12.1 复数的概念（三大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页12．1复数的概念课程标准学习目标（1）通过方程的解体会引人复数的必要性，能类比自然数系扩充到实数系的过程，归纳出数系扩充的基本思想；能用自己的语言说明虚数单位i的意义，体会现实需求与数学内部的矛盾在促进数系扩充过程中所起的作用．（2）能说明复数代数表示的基本结构并能运用Venn图对复数进行分类；能说出复数相等的含义，并会用于解决简单的实际问题．（3）能类比实数的几何意义，用自己的语言解释复数的几何意义，从数与形两个角度，理解复数相等的条件．（1）通过方程的解，认识复数.（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．知识点01复数的基本概念1、虚数单位数叫倣虚数单位，它的平方等于，即．知䢔点诠释：（1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；（2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．2、复数的摡念形如的数叫复数，记作：；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．3、复数的分类对于复数若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数．分类如下：（）用集合表示如下图：4、复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．）【即学即练1】（2024·高一·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（

）A．如果实数，那么是纯虚数．B．实数是复数．C．如果，那么是纯虚数．D．任何数的偶数次幂都不小于零．【答案】B【解析】对于A中，若，那么，所以A错误；对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；对于C中，若且时，复数，所以C不正确；对于D中，由虚数单位，可得D错误.故选：B.知识点02复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：如果，那么特别地：．知识点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．【即学即练2】（2024·高一·全国·课时练习）方程的实数解.【答案】【解析】由得：，解得：.故答案为：.题型一：复数的概念【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】复数，但，所以，选项A错误；复数，但，所以，选项B错误；，选项C错误，，选项D正确；故选：D.【典例1-2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数C．可能是实数 D．复数的虚部是【答案】C【解析】A.，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当时，是实数，说法正确；D.复数的虚部是1，说法不正确.故选：.【变式1-1】（2024·高一·全国·课时练习）复数i的虚部为（）A．2 B．C． D．0【答案】C【解析】由复数定义知，复数i的虚部为.故选：C【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知z1，z2为复数．若命题p：z1·z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设，，若，则，，若，则，，满足，若，则不能比较大小；若，则，，故，综上：p是q成立的必要不充分条件.故选：B【变式1-3】（2024·高二·上海徐汇·期末）下列命题中，正确的是（

）A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小C．设，如果，那么 D．设，如果，那么【答案】C【解析】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；因为，且，所以是实数，故，所以C正确；因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.故选:C.【方法技巧与总结】复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．题型二：复数的分类【典例2-1】（22·23高一·全国·课堂例题）实数m取什么值时，复数是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【解析】（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当且，即时，复数z是纯虚数．【典例2-2】（21·22高一·全国·课时练习）符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为的虚数；(2)虚部为的虚数；(3)虚部为的纯虚数；(4)实部为的纯虚数．【解析】（1）依题意只需要实部为，虚部为任意不为的实数即可，存在且不唯一，如（只要符合题意即可）；（2）依题意只需要虚部为，实部为任意实数即可，存在且不唯一，如（只要符合题意即可）；（3）依题意，纯虚数实部为，虚部只能是，存在且唯一，即；（4）不存在，因为纯虚数的实部为0.【变式2-1】（2024·高一·安徽池州·阶段练习）已知复数.(1)若复数是虚数，求实数的值；(2)若复数是纯虚数，求实数的值.【解析】（1）因为是虚数，所以，解得，（2）因为是纯虚数，所以，解得.【变式2-2】（2024·高一·上海·课时练习）若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？【解析】因为为实数，所以或m=2.时，，是虚数，且是纯虚数；时，，是实数.【变式2-3】（2024·高二·吉林辽源·期末）已知复数.（1）取什么值时，为实数；（2）取什么值时，为纯虚数.【解析】（1）复数，若为实数，则，即（2）若为纯虚数，则，解得【变式2-4】（2024·高二·河南周口·期中）已知，复数，当m为何值时，（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？（4）z在复平面内对应的点在第四象限？【解析】，（1）由得或，即当或时，z为实数；（2）由得且，即当且时，z为虚数；（3）由得，即当时，z为纯虚数；（4）由解得，即当时，z在复平面内对应的点在第四象限.【变式2-5】（2024·高二·上海浦东新·期末）已知复数（是虚数单位）（1）复数是实数，求实数的值；（2）复数是虚数，求实数的取值范围；（3）复数是纯虚数，求实数的值.【解析】（1）复数是实数，则，解得；（2）复数是虚数，则，解得且；（3）复数是纯虚数，则，解得或．【方法技巧与总结】解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部．（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．（3）下结论：设所给复数为，①z为实数⇔．②z为虚数⇔．③z为纯虚数⇔且．题型三：复数相等的充要条件【典例3-1】（2024·高一·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则.【答案】0【解析】因为，则，故答案为：0.【典例3-2】（2024·高一·河南·阶段练习）若复数，，为虚数单位，则．【答案】5【解析】因为，由复数相等可得.故答案为：.【变式3-1】（21·22高一·湖南·课时练习）已知，，则“”是“”的条件．【答案】充分不必要【解析】当时，必有且，解得或，显然“”是“”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要.【变式3-2】（2024·高一·山西运城·期中）已知，则.【答案】1【解析】因为，，所以解得.所以故答案为：【变式3-3】（2024·高一·黑龙江鸡西·期中）若其中是虚数单位，则【答案】5【解析】，，，．故答案为：．【方法技巧与总结】复数相等问题的解题技巧（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．（3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．一、单选题1．（2024·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（

）A．且 B．C． D．或【答案】C【解析】由复数是纯虚数，得解得:.故选:C.2．（2024·高一·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题，所以为实数，即，则有，解得，即a的取值范围为.故选：A3．（2024·高一·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由复数是虚数，所以，所以实数取值的集合是，故选：C.4．（2024·辽宁沈阳·三模）已知复数和，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，复数和是实数，成立，当时，例如，推不出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【解析】由题意，故为实数或故选：A6．（2024·高二·江西宜春·阶段练习）若复数为纯虚数，则实数=（

）A．或2 B．或1 C． D．1【答案】C【解析】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，所以，由，得或，由，得且，所以，故选：C7．（20·21高一·江苏·课时练习）复数z＝a3﹣2a+（m+a）i（a≥0，m∈R）的实部大于虚部，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）【答案】A【解析】∵复数z＝a3﹣2a+（m+a）i（a≥0，m∈R）的实部大于虚部，∴a3﹣2a＞m+a，a≥0，即m＜a3﹣3a在[0，+∞）上恒成立，令f（x）＝x3﹣3x，故f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），故f（x）在[0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，故fmin（x）＝f（1）＝1﹣3＝﹣2，故m＜﹣2，故选：A．8．（17·18高二·全国·课时练习）下列命题中为假命题的是()．A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|【答案】D【解析】A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．选D.二、多选题9．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）对于复数，下列结论错误的是（

）A．若，则为纯虚数B．若，则C．若，则为实数D．【答案】AB【解析】对于A：当，，当时为实数，A错误；对于B：若，则，B错误；对于C：若，则为实数，C正确；对于D：，D正确.故选：AB.10．（19·20高一·全国·课后作业）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由题意得：，，解得：或，，或或，故选：ACD.11．（2024·高一·黑龙江绥化·阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（

）A．存在x使得小于0 B．存在x使得C．不是实数 D．实部和虚部均为1【答案】AB【解析】由复数x＋i，取x＝－2－i，可知A正确；当x＝时，，故B正确；当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故C不正确；由于x的取值未知，故D错误．故选：.三、填空题12．（2024·高一·河南·期中）设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则.【答案】【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：.13．（2024·高一·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则.【答案】【解析】由复数为纯虚数，可知，，得.故答案为：14．（2024·高一·上海宝山·阶段练习）已知复数，，若，求实数的取值范围.【答案】【解析】，，令，根据对勾函数单调性可知函数在上严格单调递减，，所以的范围为.故答案为：.四、解答题15．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？（2）若，且，则实数的值分别为多少？【解析】（1）由已知得，解得；（2）由已知得，解得或.16．（2024·高三·青海玉树·阶段练习）已知复数．当实数取什么值时，复数是：(1)虚数；(2)纯虚数；【解析】（1）整理得当复数是虚数时，，此时，即实数取任意值，复数都是虚数；（2）当复数是纯虚数时