2023年浙江省嘉兴市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年浙江省嘉兴市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.用1,2,3,4这四个数字可以组成没有重复数字的三位数的个数是

0

A.4B,24C.64D.81

函数＞=（cos--sin2x）•tan2x的最小正周期是（）

（A）y（B）ir

2（C）2TT（D）4IT

3.

第10题已知圆锥高为4,底面半径为3,则它的侧面展开图的圆心角的

大小为（）

A.270°B,216℃,108°D,90°

4已知sin4=春,《»伊其中a•西陶抵卜则c。4Q-伊的值为

A.-63/65B.63/65C.-33/65D.33/65

5.当圆锥的侧面积和底面积的比值是&时，圆锥轴截面的顶角是（）

A.45°B,60°C,90°D,120°

6.若函数y=f⑴的定义域是[―1,1),那么f(2x-l)的定义域是()

A.[0,l)B,[-3,l)C,[-l,l)D,[-l,0)

7.已知平面向■油=a—从前=b-c.则讨=()

A.A.a-cB.c-aC.a+cD,a-2b+c

8.若点(4,a)到直线4x—3y—1=0的距离不大于3,则a的取值范围是

()

A.A.(0,10)B.[0,10]C.(10,30)D.(-10,10)

9't|；sina=：<a<TT),那么tana-(,

A.A.3/4

二

B.

4

C.

D.O

下列函数中，为减函数的是

]0(A)j=xJ(B)y=sinx(C)y=-x^(D)y=cosx

11.函数v=(x-IL-4(xNI)的反函数为

A.ynI+&+4(#>-4)

B.-1-.*4(T»-4'i

D.

12.下列关系式中，对任意实数A<B<0都成立的是（)

A.A.a2<b2

B.lg(b-a)>0

C.2a<2b

D.lg(-a)<lg(-b)

已知底面边长为6的正三校锥的体积为90,则此正三棱锥的高为

A.6百B.3而

13.C.2病D.几

A.A.AB.BC.CD.D

AQB

14.设全集I={0,l,2,3,4}A={CU,2,3}B={0,3,4}则是

A.{2,4)B.{1,2}C.{O,1}D,{0,l,2,3)

15.设集合M={x|xN-3},N={x|x<l},则MnN=()

A.RB.(-oo,-3]u[l,+oo)C.[—3,1]D.(p

16.在△曲中.着的形状一定是A.等腰直角三角形B.直

角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

n

17.函数f(x)=tan(2x+：)的最小正周期是()。

n

A.-

B.2TI

C.7K

D.4TI

18.已知a,bGR+,且ab=a+b+3,则ab的取值范围是()

A.A.ab<9B.ab>9C,3<ab<9D.ab6>3

过点(2」)且与直线y=o垂直的直线方程为

]9(2r‘2(B)x=1(C)y^2(D)y-1

20.已知x轴上的-点B与点A(5,12)的距离等于13,则点B的坐标为

A.(10,0)B.(0,0)C.(10,0)或(0,0)D.(-10,0)

函数y=sinxsin(亨-z)的最小正周期是()

(A)f(B)1r

21(C)21T(D)4ir

过点P(1,2)与圆/+/=5相切的直线方程为()

(A)x+2y+5=0(B)2x+y-5=0

22(C)2z_y=0(D)z+2y-5=0

函数y=2-(y-sin*)2的最小值是)

(A)2(B)l

(C)-4"(D)-I|

44

24.不等式x2-2x<0的解集为()。

A.{x|x<0,x>2}B.{x|-2<x<0}C,{x|0<x<2}D,{x|x<-2,或x>0}

25.在等差数列("J中《之和为,/10项之和等于A.95B,125C.175

D.70

26.将一颗骰子抛掷1次，得到的点数为偶数的概率为

2B4

2D

•74

27.()

A.A.l

B.2

C.4

D.

28.设角a的终边经过点(4,-3),则cos(a+?i/3)=()

4+343

A.A.AA-

4-36

B.BR-

3+4百

c.Lr-

314&

Dnpio

29.16.抛物线=2px(p>0)的焦点到准线的电离是

A.A.p/4B.p/2C.PD.2p

30.已知

…八成等差数列，且仇也为方程2合一31+1=0的两个根，则为+短

为方程的两个根则b2+b3的值为

A.1/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

二、填空题(20题)

31.已知5兀<a<11/2兀,且|cosa|=m,则cos(a/2)的值等于.

32.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

33.已知1<x2+y2<2,x2-xy+y2的值域为.

34.设离散型随机变量X的分布列为X-1012Pc2c3c4c则c=

35•以点(2,-3)为圆心，且与直线X+y-l=0相切的圆的方程为

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年

36R,则四张贺年卡不同的分配方式有_______种.

37.从一批相同型号的钢管中抽取5根，测其内径，得到如下样本数据

(单位：mm)：

110.8,109.4,111.2,109.5,109.1,

则该样本的方差为mm2。

38.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

39.函数yslnx+cosx的导数y-

40.设i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k,则

a-b=___________

41.1g(tan43°tan45°tan47°)=.

42.方程Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0(AR0)满足条件(D/2A)2+(E/2A)2-F/A=0,它

的图像是____________.

43.直线3x+4y-12=0与z轴、y轴分别交于A,B两点，0为坐标原

点，则AOAB的周长为

44.已矢口|a|=2,|b|=4,|a+b|=3,贝Ka,b>=

45.已知1&合2，Hz—卬+”值域为

46.”=——*

等比数列｛%｝中，若勿=8,公比为”，则q=

47.4----------------•

48.已知球的球面积为16n,则此球的体积为.

49.已知i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k则a*b=

已知随机应量6的分布列是:

3

f1245

P0.40.20.2ai0.1

50.

三、简答题（10题）

（25）（本小题满分13分）

已知抛物线炉=全，0为坐标原点,F为抛物线的焦点・

（I）求10月的值；

（n）求抛物线上点P的坐标，使aoe的面积为差

51.

52.

（本题满分13分）

求以曲线2-+/-4x-10=0和，=2工-2的交点与原点的连线为渐近线,且实

轴在x轴匕实轴长为12的双曲线的方程.

53.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少1。件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

54.

（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为号,且该精画与双曲线》八1焦点相同,求椭圆的标准

和准线方程.

55.

（本小题满分13分）

2sin^cos0+工

设函数/⑻=•—一…/w[°，如

sin。+cos02

（1）求/（"）;

（2）求/®的最小值.

56.

（本小题满分13分）

如图,巳知楠B8G：马十八1与双曲线G：4-/=*（«>>）.

aa

（I）设..e?分别是G.c,的离心率,证明e.e,<1；

（2）设44是a长轴的两个端点，尸（与，九）（1与1>a）在G上，直线与G的

另一个交点为Q,直线尸名与*的另一个交点为H,证明QK平行于y轴.

57.

（本小题满分12分）

△A8C中，已知aJ+c*-b2=ar,且lo&sinX+lo&sinC=-1，面积为acm'，求它二

边的长和三个角的度数・

58.

(本小题满分13分)

已知圆的方程为/+/+"+2,+/=0,一定点为4(1,2).要使其过差点做1.2)

作园的切线有两条.求a的取值范围.

59.

(24)(本小题满分12分)

在△ABC中,4=45。,8=60。,=2,求的面积.(精确到0.01)

60.

(本小题满分13分)

巳知函数"X)=工-2日

(I)求函数y=/(工)的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是谴函数；

(2)求函数y=/(x)在区间［0,4］上的最大值和最小值.

四、解答题(10题)

61.

△ABC的三边分别为a,6c,已知a+b10,且cosC是方程2y3i-2=0的根.

(I)求/(：的正弦值；

(II)求△八坟,的周长收小时的三边a的边长.

62.ABC是直线1上的三点，p是这条直线外一点，已知AB=BC=a,N

APB=90°,ZBPC=45°

求：I.NPAB的正弦

II.线段PB的长

III.p点到直线1的距离

63.甲2010年初向银行贷款10万元，年利率5%（按复利计算（即本

年利息计入次年的本金生息）），若这笔贷款分10次等额归还，从

2011年初归还x万元，设2011年、2012年…2020年的欠款分别为

40、生'…"'试求出他、生,推测"并由此算出*的近似

值（精确到元）

64.设椭圆的焦点为£（一.，。）出函其轴长为4

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线与椭圆有两个不同的交点，其中一个交点的坐标

是（0,1）,求另一个交点的坐标。

65.已知正圆锥的底面半径是1cm母线为3cm,P为底面圆周上一点,

由P绕过圆锥回到P点的最短路径如图所示，由顶点V到这条路线的

最小距离是多少？

66.已知数列｛aj的前n项和Sn=n(2n+1)

⑴求该数列的通项公式；

(II)判断39是该数列的第几项

67.海关缉私船在A处发现一只走私船在它的北偏东54。的方向，相距

15海里的B处向正北方向行驶,若缉私船的时速是走私船时速的2倍，

(I)问缉私船应取什么方向前进才能追上走私船；

(II)此时走私船已行驶了多少海里.

68.某县位于沙漠边缘，到1999年底全县绿化率已达到30%,从2000

年开始，每年出现这样的局面；原有沙漠面积的16%被栽上树改为绿

洲I,而同时原有绿地面积的4%又被侵蚀，变为沙漠

I.设全县的面积为1,1999年底绿洲面积为al=3/10,经过一年绿洲面

积为a2,经过n年绿洲面积为许，求证：=铲”+而

II.问至少经过多少年的绿化，才能使全县的绿洲面积超过60%（年取

整数）

已知等基数列I中,5=9,0,+a,=0.

（1）求数列I。」的通项公式；

69.口）当n为何值时，数列I的前n项和S.取得最大值，并求该最大值.

7。.已知关于x,y的方程Y十9一4"。3=0.

证明：

⑴无论。为何值，方程均表示半径为定长的圆；

⑵当0=7i/4时,判断该圆与直线：y=x的位置关系.

五、单选题（2题）

71.x=45。是tanx=l的（）

A.充分但非必要条件B.充要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又

非必要条件

72.a£(0,7i/2),sina,a,tana的大小顺序是()

A.tana<sina<aB.tana<a<sinaC.a<tana<sinaD.sina<tana<a

六、单选题(1题)

73.

(12)若a.B是网个相交平面.点4不在a内.也不在6内,剜过4且与a和6郁平行的直线

(A)只有一条(B)只有两条

(C)只有四条(D)有无效条

参考答案

1.B

由1.2,3.4可以组成没有重复数字的:.位数的个数为川=24,

2.B

3.B

4.B

cos小H.所以cosa--•xin鲁.则

4

cos(a-ncosa•cosf+sina•sinB=—X

【解析】因为。•酢(多*)•且面。=*(-UH*!"温Y+符=!!.

本题主要考查各象限内的角的三角函数值的符号、同角三角函数间的

关系、两角和与两角差的三角函数公式，考查考生的运算能力

5.C求圆锥的轴截面的顶角，先画出轴截面(如下图)，可知轴截面为等

腰三角形，圆锥的侧面是扇形，圆锥底面的周长等于展开侧面的扇形的

行K•2xrn—

2=々,R=J2V.

,:s.-2«L,由已如经"F-Wr

nA^_L=-2-«1=4^445".，k9（）\

弧长.S'2R&r⑰

6.A由已知，M-l<2x-l<1,0<2x<2,故求定义域为0<x<l.

7.B

CX=-—Sb+bcAf-。.（#■案为B）

8.B

j_14X4—3g-11_115-3aj

m43.解得《】0.（答案为B）

x/41+（-3）15

9.B

10.C

ll.A

12.C

人力n2,在R上是增函数".2*<2*.（答案力C）

13.D

14.B

AnB={o,i,2,3}nn,2}={i,2}

15.C

16.C

,蹲折,MB（4♦6）tfm（4B、又A-B,）-0....1-B

17.A

本题考查了三角函数的周期的知识点。

最小正周期'=3=5。

18.B

19.A

20.C

IAB|-13**/<*-S>T4-（0-li）'-1J-（^—S>'>U4->—$—./T04,-2BA*4*

W（lO«O）4l（O«O）.

21.B

22.D

23.C

24.C

本题考查了一元二次不等式的解集的知识点。

x2—2彳V0=>j（x—2）V0=>0VnV

2,故解集为{/|0Vi<2}.

25.A

4d=X...公」\

A斛析：由巳如化g，8）x5-1：：,则"I----X,O=W

26.D

该小题主要考查的知识点为概率.【考试指导】一颗骰子的点数分别为

1,2,3,4,5,6,其中偶数与奇数各占一半，故抛掷1次，得到的点数为偶

数的概率为1/2.

27.C

利用三角函数的诱导公式、二角差的正弦公式及二倍角的正弦公式进

行计算求值.

I_____G_sinSO,~</3sinlO,=ainBO._y5cos80._23n2:nlO）

sin10*sin80*ainlO^sinSO"sinlOcos10*sinlO&slC/

_4sin（80"—60，）—43n20,_

一右而嬴而■一高疥-4.（答案为C）

28.A

r®®|OP|=，4'+（13）'=5•sinti6=3一w,cosa=p,

/.xXIC..R4^1z4+3遮fL.、

COS（aT彳j^cosacos-sinasm"T-（一"F）一~17?一•（尊茶为AJ

29.C

30.D

由根与系数关系得仇+仇=亘

由等差数列的性质得与+仇=仇+仇=_1,

2

故应选D.

31.

:5芯VaV卷穴第三象限角）・；•粤〈泉<斗穴（gW第二象限角）,

LLL4v4f

a1+cosa

故cos》V0•又丁|cos<z|=m、；.cosa=-m,则cos

T-2-

32.

由题章刖正三枚他的*i横长为争i，

,令N=cosa,y=sina,

则12-Ny+y2=1-cosasina=l-

当sin2a=】时.1一噂取到最.小值;.

同理：/十/&2,令1=虑cos0.y=/si叩.

则x2—<ry+y2=2—2cos内i叩=2-sin2/?,

当sin2/J=-1时，>一工,+了2取到最大值3.

33.[1/2,3]

34.

志【解析】c+2c+3c+4c=10尸1』=卷

35.

(x-2)J+(y+3)I=2

9

36.

37.0.7

也*1108+1094+1112+109.5+1091«,«***.

--------------------------------------------------------------110>故徉本方装U-

(11。8-】10)'+。094-llO)'+Qn2T10)'+Q09.5-HO)'+Q090?

38.

39.

40.答案：。【解析】由向量的内积坐标式和坐标向量的性质得：

i2=j2=k2=l,i-j=j-k=i-0>>.*a=i+j,b=-i+j-k,得a-b=(i+j)(-i+j-k)=-

i2+j2=-l+l=0.【考点指要】本题考查考生对向量坐标的掌握情况.

41.1g(tan43°tan450tan470)=lg(tan430tan450cot430)=lgtan45°=lgl=0

42.

+A,♦fXr.Ey+尸-0•①

("到+—给•(揖+(1-齐。

・・・(—・。,

_D

“if-2.-三)为■口v-os.。

方”①具有实E•”它的图.是1A,以'

43.

44.

【答案】X-arccos而

=(■+»)•［。+5)

・a•a+2o•b+b•b

-lap+2|al•b\•cos<a.ft>4-\b\:

・4+2X2X4co«a・b〉+16=9.

Mffcos《“•力・

arcco5(--arccos

45.

令x=cosa.iy-sinat

则《r?—/y+y?=1-cosasina

=1,---s-i-n2-a.

12'

sin2a1

当sin2a=1时・1

r—jry+y'取到最小值十.

同理：彳：十/&2.

令.r=&cosB.)，=&si叩.

8>Jx--xy-\-y1=2—2cosy2sin^=2—sin2/3,

当sin20=—1时,1?一才〉+:/取到最大

值3.

46.

47.

1/8

【解析】该小题主要考查的知识点为等比数列・

%=atqi=8x(4)=

【考试指导】

48.

由S=SKR*=16K,得R=2."^«R*=yxX2s=

49.答案：0解析：由向量是内积坐标式，坐标向量的性质得:

八=产=公=1"»j=j.〃=：•A=0

«=i+j,b=_i+j_h得：

a*b=(i+j)(_i+j_k)

=T+J2

=-1+1

=0.

*>T,

50.

(25)解：(I)由已知得尸(：,())，

o

所以I0FI=J.

o

(口)设P点的横坐标为明("0)

则p点的纵坐标为第或-腾.

△OFP的面积为

解得％=32,

51.故P点坐标为(32,4)或(32,-4).

52.

本题主要考查双曲线方程及综合解题能力

f2x24-y2-4x-10=0

根据鹿意.先解方程组

得两曲线交点为1=：'1=3

H=2.17=-2

先分别把这两点和原点连接,得到两条直线旷=土壬

这两个方程也可以写成竟=0

所以以这两条在线为渐近线的双曲线方程为旨-£=0

由于已知双曲线的实轴长为12.于是有

9*=6'

所以*=4

所求双曲线方程为刍-±=1

53.

利润=精售总价-进货总仰

设每件提价X元(XN0).利润为y元，则每天售出(100-10M)件,销售总价

为(lO+x)•(IOO-IOX)X

进货总价为8(100-l(k)元(0Cx«10)

依题意有:y=(10+*)•(100-lOx)-8(100-i0x)

=(2+x)(100-10x)

=-10/+80x+200

〉'=-20x+80,令y，=0得H=4

所以当x=4即售出价定为14元•件时，赚得利润最大，最大利润为360元

54.

3

由已知可得椭圆焦点为K(-；5,O),F2(V5.O)........................分

设椭圆的标准方程为三+专=1(。>6>°),则

fJ=b、5.

6R解得｛二：•6分

所以椭圆的标准方程为菅+卜1.:・9分

椭圜的准线方程为"士5612分

55.

1+2«in^co»6+-r-

由题已知"-

(sin。+cosd)2♦—*•

sin0+COB^

令％=fiinff♦COA^.得

f(6)--=[7x--^]3+2石.~z

=+而

由此可求得4g)=瓜/•⑼最小值为而

56.证明：（1）由已知得

又a>l,可得所以.e«<1.

ata

将①两边平方.化简得

（&+。-醇=（々点④

由②③分别得Vo=3（x；--），y}=1（。？-%：）.

aa

代人④整理得

七w,即

a+x2Xo+a

同理如《

所以心=为'0.所以OR平行于,轴.

57.

24.解因为，+J-b?=<K，所以―:-_=5~

LQCL

即cos8"，而8为内角，

所以B=60。.又log^sin.4+log^sinC=-1所以sin/l-sinC=器

则^-[cw(A-C)-cos(4+C)]=^-.

所以cos(4-C)-«»120。=；,即cos(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90。.又A+C=120。，

解得4・105。,C=15。；或。=15。,C=105。.

因为=YaAsinC=2/?1«iivlsinBsin(?

=2*..臣.忌互粗求

4244

所以1.所以R=2

4

所以as2/tsia4=2x2xsin105°=(网+&)(cm)

b=2RsinB=2x2xsin600=24(cm)

c=24inC=2x2xsinl5°=(而-&)(ctn)

或a=(%-&)(cm)b=2.A(cm)c=(新+&)(cm)

妁・二由长分别为(网+万)5.2乐11、(石-&)51,它们的对角依次为105。.60。,15。.

58.

方程/+/+ax=0表示KI的充要条件是H+4-4a2>0.

即".所以-我'<av!■有

4(1.2)在脚外,应满足：1+2,+a+4+a,>0

UDJ+a+9>0.所以aeR.

综上,。的取值范围是(-¥，¥).

(24)解：由正弦定理可知

BCAB则

sinAsinC，

7显

“4Bxsin4502〜万.、

BC=­_=2(6_1).

sm75°R+A

~

SA4SC=—xBCxABxsinB

-yx2(7T-Dx2xy

=3-4

59.*1.27.

60.

=1-%令人x)=0,解得x=l.当xe(o.l)，(x)<o；

当He(l,+8)/(*)>0.

故函数/(，)在(01)是减函数，在(1.+8)是增函数―

(2)当x=l时取得极小值.

X/(0)=0./(l)=-1,/(4)=0.

故函数/tx)在区间［0,4］上的fk大值为0.最小值为-I.

61.

(I)解方程4

因为IcosCI,所以cwt

因此.sinC^ninl20"sin(1

(II)由于6=10由余弦定理可知

/=/+，—2u6Vosc=，

一10a+100=(。-5):+75.

所以当。=5时.c有最小值，即△ABC的周长〃r«Hc-方段小值.

a—=5一—55J?.

62.PC是NAPB的外角平分线

(I)由外角平分线性质定理.

PAAC2PA.

丽=方=了，贝UPnr>B=—,sinyZDPAAnB=

PB=75

AB5,

<H）PB=ABsin/PA3

（DP作PD_LAE（如图所示）,其中PA=g'故

PD=PAsinZPAB=-=-a.

3

63.

ai=10X1.05-z,

aa=10X1.052—1.05x-x»

aj=10X1.053—1.052x--1.05x—x»

推出aio=lOXl.05'0-1.0591-1.05%-

1.05x-x»

,初…__________10X1.0510________

由外。解出1-1+1.05+1.052+-+1.059

=42薪绊*L2937（万元）•

64.

<I）由已知♦椭圆的长轴长2a=4,焦距2c=

24•设其短半轴长为6,则

6=//一1=-4—3=1.

所以椭圆的方程为?+y=1.（6分）

<n）因为直线与椭画的一个交点为（o,i）,将该交

点坐标代入直线方程可得m二1,即

y=等上+1.

将直线与椭圆的方程联立得

y=停工+1.

,T+yl=L

解得另一交点坐标为（一伍，一J）.

W

65.圆锥的曲面沿着母线剪开，展开成一个平面（如下图）

其半径VP=3,弧长=2兀*1=2兀的扇形因为圆锥的底面半径为1，于是围

绕圆锥的最短路

线对应于扇形内是p^到P:的最短距离就是

弦P.Pa.

由V到这条路线的最短距离是图中的线段

h=AV,

依据弧长公式2x=28・3,

得9=-7-.A/»=3COS^=3XCOS-Y=-X-.

3JC

22

66.(1)当n>2时