第9章 平面向量 章末题型归纳总结-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页第9章平面向量章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：向量的线性运算经典题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用经典题型三：向量的数乘运算经典题型四：向量的数量积运算经典题型五：向量的模、向量的夹角经典题型六：向量的投影、投影向量经典题型七：平面向量的实际应用经典题型八：平面向量范围与最值问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：向量的线性运算例1．（2024·山东青岛·高一校联考期末）在中，为线段上一点，且，点是的中点，记，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下图所示：在中，为线段上一点，且，则，即，所以，，因为为的中点，所以，，因此，.故选：D.例2．（2024·高一课时练习）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【解析】分别为的边上的中线,则,,由于，，所以,故解得故选：B例3．（2024·福建福州·高一校联考期末）平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】点为线段的中点，，即①，，，即②，由①②得，，故选：A．例4．（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故选：B例5．（2024·全国·高一假期作业）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】,故选：B.经典题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用例6．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，中为重心，过点，，，则．

【答案】3【解析】设根据题意，；，，，三点共线，则存在，使得，即，即，，整理得，所以；故答案为：3例7．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足（为正实数），则的最小值为.【答案】4【解析】∵B、P、D三点共线，∴设∵，∴，∴，由和平面向量基本定理得：，∴，∵为正实数，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为4．故答案为：4．例8．（2024·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值．【解析】（1）因为，所以，因为是线段的中点，所以，又因为，设，则有，因为三点共线，所以，解得，即，所以．（2）因为，，由（1）可知，，所以，因为三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．例9．（2024·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.(1)若.①用表示.②若，求的值.(2)若，求的最小值.【解析】（1）①因为，所以，故在中，；②因为三点共线，设，所以，因为，所以，所以又由①及已知，，所以，解得.（2）因为，又三点共线，设，所以，又因为，所以，所以，，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为.例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

【解析】∵点与点关于点对称，∴是的中点，，，，，且，.综上：，.经典题型三：向量的数乘运算例11．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期末）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为四边形为矩形，为中点，所以，所以.故选：B例12．（2024·全国·高一假期作业）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，设，，则，，因为，所以，解得，所以，即.故选：C.例13．（2024·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】,,即,.故选：D.例14．（2024·全国·高一随堂练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】不妨设，如图所示，根据题意则，即点O是的重心，取的中点，连接，则三点共线，且，所以边上的高是边上的高的倍，，即，同理可得：，，所以有，又因为，那么，故的面积与的面积的比值为.故选：A.例15．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）已知是的重心，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】连接并延长交于，如图，因为是的重心，则是的中点，所以，又，所以，，所以.故选：B.例16．（2024·河北石家庄·高一校考期末）已知平行四边形中，，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】在中，，即是的中点，则，又，即，因此，而，不共线，所以，.故选：D经典题型四：向量的数量积运算例17．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】∵，向量与的夹角为120°，∴.故选：D例18．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）在中，满足，，，则（

）A． B．0 C．25 D．65【答案】C【解析】如图所示，因为在中，满足，，，所以，即，所以.故选：C例19．（2024·全国·高一假期作业）在三角形中，，，，则（

）A．10 B．12 C． D．【答案】A【解析】记，则，，，．故选：A.例20．（2024·全国·高一随堂练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．12【答案】A【解析】依题意，，所以.故选：A例21．（2024·山西·高一校联考阶段练习）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，因为C，P，D三点共线，所以，即，所以，又，所以.故选：C例22．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）设平面向量，，且，则=（

）A．1 B．14 C． D．【答案】B【解析】因为，所以又，则所以，则，故选：例23．（2024·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知为的外接圆圆心，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由可知为中点，则为直径，所以；在等腰中，由，得，所以，所以是为直角的等腰三角形，所以故选：A.经典题型五：向量的模、向量的夹角例24．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考期末）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，由余弦定理得，，得到，又，所以为直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则有，又分别为中点，所以，故，所以，故选：D.例25．（2024·全国·高一假期作业）如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（

）

A． B．3 C．9 D．13【答案】C【解析】由题意易知，则，过作于，所以，，所以，不妨设，则，故.故选：C例26．（2024·福建莆田·高一统考期末）在中，为上一点，且满足．若，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由题意可得：，因为三点共线，则，且，又因为，则，可得，解得，可得，所以，即.故选：C.例27．（2024·全国·高一专题练习）已知平面向量与的夹角为，若，，则（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【解析】由平方可得，因为，平面向量与的夹角为，所以即，解得或（舍去），故选：D例28．（2024·广东揭阳·高一校联考期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】与的夹角为钝角，，又与的夹角为，所以，即，解得，又与不共线，所以，所以取值范围为.故选：D例29．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，而，所以，所以.故选：B例30．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，所以，同理由和可得所以，故，故选：D例31．（2024·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设向量的夹角为，因为，可得，又因为，，可得，解得，因为，可得.故选：B.例32．（2024·全国·高一假期作业）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】由题意，得，所以，．而，所以．整理，得，解得或（舍去）．故选：C．经典题型六：向量的投影、投影向量例33．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，则向量在上的投影向量的坐标为．【答案】【解析】因为，，所以向量在上的投影向量为.故答案为：.例34．（2024·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为.【答案】【解析】向量，则，所以向量在方向上的投影向量为故答案为：例35．（2024·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为．【答案】【解析】在方向上的投影向量为，为与同向的单位向量，在方向上的投影向量的模长为；，，，，即所求模长为.故答案为：.例36．（2024·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则．【答案】【解析】在上投影向量为，即，故.故答案为:.例37．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期末）已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是.【答案】【解析】因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量是.故答案为：.例38．（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）已知，，且，则向量在向量上的投影数量为.【答案】【解析】因为，所以，又因为，，所以，所以向量在向量上的投影数量为，故答案为：.经典题型七：平面向量的实际应用例39．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为.【答案】3【解析】设船在静水中的速度为，船的实际速度为，水流速度为，如图所示，∵，∴，即水流的速度大小为.故答案为：3.例40．（2024·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为.（注：重力加速度取，精确到0.01N）

【答案】N【解析】如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力为，又因为降落伞匀速下落，所以，必有，所以，，所以故答案为：N例41．（2024·全国·高一随堂练习）一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功J．【答案】300【解析】J.故答案为：300例42．（2024·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则.

【答案】/【解析】由题意知，则，因为，，即，所以.故答案为：例43．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为.（）

【答案】，【解析】由题可知，以木块运动的方向为正方向，则力在水平方向的分量为：，在竖直方向的分量为：，则摩擦力为：，则力做功为,摩擦力做功.故答案为：，经典题型八：平面向量范围与最值问题例44．（2024·云南昆明·高一校考期末）已知AD是的中线，若，，则的最小值是．【答案】【解析】，，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：例45．（2024·江西萍乡·高一统考期末）如图，在中，，，，动点在线段上移动，则的最小值为．

【答案】【解析】在中，，，，所以，又，所以，以所在直线为轴，以为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，设，，所以，所以，所以当时，有最小值.故答案为：.例46．（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为.

【答案】【解析】令，则，，所以，所以时，的最大值为.故答案为：例47．（2024·福建漳州·高一校联考期末）已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点，若，，则的最大值为.【答案】5【解析】设的中点为，连接，则=．∵点点M是矩形内（包括边界）一动点，且,∴，则，当点与点或点重合时，取得最大值5.故答案为：5．例48．（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则的范围是.【答案】,【解析】根据条件，建立直角坐标系如图所示，则，.设，.,,，，的范围是，.故答案为：,.例49．（2024·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期末）已知，在直角三角形中，，，则实数的值是.【答案】或【解析】由已知可得，.若为直角，则有，解得，舍去；若为直角，则有，解得；若为直角，则有，解得（舍去负值），所以.综上所述，或.故答案为：或.模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例50．（2024·河北廊坊·高一统考期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是.【答案】，且.【解析】由得，又当时，，同向，故的取值范围是，且.故答案为：，且.例51．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知平面向量满足，若对任意共面的单位向量，记的最大值为，则的最小值等于．【答案】【解析】记，不难发现：如图1，当为锐角时，；如图2，当为钝角时，；如图3，当为直角时，，由上述三种情形可知，，由平行四边形法则可知，当时，．例52．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）平面上三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小为N．【答案】【解析】由题意得：，所以，故答案为：.例53．（2024·广东广州·高二校联考期末）设点是圆：上的动点，定点，，则的取值范围为．【答案】【解析】由题意原点为线段的中点，因为，所以点在圆外，圆的圆心，半径，，的人，即，所以，所以的取值范围为.故答案为：.②转化与化归思想例54．（2024·河北·统考模拟预测）已知平面向量的夹角为，且.若向量在向量上的投影向量为，则的值为.【答案】/0.25【解析】因为平面向量的夹角为，，所以，又，所以，即，即，所以或（舍去），所以，所以向量在向量上的投影向量为：，又向量在向量上的投影向量为，所以，故答案为：.例55．（2024·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）．①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点满足，，则点是的重心，故①正确；对于②，因为动点满足，，又在的平分线上，与的平分线所在向量共线，所以的内心在满足条件的点集合中，②正确；对于③，动点满足，，，过点作，垂足为，则，，向量与边的中线共线，因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；对于④，动点满足，，，，所以的垂心