12.4 复数的三角形式（六大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页12.4复数的三角形式课程标准学习目标（1）培养转化，逻辑推理及数学运算能力；（2）通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养。（1）掌握复数的三角形式，能够进行两种形式的转化（2）会进行复数三角形式的乘除运算；（3）理解复数乘、除运算的三角表示的几何意义.知识点01复数的三角形式1、复数的辐角以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角．适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即．2、复数的三角表达式一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．【即学即练1】（2024·高一·全国·课时练习）的三角形式是．【答案】（答案不唯一）【解析】令且，所以，则满足，所以三角形式可写成.故答案为：(答案不唯一)知识点02复数的三角形式乘、除运算1、复数三角形式的乘法及其几何意义设、的三角形式分别是：，．则．简记为：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．2、复数三角形式的除法及其几何意义设、的三角形式分别是：，．则．简记为：模数相除，幅角相减几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．【即学即练2】复数的值是（

）A． B．16 C． D．【答案】A【解析】.故选：A题型一：复数的三角形式【典例1-1】（2024·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】复数的三角表示为：，其中，B选项满足.故选：B.【典例1-2】（2024·高一课时练习）复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，将复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转，可得.故选：B【变式1-1】（2024·高一课时练习）复数改写成三角形式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，，又，∴，∴故选：B．【变式1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由.(1)；(2)．【解析】（1）括号内两项中间不是加号，故不是复数的三角形式，其三角形式为.（2）不满足复数的模大于等于0，故不是复数的三角形式，其三角形式为.【方法技巧与总结】解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤）（1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．（2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”．题型二：复数的代数形式表示成三角形式【典例2-1】（2024·高一·全国·课时练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为．【答案】【解析】由题可得，且在第三象限，所以辐角的主值为，所以，故答案为：.【典例2-2】（2024·高一·全国·课时练习）将复数表示成三角形式是．（用辐角主值）【答案】【解析】令且，则，故，所以.故答案为：【变式2-1】（2024·高一·全国·课时练习）（）改写成三角形式为．【答案】当时，复数的三角形式可以为（答案不唯一）；当时，复数的三角形式可以为（答案不唯一）；当时，复数的三角形式可以为（答案不唯一）.【解析】复数的模为，设复数的辐角为，当时，复数的模为，，，则，，此时复数的三角形式可以为，当时，复数的三角形式为，当时，复数的模为，，，则，，此时复数的三角形式可以为，故答案为：当时，复数的三角形式可以为（答案不唯一）；当时，复数的三角形式可以为（答案不唯一）；当时，复数的三角形式可以为（答案不唯一）.【变式2-2】（2024·高一·上海闵行·期末）将复数化为三角形式：．【答案】【解析】复数中，，设为复数的辐角主值，又所以.故答案为：.【方法技巧与总结】解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤）（1）先求复数的模；（2）决定辐角所在的象限；（3）根据象限求出辐角（常取它的主值）；（4）写出复数的三角形式．题型三：把复数表示成代数形式【典例3-1】（2024·高一·全国·课前预习）将复数z＝化为代数形式为．【答案】1－i【解析】z＝．故答案为：1－i【典例3-2】（2024·高一·全国·课时练习）复数10表示成代数形式为．【答案】－5－5i/－5i－5【解析】10＝10＝－5－5i．故答案为：【变式3-1】（2024·高一·全国·课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是．【答案】/-i+【解析】，故.故答案为：.【变式3-2】（2024·高一·全国·课时练习）将复数z=3化成代数形式为;|z|=.【答案】3【解析】，故答案为：【变式3-3】（2024·高一·全国·课时练习）将复数化为代数形式为【答案】【解析】由题得.故答案为：【方法技巧与总结】解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项）（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．题型四：复数的三角形式乘法运算【典例4-1】（2024·高一·全国·课时练习）如果，那么复数的三角形式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.【典例4-2】（2024·高一·湖北武汉·期末）已知i为虚数单位，则（

）A． B．1 C． D．i【答案】D【解析】故选：D【变式4-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C.【变式4-2】（2024·高三·北京·强基计划）已知复数z满足，则中不同的数有（

）A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确【答案】B【解析】根据题意，有，于是中有6个不同的数．故选：B.【变式4-3】（2024·高一·全国·课时练习）计算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为所以，所以，故选：B.【变式4-4】（2024·高一·全国·课时练习）已知为虚数单位，，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，.故选：D.【方法技巧与总结】解题总结（复数的三角形式乘法运算的注意事项）两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加．题型五：复数的三角形式除法运算【典例5-1】（2024·高一·全国·课时练习）设复数，则得一个辐角是.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意得，，所以得辐角是（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）计算：．(用代数形式表示)【答案】【解析】.故答案为：.【变式5-1】（2024·高一·全国·课时练习）.【答案】i/【解析】根据复数的三角形式的运算法则，可得：.故答案为：【变式5-2】（2024·高一·福建莆田·阶段练习），则.【答案】400【解析】，若，则，∴.故答案为：.【变式5-3】（2024·高一·上海·单元测试）若，则的辐角主值为.【答案】【解析】，辐角．得的辐角主值.故答案为：.【变式5-4】（2024·高一·全国·课时练习）已知i为虚数单位，计算：.【答案】【解析】先把转化为，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.原式.故答案为：.【方法技巧与总结】解题总结：（复数的三角形式除法运算的注意事项）两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减．题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义【典例6-1】（2024·高一·全国·课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是.(用代数形式表示).【答案】【解析】由题意得.故答案为：【典例6-2】（2024·高一·全国·随堂练习）在复平面内，将与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，写出你的思考过程．【解析】根据复数乘法的几何意义，所求的复数是，即.故与所得的向量对应的复数是.【变式6-1】（2024·高一·全国·随堂练习）图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．

【解析】以为坐标原点，以方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：令，可得点，所以对应的复数分别为，所以分别为的辐角，且；可得；所以可得【变式6-2】（2024·高一·全国·随堂练习）在复平面内，复数，，，它们对应的向量分别为、、，如何直观地理解与、与之间的位置关系呢？【解析】因为，所以，，，所以，，所以，先将沿原方向伸长倍，再逆时针旋转，可得到，将反向伸长为原来的倍，可得到.【变式6-3】（2024·高一·全国·随堂练习）将复数对应的向量旋转，求所得向量对应的复数．【解析】由题意，旋转后，变为，∴旋转后所得向量对应的复数为.【变式6-4】（2024·高一·福建泉州·期中）已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位.(1)求实数的取值范围(2)当时，求复数的三角表示(3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示）【解析】（1）因为复数已在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得，所以实数的取值范围为：（2）当时，，所以，，所以，所以（3）根据题意得，设其旋转后对应向量，所以，解得或，又因为绕点顺时针方向旋转得到，所以对应的点在第四象限，所以，所以.【变式6-5】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.(1)求点C对应的复数；(2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.【解析】（1）因为点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°，所以；（2）因为点B对应的复数z满足，且，所以向量对应的复数，或，∴或，∴或.【变式6-6】（2024·高一·全国·课时练习）如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，求向量对应的复数（用代数形式表示）.【解析】向量对应的复数为，故答案为：.【方法技巧与总结】解题总结（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项）复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．一、单选题1．（2024·高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，令，则，所以，因为，所以，所以的三角形式是.故选：D.2．（2024·高一·福建厦门·期中）已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C3．（2024·高一·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（

）A． B．为实数C． D．复数对应的点位于第三象限【答案】C【解析】对于A选项，，A错；对于B选项，为纯虚数，B错；对于C选项，因为，因此，，C对；对于D选项，，则，，所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错.故选：C.4．（2024·高一·全国·课时练习）如果，那么复数的三角形式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.5．（2024·高一·河北沧州·期中）已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，可得，因为，，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限．故选：B．6．（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题意可得，故，所以.故选：B7．（2024·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．为虚数 B．函数不是周期函数C．若，则 D．的共轭复数是【答案】D【解析】A选项，，为实数，A错误；B选项，，由于是最小正周期为的函数，所以是周期函数，B错误；C选项，由题意得，所以，又时，，故C错误；D选项，，故共轭复数是，D正确.故选：D8．（2024·高一·江苏苏州·期中）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，即，，.故选：A.二、多选题9．（2024·高一·江西南昌·期末）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（

）A．z的虚部为 B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，因为，所以z的虚部为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为一个复数的辐角有无数多个，故错误，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：BD.10．（2024·高一·福建三明·期末）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（

）A． B．C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3【答案】ACD【解析】由题设，，则，，所以A正确，B错误；由的根为，故z是该方程的一个根，C正确；由，则，故最小正整数n为3时，，正确.故选：ACD11．（2024·高二·福建莆田·开学考试）已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（

）A．B．若，则C．若，则与的夹角为D．若，则为正三角形【答案】ABD【解析】因为，，，所以，则，对于A，，故，，所以，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，设与的夹角为，若，则，即，即，所以，所以，即与的夹角为，故C错误；对于D，若，则，则，即，由C选项可知与的夹角为，同理与的夹角为，与的夹角为，又，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题12．（2024·高一·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是.【答案】【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是.故答案为：13．（2024·高一·全国·