论和平面向量的加、减运算即可得出结论.

本题考查相似三角形的判定和性质以及平面向量，熟练掌握平行线的性质和平面向量的

加、减运算是解题的关键.

第18页，共26页

21.【答案】解：（1）把c=l代入？/=2①得：y=2,

二A的坐标为（1,2）,

把工的坐标代入夕=［伊r0）得：k=1x2=2,

2

即反比例函数的表达式为y=~；

x

（2）过4作力E_L月。于E,

•.•8C_L.轴,

/.AE//1轴，

.-41,2),

CE=2,

/AC=AB,AELBC,

：.CE=BE=2,

/.8点的纵坐标为4,

把U=4代入沙=2c得：4=2c,解得N=2,

即B点的坐标为（2,4）,

•.•。点的横坐标为2,

2

把2=2代入沙=一得，U=1,

X

【解析】（1）把r=l代入沙=2,求出力的坐标，把4的坐标代入“=：也多0）求出R即

可；

⑵过工作力E_L于E,求出CE=2,根据等腰三角形的性质求出CE=BE=2,

得出B点的纵坐标为4,代入2%•求出B点的坐标，即可得出。点的横坐标，进而

即可求得纵坐标.

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式,

能求出各个点的坐标是解此题的关键.

22.【答案】长

【解析】解：（1）观察图象可知，当43的长度越长时，钓竿的端点F与点N之间的距

离越远，

故答案为：长;

（2）如图（2）中，过点。作CK_L于点K,过点4作AH_LFN于点才，过点3作

34，尸?/于点/，则四边形AfNH/1,四边形都是矩形.

‘加"=/"=6/=20厘米，4M=NH=20厘米，=HJ=180厘米，

在出△ACK中，OK=4C-s加37°仁30（厘米），4K=4Ccos37°740（厘米），

BK=AB-AK=180-40=140（厘米）,

-：BM//FN,

Z.CBK=ZF,

tanZ.CBK=tanF,

CK_JB

'^BK=~FJ'

30_20

**140=FJ，

/.FJx93（厘米）,

FN=NH+NJ+FJ=20+180+93=293（厘米）,

答：的长度是180厘米，此时钓竿的端点尸与点N之间的距离约为293厘米.

⑴观察图象可知，当的长度越长时，钓竿的端点尸与点N之间的距离越远，

⑵如图⑵中，过点。作CK_L4B于点K,过点人作力H_LFN于点H,过点B作

BJ±尸N于点J,则四边形MNHA,四边形都是矩形.分别求出NH,NJ,

JF,可得结论.

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直

角三角形解决问题，属于中考常考题型.

23.【答案】证明：⑴•「BD=DC,

Z.DBC=ZC,

：BD-BC=BE-AC,

BD_BE

,AC=

CABCS^DEB,

第20页，共26页

/ABC=ADEB,

即/ABE=/DEB；

⑵如图所示：

*/△48。〜△DE8,

ACAB=乙BDE,

AFAD=AFDB,

*/ZF=ZF,

.•.△FADSAFDB,

FD_AD

,'FB=~DB'

'：/ABE=Z.DEB,

：,FB=FE,

又：BD=DC,

FD_AD

,,短=配’

【解析】⑴由石八80二石石工^得出中二金，8。=。。得出/。8。=/。,

AC

从而得出结论；

⑵根据⑴的结论和已知证明△-4。-/\FDB即可.

本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形.

24.【答案】解：⑴将4a,0)代入沙=—卜+1,

O

解得772=3,

.•.4(3,0),

将8(—3,n)代入y=—卜+L

o

解得n=2,

.­.5(-3,-2),

把4(3,0),3(-3,2)代入2/=\/+就+。中,

o

-x9+36+c=0

{—x9—3b+c=2

解得[b=~3,

[c=-2

二.抛物线的解析式为u=卜2—卜—2.

oJ

⑵如图1,过点。作。沙轴于点H,

•「AACD=90°,

AACO+ADCH=90°,

又乙DCH+ACDH=90°,

AACO=ACDH,

/.tanAACO=tanACDH,

AOCH

'cd=

第22页，共26页

由(1)可知04=3,00=2,

3cH

・=

2

••.呜-牛;

⑶如图2,若平移后的三角形为

•0-N(1-3,了-31_2-2),

二,点N在直线y=——X+1上，

O

*,•¥-3-4=一；"-3)+1,

OOO

：.t=3V或"-3\/2，

：,P(3\/2,4一依或F(-3v/2,4+\/2).

【解析】（1）利用待定系数法求出4,B两点坐标即可解决问题.

⑵过点。作。H，"轴于点H,由直角三角形的性质得出tanNACO=tanZCDH,

则毁=簿，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；

CCyUH

（3）设P（力;产—$—2）,得出N（力一3,；产一；力一2—2）,由点N在直线4_8上可得出

力的值，则可得出答案.

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性

质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的

思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标.

25.【答案】解：⑴如图1,在△力

中，边BC上的高4D=2,tanB=2,

AD门-

c—tanB=2，

IDL)

：.BD=1，

/EF=CD=3,DG=m,

.•.80=8。+。。=4,AG=AD-DG=2-m,

'：EFIIBC,

EFAG32—m

----=---,即nn一=------,

,BCAD42

解得：m=I，

m的值为g;

(2)①如图2,•.•将△AEF沿着石R翻折，点｛落在△48。的重心点尸处,

1224

BD=CD=1,AP=2PD,即2。=可4。=可，AP=-AD=-,

OOOO

-AG=GP=~AP=l，

/O

,\DP=GP,

\'EF//BC,

：.APGE=APDQ=90°,/\AEG-/\ABD,

2

EGAG日口”-

•---=---,即七G3,

'BDAD-=2

:.EG=g,

o

在△PQO和△PEG中，

(AQPD=AEPG

<DP=GP,

[£PDQ=Z.PGE

ARQ。三△PEG(ASZ),

-DQ=EG=\,

o

.-,CQ=CD-DQ=l-l=l，

oo

第24页，共26页

2

,此时CQ的长为未

O

②在放△48。中，AB=y/AD2+BD2=V/5，

•.•将4AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线，与月。之间的点尸处,

/.ZPBQ<