11.2 正弦定理（六大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页11．2正弦定理课程标准学习目标（1）学生能证明正弦定理，能掌握正弦定理；（2）能初步运用正弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题；（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．（1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.（2）掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题．（3）了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.（4）理解三角形面积公式及解三角形的含义.知识点01正弦定理正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：知识点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：=1\*GB3①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；=2\*GB3②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．【即学即练1】（2024·上海·高一假期作业）已知，，，解三角形．【解析】因为，且，，所以，，而，所以.知识点02正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；【即学即练2】（2024·河北邯郸·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理知：得.故选：B知识点03三角形面积公式在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积．【即学即练3】（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若，的周长为3，求的面积S.【解析】（1）因为，则，即，解得.（2）由（1）可知：，且，可得，由题意可知，即，由余弦定理可得，即，解得，所以的面积.知识点04仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．【即学即练4】（2024·河南商丘·高一校联考期末）地面上一名观测工作人员，观测到一架飞机以的速度在某一高度向正东方向飞行，在观测点上第一次观测到飞机在北偏西方向，1分钟后第二次观测到飞机在北偏东方向，仰角为，则飞机的飞行高度为（结果保留根号）.【答案】/【解析】设点C是观测点，点A，B是飞机被观测的起止位置，点E，F是飞机在地面上的射影，已知（km），，设CD是正北方向，则，，，则，.在△CEF中，由正弦定理知，，即，解得.在直角三角形BFC中，.故答案为：题型一：已知两角及任意一边解三角形【典例1-1】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A．8 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】在中，，因为，所以，则由正弦定理得.故选：B．【典例1-2】（2024·全国·高一随堂练习）在中，已知，，，则边的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，可得，由正弦定理可得.故选：B.【变式1-1】（2024·福建泉州·高一校考期末）若的外接圆半径，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则为锐角，所以，由，则为锐角，所以，则，可得：．故选：D【变式1-2】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）在△ABC中，，，，则边长（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理知，，即，解得.故选：D【变式1-3】（2024·广东佛山·高一校考期末）的内角的对边分别为，已知，则（

）A．6 B． C．8 D．【答案】A【解析】由得.由正弦定理得.故选：A【方法技巧与总结】（1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．（2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形【典例2-1】（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得，，由正弦定理可得，所以，又，故，.故选：C【典例2-2】（2024·全国·高一假期作业）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则cosB=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】结合题意：利用正弦定理得：,即,解得：.故选：D.【变式2-1】（2024·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）中，，，，则角C的大小为（

）A． B．C． D．或【答案】A【解析】由正弦定理可知，因为，所以，故.故选：A【变式2-2】（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）在中，若，，，则可能是（

）A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°【答案】B【解析】由正弦定理可得，故，故，而，故或，故或，故选：B.【变式2-3】（2024·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，由正弦定理得，即，所以.故选：B【方法技巧与总结】已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤（1）用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．（2）用三角形内角和定理求出第三个角．（3）根据正弦定理求出第三条边．其中进行（1）时要注意讨论该角是否可能有两个值．题型三：三角形形状的判断【典例3-1】（2024·陕西西安·高一期末）在中，（分别为角的对边），则的形状可能是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，得，即，由正弦定理可得：，所以，得，在中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.故选：B.【典例3-2】（2024·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）已知的三内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，且满足，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．直角非等腰三角形【答案】B【解析】由题意，向量，，，则，可得：，即.又由，可得，即，∵，∴，∴可解得：，∵，∴，又∵，∴，∴是等边三角形.故选：B.【变式3-1】（2024·高一校考单元测试）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】∵，∴由正弦定理得，又∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是直角三角形，故选：B.【变式3-2】（2024·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为，根据正弦定理边角互化得，所以，所以，所以，即，所以或，所以或，即的形状是等腰或直角三角形．故选：D【变式3-3】（2024·广东佛山·高一罗定邦中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由三角形面积公式可得，，由，，化简得，由正弦定理得，，即，得，，由，则，的形状为直角三角形.故选：B【变式3-4】（2024·上海·高一上海市敬业中学校考期末）若，且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，即，所以，故是等边三角形，故选：D.【方法技巧与总结】判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：（1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①（为外接圆的半径）；②；（2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：①（为外接圆的半径）；②．题型四：三角形面积公式及其应用【典例4-1】（2024·北京·高一北京育才学校校考期末）在中，，则，．【答案】【解析】对空：由题意知，则，所以，由余弦定理得，则；对空：由，，所以，所以.故答案为：；.【典例4-2】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角所对的边分别为，则的面积为.【答案】【解析】因为，由余弦定理得，因为，所以，得，故.故答案为：【变式4-1】（2024·广东茂名·高一统考期末）在中，，，，则的面积为.【答案】【解析】∵，，，，∴,即，解得或（舍去），∴.故答案为:​​​​​​​.【变式4-2】（2024·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，角所对的边分别是，若，试求的面积．【解析】（1），由得：因此，的单调递增区间是．（2）由,，而,故，故，由余弦定理得：①，由得：②，②-①得：．【变式4-3】（2024·全国·高一假期作业）设的内角的对边分别为，且．(1)求的大小；(2)若，且的周长为，求的面积．【解析】（1）根据正弦定理，由，由余弦定理可知：，所以，因为，所以；（2）因为，所以有，而的周长为，所以，于是有，所以的面积为.【方法技巧与总结】对于面积公式，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知角A就选，但也要结合具体条件，要根据解题目标和其他条题型五：判断三角形解的个数【典例5-1】（2024·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解；对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解；对于C项，由正弦定理，可得，可得B有两解，所以三角形有两解；对于D项，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故选：C．【典例5-2】（2024·全国·高一假期作业）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意如下图所示：易知当时，，若满足条件的三角形只有一个；由题可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点时，即图中两点满足题意；所以可得，即；即的取值范围是.故选：C【变式5-1】（2024·全国·高一假期作业）在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，且满足条件的有两个，则，即，解得.故选：B.【变式5-2】（2024·浙江台州·高一温岭中学校考期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（

）A．当时， B．当时，有两个解C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解【答案】C【解析】因为，，，所以由正弦定理，即，当时，又，所以或，故A错误；当时，又，此时无解，故B、D错误；当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确；故选：C【变式5-3】（多选题）（2024·江苏镇江·高一校联考阶段练习）中，内角A，B，C对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【解析】易知，对于A，由正弦定理可知由正弦函数的图象与性质可得或，又，则A有两个解，即A正确；对于B，同上或,又，则B有两个解，即B正确；对于C，同上得，且，故C只有一解，即C错误；对于D，如下图所示，则易知，即此时有两解，即D正确.故选：ABD【变式5-4】（多选题）（2024·湖北·高一校联考期末）在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【解析】选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；选项D，根据已知可解出，，∴三角形有唯一解.故选：BD.【方法技巧与总结】（1）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角一解一解一解无解无解一解无解无解两解一解无解（2）通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养．题型六：用正弦定理解决简单的实际问题【典例6-1】（2024·重庆渝中·高一重庆复旦中学校考期末）中国人民解放军某舰队一艘巡逻舰在南海执行任务时以60海里/小时的速度向正北航行，在处发现处有一艘船只，仪表显示处在处的北偏东30°，半小时后航行到处，在处测得处在巡逻舰的北偏东75°，则与之间的距离是（

）A．15海里 B．海里 C．20海里 D．海里【答案】B【解析】因为，，所以，即．故选：B．【典例6-2】（2024·山西·高一统考阶段练习）为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC(单位：海里)为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，，，在中，运用正弦定理得，．故选：D．【变式6-1】（2024·山东菏泽·高一校考阶段练习）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，为了测量建筑物高度AB，我们选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一直线上，经测量，在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是，，米，测角仪器的高是1.5米，则该建筑物的高AB约为（

）（参考数据：）

A．13.5米 B．14.2米 C．15.2米 D．16.5米【答案】C【解析】，在中，由正弦定理得，所以，这座建筑物的高度为米.故选：C【变式6-2】（2024·安徽合肥·高一统考期末）滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为.（精确到）.

【答案】57【解析】在中，，（）在中，，，故，即，所以（米），故答案为：57【变式6-3】（2024·江苏徐州·高一统考期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高．

【答案】90【解析】在三角形中，，，，又，由正弦定理可得：，，解得，又在中，由题意可知：，.故答案为：.【方法技巧与总结】在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．一、单选题1．（2024·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由正弦定理和可得.因为所以，所以，因为，所以为.故选：A2．（2024·全国·高一假期作业）在△中，角的对边分别是，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，则．故选：B3．（2024·全国·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，．，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理，得，因为，所以，又，所以．故选：C.4．（2024·全国·高一假期作业）记的内角的对边分别为，，，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，有正弦定理得，则，所以，故，即，代入上边等式可得，，则三角形为等边三角形，故故选：5．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，且的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设中角所对的边分别为，因为，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因为，所以，故选：D6．（2024·全国·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】.,设该三角形外接圆的半径为由正弦定理得故选：A.7．（2024·全国·高一随堂练习）在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由，得，因为，，所以.由余弦定理得，解得，所以.故选：C.8．（2024·全国·高一假期作业）中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（

）A． B． C．8 D．【答案】B【解析】由题意可知：，因为，即，整理得，则．当且仅当时，等号成立．所以的最小值为．故选：B.二、多选题9．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A选项，由正弦定理得，A选项正确.B选项，由正弦定理得，而当时，则或，则或，所以B选项错误.C选项，由正弦定理得，所以，所以C选项正确.D选项，，由正弦定理得，所以D选项正确.故选：ACD10．（2024·广东珠海·高一统考期末）的内角的对边分别为、，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若三角形为斜三角形，则【答案】ABD【解析】对于A中，由，可得,由正弦定理得，所以A正确；对于B中，因为，由正弦定理，可得，因为且，所以，所以有两解，即有两解，所以B正确；对于C中，若为钝角三角形，当为钝角时，由余弦定理可得，所以C错误；对于D中，因为，可得，又因为，可得，所以，所以D正确；故选：ABD.11．（2024·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（

）A．B．若，则只有一解C．若为锐角三角形，则b取值范围是D．若D为边上的中点，则的最大值为【答案】CD【解析】根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由，因为，所以，故A错误；由上可知：，故有两解，故B错误；若为锐角三角形，则，且，即，由正弦定理可知：，故C正确；若D为边上的中点，则，由余弦定理知，根据基本不等式有，当且仅当时取得等号，所以，即，故D正确.故选：CD.三、填空题12．（2024·上海·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别是，，，且，则【答案