重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页重难点专题02平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧与总结】（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．为的内心．（2）外心：为的外心．（3）垂心：为的垂心．（4）重心：为的重心．【典型例题】题型一：重心定理【例1】（2024·全国·高一随堂练习）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意，则是重心，即充分性成立；若是重心时，，可得所以，必要性成立，故选：C.【变式1-1】（2024·全国·高一假期作业）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且，由题设，又共线，所以，即，注意，由，当且仅当，即时等号成立，故目标式最小值为1.故选：A【变式1-2】（2024·广西玉林·高一博白县中学校考开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（

）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3【答案】B【解析】因为为的中线，所以，设，则，故，所以，因为，所以，因为三点共线，可设，则，故，故，相加得，解得，故.故选：B【变式1-3】（2024·山西晋中·高一校考阶段练习）已知点O是边长为2的正三角形ABC的重心，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】记的中点为D，因为，由正三角形性质可知，，因为，O为的外接圆圆心，所以，所以.故选：B题型二：内心定理【例2】（2024·福建三明·高一统考期末）设为的内心，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连，因为，，所以，，所以的内心在线段上，为内切圆的半径，因为，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故选：B.【变式2-1】（2024·高一课时练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】在，上分别取点，，使得，，则．以，为邻边作平行四边形，如图，则四边形是菱形，且．为的平分线．

，

即，．，，三点共线，即在的平分线上．同理可得在其它两角的平分线上，是的内心．故选：B．【变式2-2】（2024·全国·高一专题练习）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【解析】因为，根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心.故选：．题型三：外心定理【例3】（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】由题意可知，为的外心，设外接圆半径为，在圆中，过作，，垂足分别为，，则，分别为，的中点，因为，两边乘以，即，的夹角为，而，则，得①，同理两边乘，即，，则，得②，①②联立解得，，所以．故选：C．【变式3-1】（2024·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期末）已知O为的外心，，则（

）A．8 B．10 C．12 D．1【答案】A【解析】如图，O为的外心，过作于因为，所以则.故选：A.【变式3-2】（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）在中，O是三角形的外心，过点B作于点G，，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】如图，,因为,所以，又因为是三角形的外心，所以,所以.故选：B题型四：垂心定理【例4】（2024·四川成都·高一石室中学校考期末）在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则.【答案】【解析】因为H是的垂心，可得，所以.又因为D是BC的中点，可得AD是中线，所以.从而.故答案为：【变式4-1】（2024·全国·高一专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点形成的图形一定通过的．（填外心或内心或重心或垂心）【答案】垂心【解析】，与垂直，，点在的高线上，即的轨迹过的垂心.故答案为：垂心．【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）在中，若，则点H是的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心【答案】A【解析】因为，则，所以，即点H在边的高线所在直线上，同理可得：，所以点H为的三条高线的交点，即点H是的垂心.故选：A.【过关测试】1．（2024·全国·高一期末）平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：，则下列结论正确的是（

）A．在上，且 B．在上，且C．在上，且 D．点为的重心【答案】A【解析】依题意，，，，所以三点共线，所以A选项正确.故选：A2．（2024·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（

）A．若，则O是的外心B．若，则I是的内心C．若，则P是的垂心D．若，则N是的重心【答案】B【解析】对于选项A：若，即到的距离相等，根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确；对于选项B：若，则，即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误；对于选项C：若，则，即，同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确；对于选项D：若，则（D为AB的中点），即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；故选：B.3．（2024·江西吉安·高一统考期末）瑞士数学家欧拉在1765年发表了一个令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线称为欧拉线．其中重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知M，N，P分别为的外心、重心、垂心，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】点是的外心，则，A错误；如图，由欧拉线定理得，B正确；点为的重心，延长交于，则是的中点，于是，则，C正确；点是的垂心，由，得，即，由，同理得，因此，D正确.故选：A4．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足，，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（

）A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心【答案】B【解析】，变形得到，其中分别代表方向上的单位向量，故所在直线一定为的平分线，故直线AP一定经过的内心，，即点到三个顶点相等，故点是的外心，因为，所以，如图，取的中点，连接，则，所以，故三点共线，且，所以是的重心，由可得，故，同理可得，故为三条高的交点，为的垂心.故选：B5．（2024·高一课时练习）若是内一点，，则是的（

）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】D【解析】取线段的中点，连接，则，而，因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点，所以是的重心.故选：D6．（2024·四川成都·高一树德中学校考期末）已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（

）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心【答案】A【解析】由，得，所以，设的中点为，连接，则，所以，所以点在边上的中线上，同理可得也在的中线上，所以点是的重心，由，得，所以到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，由，得，所以，所以，所以，同理得，所以为的垂心，故选：A7．（2024·河南濮阳·高一统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（

）A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心【答案】A【解析】由，得，即，则，得所以，则，同理可得，，即是三边上高的交点，则为的垂心；由，得，设的中点为，则，即，，三点共线，所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，即是三边中线的交点，故为的重心；由，得，即，又是的中点，所以在的垂直平分线上，同理可得，在，的垂直平分线上，即是三边垂直平分线的交点，故是的外心，故选：A8．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】C【解析】设边的中点为，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又点为边的中点，所以点在边的垂直平分线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，故选：C.9．（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知点O是的内心，，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线，所以根据角平分线定理可得，所以,因为三点共线，所以设，则，因为，所以，故选：D10．（2024·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（

）A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点【答案】C【解析】由动点满足，且，所以三点共线，又因为为的中点，所以为的边的中线，所以点的轨迹一定过的重心.故选：C.11．（2024·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】因为，所以，所以，设的中点为，则，则，所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.故选：A12．（2024·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.13．（2024·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）已知是所在平面内一点，且点满足则点一定的（

）A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心【答案】C【解析】因为，所以，即，即可得，即是的角平分线；同理可得是的角平分线，是的角平分线,所以点为三条角平分线的交点，即点是的内心.故选：C14．（2024·上海虹口·高一上外附中校考期末）若所在平面内一点P满足，则P是的（

）．A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】设中点为D，由可得，即点共线，且，则P为的重心.故选：C15．（多选题）（2024·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则O为的重心；B．若，则O为的垂心；C．若，则为等边三角形；D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．【答案】ACD【解析】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，又∵，∴，∴，∴为的重心，故选项A正确；对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，则，，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，分别是，边上的垂直平分线，∴，为的外心，故选项B错误；对于C，作角的内角平分线与边交于点，∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，∴（），∴（），∴，∴，∴，为等腰三角形，又∵，且，∴，∴为等边三角形，故选项C正确；对于D，设，，由得，则由选项A可知，为的重心，设的面积，∴，又∵，，∴，，，∴，∴，故选项D正确.故选：ACD.16．（多选题）（2024·河南郑州·高一校联考期末）点为△所在平面内一点，则（

）A．若，则点为△的重心B．若，则点为△的垂心C．若．则点为△的垂心D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心【答案】AD【解析】A．由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为△的重心；选项A正确.B．向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为△的内心；选项B错误.C．是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为△的外心．选项C错误.对于D，设是的中点，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过△的外心.选项D正确.故选：AD.17．（多选题）（2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）点O在所在的平面内，则下列结论正确的是（）A．若，则点O为的垂心B．若，则点O为的外心C．若，则1D．若且，则点O是的内心【答案】ACD【解析】对A：如图所示，，则，，，，为的垂心，A正确；对B：如图，取的中点，连接，由，则，，，三点共线，又是的中线，且，为的重心，B错误；对C：如图：，分别是，的中点，由，，，，，，则，，，则，C正确；对D：如图，，，，，即为的平分线，同理由得，即为的平分线，为的内心，D正确．故选：ACD18．（2024·广东深圳·高一校考期末）等边的边长为，点为的重心，则.【答案】2【解析】由于等边的重心为中线（也是角平分线）的三等分点，则，且向量与的夹角为，所以，故答案为：19．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）【答案】重心【解析】与向量共线，故，即，则变形为，即，所以，取的中点，则，所以动点M的轨迹必经过的重心.故答案为：重心20．（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，，若，则．【答案】7【解析】如图，，，，且，，，，，，整理得，，．故答案为：721．（2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）【答案】外心【解析】如图所示：为中点，连接，，，故，即，故的轨迹一定经过的外心.故答案为：外心22．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则