2023-2024学年保定市曲阳一中高一数学（下）5月考试卷附答案解析

-2024学年保定市曲阳一中高一数学（下）5月考试卷考试范围：第六章--第九章；考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（

）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形3．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（

）A． B． C． D．5．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（

）A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.826．设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（

）A．若m上有两个点到平面的距离相等，则B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件C．若，，，则D．若m、n是异面直线，，，，，则7．在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（

）A． B． C． D．8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（

）A．该半正多面体的体积为B．该半正多面体过，，三点的截面面积为C．该半正多面体外接球的表面积为D．该半正多面体的表面积为二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（

）A．B．样本质量指标值的平均数为75C．样本质量指标值的众数小于其平均数D．样本质量指标值的第75百分位数为8510．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则△ABC为钝角三角形C．若，，，则符合条件的△ABC有两个D．若，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形11．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，分别在棱，上，且分别为的中点，则（

）A．平面B．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为D．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量，若B，C，D三点共线，则．13．已知在中，内角所对的边分别为，点是的重心，且，则角的大小为．14．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为．

四、解答题（共5道大题，其中15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分，共77分）15．已知向量满足，．(1)求；(2)求；(3)若向量与向量的方向相反，求实数的值．16．某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.(1)求居民月收入在的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？17．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.(1)求角A的大小；(2)已知，，求的值.19．如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，

(1)证明：平面；(2)求点到面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.1．B【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数，再利用复数的几何意义即可.【详解】复数所以在复平面内复数所对应的点为，该点位于第二象限.故选：B.2．A【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可.【详解】在中，由及正弦定理，得，于是，而，则，所以是等腰三角形.故选：A3．C【分析】由题意可知：，根据模长关系结合数量积的运算律可得，进而可求投影向量.【详解】由题意可知：，因为，则，即，可得，所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：C.4．D【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案.【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米，下圆台的高为厘米，故上圆台的体积为立方厘米，下圆台的体积为立方厘米，故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.故选：D5．D【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可.【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，从乙队中抽取人，这人答对题目的平均数为，所以这人答对题目的方差为.6．D【分析】对于A，m与可以相交，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于B，C，根据面面垂直的判定及性质进行判断；对于D，根据面面平行的判定定理进行判断.【详解】对于A，当直线m与相交时，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A错误；对于B，若，，，则，又，所以；当时，，当时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；对于C，若，，，m与n位置关系不固定，可以是各自平面内的任意直线，故C错误；对于D，若m、n是异面直线，，，，，则在直线任取一点，过直线与点确定平面，，又，则，，，所以，又，，所以，故D正确.故选：D.7．D【分析】由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解.【详解】因为D为AB的中点，则，可得，即，解得，又因为P为CD上一点，设，则，可得，解得，即，则，可得，即.故选：D.【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得；2.设，根据平面向量基本定理求得；3.以为基底表示，进而运算求解.8．D【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC，利用正三角形与正方体的面积公式判断D.【详解】A：如图，因为，所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积为：，故A错误；B：根据该半正多面体的对称性可知，过三点的截面为正六边形，又，所以正六边形面积为，故B错误；C：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形的中心，故半径为，所以该半正多面体外接球的表面积为，故C错误；D：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为，所以其表面积为，故D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解.9．ACD【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可.【详解】对于A项，由题意知，解得0.030，故A项正确；对于B项，样本质量指标值的平均数为，故B项错误；对于C项，样本质量指标值的众数是，故C项正确；对于D项，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数位于第4组，设其为，则，解得，即第75百分位数为85，故D项正确.故选：ACD项.10．ABD【分析】利用正弦定理、余弦定理逐一判断即可.【详解】A选项，根据大角对大边，，根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，于是，A选项正确；B选项，根据余弦定理结合选项可知，，由，进而，B选项正确；C选项，根据正弦定理，，结合选项数据，得出，故这样的三角形不存在，C选项错误；D选项，若，由正弦定理，，则，则或者，即，或者，即是等腰三角形或者直角三角形，D选项正确.故选：ABD.11．BC【分析】根据线面平行的定义判断A；求出点P关于平面和的对称点的距离判断B；计算截面面积判断C；找出与过点A且与直线和BC所成的角都为的直线条数判断D.【详解】直三棱柱的所有棱长均为3，对于A，由，得，显然构成一个平面，连接DF，EG，和，正方形中，，设，显然≌，则，即为的中点，于是，即为DF的中点，同理设，则为EG的中点，因此是中位线，由为中线，得P为中点，因为平面FGED，因此平面FGED，即平面PFG与平面FGED为同一个平面，则DE在平面PFG内，A错误；对于B，显然平面与平面所成锐二面角大小为，计算可得点H到平面和的距离，由选项A知，是的中点，则点P到平面和的距离，令点P关于平面和的对称点分别为，，则当M，N分别取直线与平面和的交点时，的周长最短，由，得，所以周长的最小值为，B正确；对于C，由选项A知，D，E在过P，F，G三点的平面内，截面为四边形FGED，，则截面面积为，C正确；对于D，显然，过点A作BC的平行线，则，与成的所有直线构成以A为顶点的两个对顶圆锥（为轴），同理与成的所有直线构成以A为顶点两个对顶圆锥（为轴），而与所成角，因此圆锥面上公共直线共有两条，所以过点A且与直线和BC所成的角都为的直线有2条，D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.12．【分析】求出，再利用共线向量的坐标表示求出.【详解】依题意，，由B，C，D三点共线，得，则，所以.故答案为：13．【分析】根据重心性质可得，代入已知，结合平面向量基本定理可得，然后由余弦定理可解.【详解】记的中点分别为，则，由重心性质可知，，所以，所以，即，由平面向量基本定理可知，即，所以，，因为，所以.故答案为：

14．##【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解.【详解】在中，，则，又平面，平面平面，所以平面，连接，，所以，得，设（），则，即，得，当即即时，取到最小值1，此时取到最小值.故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到、，而，即为所求.15．(1)(2)(3)【分析】（1）首先求出、的坐标，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得；（2）求出的坐标，利用坐标法计算可得；（3）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，再代入检验.【详解】（1）因为，，所以，则，所以，所以，所以；（2）因为，所以；（3）因为，，所以，，因为与共线，则，解得或，当时，，，则，此时与方向相同，不符题意；当时，，，则，此时与方向相反，符合题意；综上可得．16．(1)0.15(2)2400元(3)25人【分析】（1）根据图中所对应的频率/组距的值，乘上组距，即可得到月收入在的频率.（2）通过比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，进而求出样本数据的中位数.（3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数.【详解】（1）月收入在的频率为：∴居民月收入在的频率为0.15.（2），，，，∴样本数据的中位数为∴样本数据的中位数为2400元.（3）居民月收入在的频率为：，∴10000人中月收入在的人数为：，再从10000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在的这段应抽取：，∴月收入在的这段应抽25人.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面；（2）由平面，平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，所以平行四边形为正方形，所以，又，所以，又平面，所以平面，由平面，所以平面平面；（3）由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，即，在中，，作，垂足为M，由（2）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，在中，，即直线与平面所成角的正弦值为.

18．(1)(2)【分析】（1）根据向量共线的坐标运算及正弦定理得，化简得，根据特殊角的三角函数值求解即可；（2）方法一：结合题干利用余弦定理求得，再代入面积公式求得，利用数量积定义求得，即可解答；方法二：根据三角形面积公式求得，进而利用数量积的定义求得，再利用余弦定理和题干求得和，即可得解.【详解】（1）由向量，，且，得，利用正弦定理可得，又，所以，可得.又，所以.（2）方法一：由（1）得，即.由.得，得.又可得，此时，所以.方法二：由