2018课标版文数一轮(10)第十章-概率与统计(含答案)1-第一节-随机事件的概率

文数课标版第一节随机事件的概率确定事件必然事件在条件S下,①一定会

发生的事件叫做相

对于条件S的必然事件

不可能事件在条件S下,②一定不会

发生的事件叫做

相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下,③可能发生也可能不

发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

1.事件的分类教材研读2.频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验

中事件A出现的④次数

nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例

fn(A)=⑤

为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的⑥频率fn(A)

稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.3.事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B⑦一定发生

,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)⑧

B⊇A

(或A⊆B)相等关系若B⊇A,且B⊆A,那么称事件A与事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当⑨事件A或事件B发生

,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当⑩事件A发生且事件B发生

,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

A∩B

(或AB)互斥事件若A∩B为

不可能

事件,那么称事件A与事件B互斥A∩B=⌀对立事件若A∩B为

不可能

事件,A∪B为

必然

事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B=⌀且A∪B=U(U为全集)4.概率的几个基本性质(1)概率的范围为

[0,1]

.(2)必然事件的概率为

1

.(3)不可能事件的概率为

0

.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=

P(A)+P(B)

.(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)=

1

,P(A)=

1-P(B)

.

判断以下结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的. (×)(2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. (√)(3)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.(√)(4)两互斥事件的概率和为1. (×)(5)假设P(A)+P(B)=1,那么事件A与B一定是对立事件. (×)

1.以下事件中,随机事件的个数为 ()①物体在只受重力的作用下会自由下落;②方程x2+2x+8=0有两个实根;③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次;④下周六会下雨.A.1

B.2

C.3

D.4答案

B①为必然事件,②为不可能事件,③④为随机事件.2.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件

“至少有一名女生”与事件“全是男生”

()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件答案

C“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两个女生”两

种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故

“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件,故

选C.3.给出下面三个命题:①设有一大批产品,其次品率为0.1,那么从中任取100件,必有10件是

次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是 ;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中真命题的个数为 ()A.0

B.1

C.2

D.3答案

A①,从中任取100件,可能有10件次品,并不是必有10件次品,故

①是假命题.②,抛硬币时出现正面的概率是 ,不是 ,故②是假命题.③,频率和概率不是一回事,故③是假命题,应选A.4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为

0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高

超过175cm的概率为

()A.0.2

B.0.3

答案

B由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过175cm的

概率为1-(0.2+0.5)=0.3.5.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,那么乙不输的概率是

.答案

 解析乙不输即为两人和棋或乙获胜,因此乙不输的概率为 + = .考点一随机事件的频率与概率典例1

(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的根本保费为a(单位:元),继

续购置该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出

险次数的关联如下:考点突破上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下

统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于根本保费”.求P(A)

的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于根本保费但不高于根本保

费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.规律总结频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性的

大小,但无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小.而从大量重复试

验中发现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就会稳定于某一固定

的值,该值就是概率.1-1

(2015陕西,19,12分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气

情况进行统计,结果如下:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天

的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个

开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间

的概率.日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴

日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如:1日与2日,2日与3日等).这

样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的

有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为

.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为

.解析(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,从

4月份任选一天,西安市在该天不下雨的概率为

.考点二互斥事件与对立事件的概率典例2某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工

随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概

率)解析(1)由得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾

客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,

顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 =1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3

分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.

将频率视为概率得P(A1)=

=

,P(A2)=

=

,P(A3)=

=

.因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

+

+

=

.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为

.方法技巧求复杂事件的概率一般有两种方法:一是直接法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立

事件的概率,再由P(A)=1-P(

)求解.当题目涉及“至多”“至少”时,多考虑间接法.2-1从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是

()A.①

B.②④

C.③

D.①③答案

C③,“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从

1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,根据取到数的奇偶性知共有三种情况:

“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是

奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.2-2在5张卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,假设事件

“2张全是移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是()A.至多有1张移动卡

B.恰有1张移动卡C.都不是移动卡

D.至少有1张移动卡答案

A“至多有1张移动卡”包含“1张是移动卡,1张是联通卡”

“2张全是联通卡”两种情况,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故

选A.2-3某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张

奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券

中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券中奖的概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解析(1)