上海市八校2024年高考冲刺模拟数学试题含解析

上海市八校2024年高考冲刺模拟数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2.如图，在正四棱柱ABCD—A4G。中，AB=y[2AAl,E,b分别为AB的中点，异面直线人用与C/所

成角的余弦值为相，贝（1（）

A.直线4E与直线异面，且m=也B.直线4E与直线共面，且加=也

33

C.直线AE与直线异面，且m=3D.直线4E与直线GF共面，且机=走

33

3.设“2.71828…为自然对数的底数，函数/（九）=e'—二―1,若/⑷=1,贝ij/（—“）=（）

A.-1B.1C.3D.-3

4.若复数z满足(1+讴=1+2"则|z|=()

V22「Vio

A.

222

5.已知定义在H上函数/(x)的图象关于原点对称，且/(l+x)+/(2—力=。，若=则

”1)+/⑵+〃3)++/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

51

6.函数/(%)=sin2x+—0<x<的值域为()

372

A.B.C.[0,1]D.

4』4°

7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，为该抛物线上一点，以“为圆心的圆与。的准线

相切于点A,ZAMF=120°,则抛物线方程为()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

22

8.若双曲线E：L—上=1(m〃>0)绕其对称中心旋转g后可得某一函数的图象，则£的离心率等于()

mn3

A.B.6C.2或3^D.2或6

33

9.设a,b,c为正数，贝！J"a+b>c"是>。2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不修要条件

l-r2

10.函数/(*)=一匚的图象大致为()

11.函数/(x)=，*logjx|(0<a<l)的图象的大致形状是()

12.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，

共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019

年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()

=的口目一运口由“■"出口增1£一龙口埸9

A.这五年，出口总额之和比进口总额之和大

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在长方体ABCD—中，AD=DDI=T,AB=5E,F,G分别为的中点，点P在

平面A3C。内，若直线，尸//平面E尸G,则线段2P长度的最小值是.

14.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为.

15.在区间［-6,2］内任意取一个数5,则与恰好为非负数的概率是.

16.设/（九）为定义在R上的偶函数，当％<0时，"力=2、+加（加为常数），若"I）',则实数的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在长方体A3。一4月GA中，43=230=244=4,E为4。的中点，N为8C的中点，

〃为线段G2上一点，且满足尸为加。的中点.

（1）求证：EF〃平面4。。；

（2）求二面角N—AC—E的余弦值.

18.（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸（0，。），（。>0）关于直线l:x-y-2=0的对称点为M,S.\FM\=372.

若点P为C的准线上的任意一点，过点尸作C的两条切线K4,PB,其中48为切点.

（1）求抛物线。的方程；

（2）求证：直线恒过定点，并求钻面积的最小值.

19.（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习

惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A,B,C,。四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后

由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为XAXBXCXD,家长猜测的序号依次为其中

XAXBXCXD和明叫:了。。都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=（XA-JA）2+（切-股）2+（xc-jc）2+

（切-"）2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.

（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.

(i)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；

(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足XV4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说

明理由.

20.(12分)已知函数/(x)=e*+sinx-ox2-2x.

(1)当。=0时，判断/(x)在［0,+8)上的单调性并加以证明；

(2)若龙之0,/(%)>1,求。的取值范围.

21.(12分)在一ABC中，角A,瓦。所对的边分别为q,b,c,sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC,ABC的面积

S=abc・

(I)求角c；

(2)求ABC周长的取值范围.

冗

22.(10分)已知函数/(x)=sin2元+sinxcos(九---).

6

(1)求函数大力的最小正周期；

(2)求在0,-上的最大值和最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；

【详解】

sin(-x)+(-x)2cos(-x)sinxX1cosx

解：依题意，f(—X)=-----+=/(%),故函数/(X)为偶函数，图象关于y轴

—X20X20

对称，排除G

jrTT

而/(〃)=—太<0,排除B；y(2^-)=y>0,排除D.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.

2、B

【解析】

连接防，AG，G。，DF,由正四棱柱的特征可知防尸4G，再由平面的基本性质可知，直线4E与直线GP共

面.，同理易得A与CQ,由异面直线所成的角的定义可知，异面直线A4与GE所成角为/DGE，然后再利用

余弦定理求解.

【详解】

如图所示:

AEB

连接EE,AG，C[D,DF,由正方体的特征得跖P4G，

所以直线AE与直线G歹共面.

由正四棱柱的特征得AgC}D,

所以异面直线A片与qp所成角为/DGF.

设A4,=拒，贝！IAB=应⑨=2,则DF=6，C1F=6Cp=&,

由余弦定理，得〃？=cosN£>C/="二一5

故选：B

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.

3、D

【解析】

利用/(a)与/(—。)的关系，求得了(—。)的值.

【详解】

依题意/(a)=—1=1,e"—〃=2,

所以/(-a)=-e"-]=-(e"-e-")-1=—2—1=—3

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

4、C

【解析】

1313

化简得到彳=-彳+7，，z=----z,再计算复数模得到答案.

2222

【详解】

故彳=产(l+2z)(l+z)—1+3，13.

(l+i)z=l+2i,----=--1—I

l+i(i+O(i-O222

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简，共朝复数，复数模，意在考查学生的计算能力.

5、B

【解析】

由题知“X)为奇函数，且/(l+x)+/(2-x)=O可得函数/(%)的周期为3,分别求出

/(O)=O,/(1)=L/(2)=-1,知函数在一个周期内的和是0,利用函数周期性对所求式子进行化简可得.

【详解】

因为〃龙)为奇函数，故"0)=0；

因为/(l+x)+/(2—X)=0,故/(l+x)=—y(2—%)=/(%—2),

可知函数/(%)的周期为3；

在/(l+x)+/(2—%)=。中,令％=1,故〃2)=—〃1)=-L,

故函数f(x)在一个周期内的函数值和为0,

故/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=/(I)=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用

奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

6、A

【解析】

由xe计算出2x+工的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数y=/(x)的值域.

【详解】

八5万]石1.(〜1

L12j3L36J2I3)

因此,函数/(x)=sin[2x+m1[o<xw/|的值域为-j-,1.

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.

7、C

【解析】

根据抛物线方程求得"点的坐标，根据MA//X轴、/4MF=120。列方程，解方程求得夕的值.

【详解】

不妨设M在第一象限，由于〃在抛物线上，所以由于以〃为圆心的圆与C的准线相切于点A,根据

抛物线的定义可知，|肱4|=|凹、MA//x轴，且产已0；由于N/M=120。，所以直线板的倾斜角e为120,

所以％=tanl20=田)=一百，解得。=3,或p=g(由于g"<0,p>l,故舍去).所以抛物线的方程

为/=6%.

故选：c

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

8、C

【解析】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以2=石或走，由离心率公式

a3

I胃丫

e=1+-即可算出结果.

【详解】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60,又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y

轴上，所以：=6或g,.、=/+及；=2或用

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.

9、B

【解析】

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：a,b,c为正数，

，当a=2,b=2,c=3时，满足a+b>c,但/+万2>不成立，即充分性不成立,

221

若〃2+/>/,则(。+6)2>c,即(Q+Z?)2>C+2ab>c,

即"bf>后，即a+A>c,成立，即必要性成立，

则“a+"c”是+/>°2”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键.

10、D

【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值/(2)可区分剩余两个选项.

【详解】

1-r2

因为/(-x)=L4#(x)知/(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B,C.

—X

1-43

又｛2)=一1=7<。•排除A,故选D.

ee~

【点睛】

本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.

11、C

【解析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.

【详解】

x<-l,

logfl(-x),

[0g小1=10go—1<x<0,

log/,x>0.

故选C.

【点睛】

识图常用的方法

⑴定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题;

⑵定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

12、D

【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确;

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—

2

【解析】

如图，连接2AAe证明平面AC，//平面E尸G.因为直线。尸//平面E尸G,所以点尸在直线AC上.当

2P，AC时.线段4P的长度最小，再求此时的2P得解.

【详解】

如图，连接2AAe

因为E,F,G分别为A3,BC,GA的中点,

所以AC//E尸，跖a平面AC2，

则EE//平面AC，.因为EGHAD,,

所以同理得EG//平面AC。1，又EFEG=E.

所以平面ACDJ/平面EFG.

因为直线。P//平面EFG,所以点尸在直线AC上.

在中，妆="心2,—(x0x

币

故当。pJ.AC时.线段2P的长度最小，最小值为I2—=".

—x2之

2

故答案为：昱

2

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4

14、-

7

【解析】

基本事件总数n=C^=126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m=+C；C；C；+=72,由此

能求出其中三种颜色的球都有的概率.

【详解】

解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，

基本事件总数"=C；=126,

其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白

球和2个黄球，

所以包含的基本事件个数m=C\C\Cl+C\ClC\+ClC\C\=72,

vn724

...其中三种颜色的球都有的概率是P=—=k=—.

n1267

4

故答案为：y.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

1

15、-

4

【解析】

先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“X。恰好为非负数”的概率.

【详解】

当无。是非负数时，/e[0,2],区间长度是2—0=2,

又因为[-6,2]对应的区间长度是2-(-6)=8,

所以“X。恰好为非负数”的概率是P41

o4

故答案为：一.

4

【点睛】

本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.

16、1

【解析】

根据/(九)为定义在R上的偶函数，得"1)=〃T),再根据当x<0时，/(x)=2v+m(加为常数)求解.

【详解】

因为/(%)为定义在R上的偶函数，

所以〃1)=〃T),

又因为当尤<0时，f(x)=2x+m,

所以F(l)=/(T)=2T+m=£,

所以实数力的值为L

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析(2)—

35

【解析】

(1)解法一：作的中点〃，连接EH,EH.利用三角形的中位线证得利用梯形中位线证得

由此证得平面ADC〃平面EHF,进而证得Ef7/平面4DC.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线政的方

向向量和平面ADC的法向量垂直，证得所〃平面ADC.

(2)利用平面4CN和平面4歹。法向量，计算出二面角N-4C-E的余弦值.

【详解】

(1)法一：作OQ的中点〃，连接见，切.又£为4。的中点，,即为例。2的中位线，二£〃〃4。，又

斤为的中点，...为梯形D.DCM的中位线，,FH//CD，在平面4。。中，4。CD=D,在平面EHF

中，EH=.•.平面[DC〃平面E7/F,又EFu平面EHF,；•EF〃平面&DC.

另解：(法二)•・•在长方体A3CD-A4C。中，DA,DC,两两互相垂直，建立空间直角坐标系。-孙z如

图所示,

则。(0,0,0),A(2,0,0),5(2,4,0),

C(0,4,0),。(0,0,2),AQ,0,2),

4(2,4,2),£(0,4,2),£(1,0,2),

N(l,4,0),M(0,3,2),rfo,1,lj

(1)设平面4。。的一个法向量为加=(x,y,z),

fm-AD=0[(x,y,z)•(-2,0,-2)=0[x+z=0

则〈='='，

m•\C=0[(x,y,2)•(-2,4,-2)=0[x-2y+z=Q

令x=l,贝(lz=-1,y=。.・••加=(1,0,-1),又E/=1—I,],—1,

•；EFm=0,EFl.m，又跖(Z平面£尸〃平面

(2)设平面A0N的一个法向量为〃=(玉,％,马),

]〃・AN=0f(x,y,z)-(-l,4,-2)=0x-4y+2z=0

111=＞《

人n-A^C=0(玉，％*])•(—2,4,—2)=0x-2y+z=0

令y=l,则z=2,x=O.Azz=(0,l,2).

同理可算得平面\FC的一个法向量为吗=(3,2,1)

2^/70

35

又由图可知二面角N-A.C-F的平面角为一个钝角，

故二面角D-A.C-N的余弦值为一独。.

35

【点睛】

本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解

能力，数形结合思想，化归与转化思想.

18、(1)x2=4y(2)见解析，最小值为4

【解析】

(1)根据焦点尸到直线/的距离列方程，求得。的值，由此求得抛物线的方程.

(2)设出A,B,P的坐标,利用导数求得切线PA,PB的方程，由此判断出直线AB恒过抛物线焦点F.求得三角形PAB

面积的表达式，进而求得面积的最小值.

【详解】

(1)依题意一二21=芈,解得。=1(负根舍去)

A/22

...抛物线C的方程为好=4>

(2)设点A(项,弘),8(范,、2),尸由尤2=4y,

即得=

二抛物线C在点A处的切线的方程为y-%=](》-xj,

即■无+%一：尤;

1

•••%=1x；,y=mXX-%点尸亿—1)在切线PA±.，

-1=jr-%①，同理，-l=£t-%②

综合①、②得，点4(4%),5(9，%)的坐标都满足方程-1=卞-%

即直线AB：y=gx+l恒过抛物线焦点/(0,1)

当t=0时，此时P(0,—l),可知：PF±AB

2

当twO,此时直线。户直线的斜率为原尸=-：，得

于是S△即^-\PF\-\AB\,而IPF1=«—0)2+(—1—I)2〃+4

把直线y=”l代入炉=分中消去x得/一(2+/卜+1=0

222

AB=|y1+y2+2|=4+/,即：5=|(4+r)^477=|(4+r)^

当t=0时，S"B最小，且最小值为4

【点睛】

本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，

考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.

19、(l)(i)[(ii)分布表见解析；(2)理由见解析

O

【解析】

(1)(0若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有用=24种等可

能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游

戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=7,三轮游戏结果

都满足“XV4”的概率为▲</一,这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

2161000

【详解】

(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，

则家长对小孩的排序是随意猜测的，

先考虑小孩的排序为XB,XC,XD为1234的情况，家长的排序有『=24种等可能结果，

其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

二家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率=-.

248

基小孩对四种食物的排序是其他情况，

只需将角标A,B,C,O按照小孩的顺序调整即可，

假设小孩的排序XA,XB,XC,m为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACZ>3,

再研究yAyBycyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，

.••他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为9.

O

(»)根据⑴的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况,

列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1111111]_111

P

248246121212624824

(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.

理由如下：

假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(D可知，在一轮游戏中，

P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为(3)3=」<熹，

这个结果发生的可能性很小，

.•.这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20、(1)/'(X)在［0,+8)为增函数；证明见解析(2)

【解析】

⑴令g(x)=/'(x)="+cosx-2,求出g'(x),可推得g(x)20,故/Xx)在［0,+8)为增函数；

(2)令g(x)=7'(x),贝!Jg'(x)=e'-sinx-2a,由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数。的取值范围.

【详解】

(1)当〃=0时，/"(x)=ex+cosx-2.

记g(x)=/'(%),贝！Ig'(%)=e"—sin%,

x

当x20时，e>19-l<sinx<l.

所以g'(x)=e、—sinxNO,所以g«)在［0,+s)单调递增，所以g(x)2g(0)=0.

因为g(x)=/'(x)，所以/'(x)2。，所以f(x)在［0,+8)为增函数.

(2)由题意，W/'(x)=ex+cosx-2ax-2,记g(x)=/'(%),贝!)g'(%)=e"-sin%-2〃，

令/z(x)=g'(%),贝(Ihr(x)=ex-cosx,

当x20时，ex>1,所以〃(%)=e"-cos%20,

所以Mx)在［0,y)为增函数，即g［x)="-sinX-2a在［0,+<»)单调递增，

所以g'(x)>g'(0)=e°-sin0-2a=1-2a.

①当1—2a»0,a<1,g'(x)»0恒成立，所以g(x)为增函数，即/'(x)在［0,+s)单调递增,

又/'(0)=。，所以/'(x)20,所以/Xx)在［0,+8)为增函数，所以/(x)N/(0)=l

所以。三工满足题意.

2

②当a〉g,g'(0)=1—2a<0,令M(X)=e"-x-l,x>Q,

因为％>0,所以/(x)=e<l>0,故为了)在(0,+8)单调递增,

故a(x)>〃(0)=0,即e*>x+l.

故g'(2a)=e2fl-sin2«-2a>2a+1-sin2a-2a>0,

又g'(x)=e*-sinx-2a在(0,+°o)单调递增，

由零点存在性定理知，存在唯一实数加6(0,+8),g'(m)=0,

当xe(0,m)时，g'(x)<0,g(九)单调递减，即/'(X)单调递减，

所以广(九)<广