2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷

2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)若全集U=A,集合A={X€Z|/<16},B={X|X-1W0},则AH(QjB)=()

A.皿《4}B.{x|l<x<4}C.{1,2,3}D.{2,3}

2.（5分）复数z满足.l+i-=l-i>则|z|=()

z

A.2zB.2C.iD.1

3.（5分）已知向量而=（3,-4）,QB=（6,3),0C=(2〃?，m+l).若AB//0C，则

实数m的值为（）

A.AB.3C.-3D.-1

557

4.（5分）函数/（x）=坦与1■的部分图象是（）

5.(5分)ua<-1"是'勺麻R,asinxo+lVO”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（5分）若I°g3（2a+b）=l+log6^，则。+2b的最小值为（）

A.6B.&C.3D.也

33

22

7.（5分）已知圆C：10），+2]=0与双曲线¥一号1（&>0,b>0）的渐近线相切，

则该双曲线的离心率是（)

A.A/2B.5C.D.Vs

32

8.（5分）己知正三棱锥S-ABC的侧棱长为4次，底面边长为6,则该正三棱锥外接球的

表面积是（）

A.1611B.20nC.32TTD.64K

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.（5分）已知mb,c,d均为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,c>d,则

B.若ab>0,be-ad>0>贝—^>Q

ab

C.若a>b,c>d,则〃--c

D.若c>d>0,则曳〉之

dc

10.（5分）已知a,0是两个不重合的平面，，"，〃是两条不重合的直线，则下列命题正确

的是（）

A.若胆〃〃，〃?_La,则"_LaB.若wt〃a,aA^—n,则〃?〃”

C.若，〃_La,机_1_0,则a〃6D.若77?J_a,m//n,n//^>,贝!]a〃0

11.（5分）如图，在四边形A8CQ中，AB//CD,AB±AD,AB=2AD=2DC,E为BC边

上一点，且玩=3.，尸为4E的中点，则（）

A-BC=^-AB+ADB.AF^-AB-^-AD

C-BF=^-AB-4A5d-CTABAD

3363

12.(5分)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=/(x+1),则下

列命题正确的是（）

A.当x>0时，f(x)=--*(x-1)

B.函数/Ge)有3个零点

C.f(x)<0的解集为(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi，X2ER,都有/（X］）-f（x2）|<2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为“，6,c,若亚且区

abc

/?2+c2-J=4c,则lanB=.

5

14.（5分）我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每

个节气唇（gul）长损益相同（唇是按照日影测定时刻的仪器，辱长即为所测量影子的长

度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是

连续的十二个节气，其号长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有唇长之和

为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气署长之和为16.5尺，则夏至的号长为尺.

15.（5分）已知抛物线）2=2px（p>0）的焦点为尸（4,0）,过尸作直线/交抛物线于例,

N两点，贝ljp=____,幽-一上的最小值为_______.

9|MF|

x

16.（5分）设函数f（x）在定义域（0,+8）上是单调函数，VxG（0,+8）,y］/（x）-e+x］

=e,若不等式对尤（0,+8）恒成立，则实数。的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①函数f（x）=iin（23x+（p）（3>0,|<p|<2L）的图象向右平移工个单

2212

位长度得到g（x）的图象，g（x）图象关于原点对称；②向量IT=（V3sino）x,cos2a）x）,

n一（』COS（A）X,-f（x）一IT*n；叵）函数:cos3xsin（3-（3

2464

>0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知，函数/（无）的图象相邻两条对称轴之间的距离为ZL.

2

（1）若0<。<告，且sin8哼，求/（。）的值；

（2）求函数/（x）在［0,2n］上的单调递减区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）已知等差数列｛小｝的前〃项和为S,”42+45=12,54=16.

（1）求｛斯｝的通项公式；

（2）数列仍“｝满足与=——,丁为数列｛瓦｝的前〃项和，是否存在正整数，”，左（1

4Sn-1n

<m<k\使得”=33，?若存在，求出血，人的值；若不存在，请说明理由.

19.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，4c为等腰直角三角形，ZAPC=90a,/\ABC

为正三角形，。为AC的中点，AC=2.

(1)证明：PBLAC；

(2)若三棱锥P-A8c的体积为返，求二面角A-PC-B的余弦值.

20.(12分)如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC,ZA=90°,8C长2千米，现对

这块地进行绿化改造，计划从8c的中点。引出两条成45°的线段。E和。尸，与AB和

AC围成四边形区域AEDF,在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设NBCE=a,

试求花卉种植面积S(a)的取值范围.

21.(12分)已知椭圆E：号+X或l(a>b>0)的离心率e满足2e2-3折+2=0,右顶

点为A,上顶点为B,点C(0,-2),过点C作一条与y轴不重合的直线/,直线/交椭

圆E于P,。两点，直线BP,BQ分别交x轴于点M,N；当直线/经过点A时，/的斜

率为正.

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明：SABOM'S^BCN为定值.

y

,/

22.(12分)已知函数/(x)=e-ax.

（1）当。>0时，设函数/（x）的最小值为g（。），证明：g（a）W1；

⑵若函数。（无）=/（工）-有两个极值点X|，X2（X1<12），证明：h（X|）+h（X2）

>2.

2019-2020学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)若全集U=R,集合A={xeZ|，<16},3={x|x-1W0},则AC!(CuB)=()

A.{x|lWx<4}B.{x|l<x<4}C.{1,2,3}D.{2,3}

【分析】可以求出集合A,B,然后进行补集和交集的运算即可.

【解答］解：A={xWZ|-4Vx<4}={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={中W1},

；.CuB={x|x>l},AH(CuB)={2,3}.

故选：D.

【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属

于基础题.

2.(5分)复数z满足3-=1+，则|Z|=()

Z

A.2iB.2C.iD.1

【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可.

【解答】解：依题意，因为复数Z满足曰=1T，

Z

所以)—=i,

1-i2

所以|z|=l,

故选：D.

【点评】本题考查了复数的代数形式的运算，复数的模，属于基础题.

3.(5分)已知向量0A=(3,-4),0B=<6,-3),0C=(2/n,/n+1).若AB//0C，则

实数m的值为()

A.AB.3C.-3D.-A

557

【分析】先求得得AB=OB-OA=(3,1),再由AB//OC，则这两个向量的坐标对应成

比例，解方程求得实数〃?的值，可得结论.

【解答】解：由题意可得标=而-水=(3,1),若标力灰,

则这两个向量的坐标对应成比例，即生1tl,

31

解得tn--3,

故选：c.

【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题.

4.)

【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得/(x)为奇函数，排除8,结合函数的解

析式可得当0<x<l时，/(x)<0,排除C,当x>l时，/(x)>0,排除Z)；据此即可

得答案.

【解答】解：根据题意，/(%)=111与L,其定义域为Wxr0},

X

又由/(-x)=.!n(-x)=-f(X),即函数f(x)为奇函数，排除B,

(-X)3

当0<x<l时，ln\x\=lnx<0,x>0,则有/(x)<0,排除C,

当x>l时，ln\x\=lnx>0,x>0,则有/(x)>0,排除。，

故选：A.

【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性，属于基础题.

5.(5分)ua<-1”是“mx()€R,asinxo+lVO”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】设f(x)=asinx+l,分类求得函数的值域，由mx()eR,asinxo+1<0求得”的范

围，可知-1”是“meR,asitixo+KO"的不必要条件；取和二匚当-1

x。2

时,asinxo+1VO成立,说明ua<一]”是u3x（）GR,asin%o+l<O”的充分条件.

【解答】解：必要性:设/（x）=asinx+l,当a>0时，f（x）G[1-a,1+a],1-a<0,

BPa>l；

当a<0时，e[l+a,1-a],：.l+a<0,即aV-1.

故a>1或a<-1；

充分性：取Y=兀,当a<-l时，asinxo+1<0成立.

X。2

/.aa<-1”是'勺xo€R,asinxo+lVO”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查三角函数的有界性，体现了数学转化思想

方法，是中档题.

6.（5分）若log3（2a+b）=l+log6\G^则。+26的最小值为（）

A.6B.&C.3D.也

33

,

【分析】log3（2a+b）=l+log^377b变形陛3（2。+匕）=l+log3^,可得a,b>0,

2+工=3,可得"2匕=工（a+26）（2+工）=工（5+2曳+型），利用基本不等式的性质

ba3ba3ba

即可得出.

【解答】解：]og3（2a+b）=l+log6>/7^Alogs（2a+b）=l+log3〃匕,

A2a+b=3abfa,b>0.

化为：2+上=3.

ba

则。+2匕=工（a+26）（2+工）=工（5+空+空）2工（5+2X2A）=3,当且仅

3ba3ba3yba

当a=b=\时取等号.

故选：C.

【点评】本题考查了对数运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题.

22

7.（5分）已知圆C：/+7-10），+21=0与双曲线气■一号l（a>O,b>0）的渐近线相切，

则该双曲线的离心率是（)

A.V2C.1.D.V5

【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离d=r,列方程求

出离心率e=£的值.

a

22

【解答】解：双曲线三-。=1的渐近线方程为灰土3=0,

圆C：/+）?-10y+21=0化为标准方程是：/+（y-5）2=4,

则圆心C（0,5）到直线bx-ay=0的距离为d=r；

即5a|_=5a=2

解得£=互，

a2

即双曲线的离心率是e=§.

2

故选：C.

【点评】本题考查「圆与双曲线的标准方程和应用问题，是基础题.

8.（5分）己知正三棱锥S-48c的侧棱长为4我，底面边长为6,则该正三棱锥外接球的

表面积是（）

A.16nB.20TlC.32nD.641T

【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的

半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出

表面积.

【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心

O1,接圆的半径r,

正三棱锥的外接球的球心在高SO,所在的直线上，设为。，连接OA得,：

r=---1-,二厂=2次，即。"=2«,所以三棱锥的高1={$人2_0，*=

sirry

7（W3）2-（2V3）2=6,

由勾股定理得，R2=J+（R-〃）2,解得：R=4,

所以外接球的表面积S=47i/?2=64ir.

故选：D.

s

【点评】考查正三棱锥的外接球的表面积，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.（5分）已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,c>d,贝（1“c>bd

B.若ab>0,be-ad>0,则—

ab

C.若a>b,c>d,则a-d>b-c

D.若a>b,c>d>0,则月_>上

dc

【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可.

【解答］解：若。>b>0,c>d>0,则所以A不正确；

若ab>0,be-ad>0,可得》l_（bc-ad）>0，即£屈>。一旦>0,所以8正确；

ababb

若a>b,c>df则〃+c>〃+d,EPa-cl>b-c,所以C正确；

若a>b,c>d>0,则包〉•二.不正确，反例a=l,b=-\,c=-2,d=-3,

dc

显然包=」，旦」，所以。不正确.

d3c2

故选：BC.

【点评】本题考查命题的真假的判断，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查，

基础题.

10.（5分）已知a,0是两个不重合的平面，〃?，〃是两条不重合的直线，则下列命题正确

的是（）

A.若加〃小机J_a,则相_l_ctB.若a,ari0=〃，则加〃〃

C.若"?_La,则a〃0D.若"?_La,相〃〃，〃〃仇则0（〃0

【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论.

【解答】解：A.由加〃小m±a,则〃_La,正确；

B.由加〃a,aAp=n,则相与〃的位置关系不确定；

C.由，〃J_a,，w_L0,则0£〃0正确

D.由ml.a,m//n,"〃仇则a_L0,因此不正确.

故选：AC.

【点评】本题考查了空间线面、面面位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

11.（5分）如图，在四边形A2CD中，AB//CD,ABYAD,AB=2AD=2DC,E为BC选

上一点，且皮=3前，尸为4E的中点，则（）

•1.»•1•1.

A-BC=-yAB+ADB-AF^AB号AD

c-BF=^-AB^ADD-CT=4ABAD

3363

【分析】利用向量的加法法则，先用羽和丽表示出前，进而表示出屈，而和了.

【解答】解：由A8=24O=2OC知:

；BC=BA+AD+DC.

BC=-AB+AD+yAB

_1—*—*

--yAB+AD(

故A选项正确.

故B选项正确.

BF=BA+AF=-AB4-AB-4-AD>

ABF=-1-AB^AD'

故c正确.

••,CF=CD+DA+AF

——^-AB-AD+yAB+yAD

=WAB*AD，

63

D不正确.

故选：ABC.

【点评】本题考查向量的加法法则的合理运用，解题时要注意向量间的关系以及转化的

思想.

12.(5分)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(%)=/(x+1),则下

列命题正确的是()

A.当x>0时，f(x)--ex(x-1)

B.函数f(x)有3个零点

C./(x)<0的解集为(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi，X26R,都有(xi)-f(%2)l<2

【分析】函数是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(无)=/(x+1),设x>0时,

-x<0,可得f(x)=-/(-%)—ex(x-1),x=0时，f(0)=0.当x<0时，f(x)

=/(x+1),f(x)=)=e*(x+2),可得x=-2时，函数/(x)取得极小值，进而判

断出结论.

【解答】解：函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=/(x+1),

设x>0时，-x<0,/(-x)—ex(-x+1),/./(x)=-f(-x)—ex(x-1),

x=0时-，f(0)=0.因此函数/(x)有三个零点：0,±1.

当x<0时，f(x)=，(x+1),f'(x)=)=/(x+2),可得x=-2时，函数f(x)

取得极小值，

/(-2)=二二可得其图象：

2

e

f(x)VO时的解集为：(-8,-1)u(0,1).

Vxi，x2eR,都有，(阳)-f(x2)|W|/(0+)-f(0-)|<2.

因此BCD都正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解集、函数的奇偶性,

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若咨良.+22组再

abc

/?2+c2-〃2=2加，则tanB=4.

5

【分析】先由余弦定理求出cosA的值，结合正弦定理进行化简即可.

【解答】解：由/+C，-/=旦仄：

5

6,

,2,^22T-bco

得cosA=-------=----二—,

2bc2bc5

则sinA=&-,

5

若咨AjosB=sinC,

abc

则cosA^cosB=sinC=1，

sinAsinBsinC

即3+」^=i,

4tanB

得―--=工，得tanB=4,

tanB4

故答案为：4.

【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合余弦定理以及正弦定理进行转化是解决

本题的关键，考查学生的计算能力，难度中等.

14.(5分)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每

个节气署(gui)长损益相同(号是按照日影测定时刻的仪器，号长即为所测量影子的长

度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是

连续的十二个节气，其辱长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有署长之和

为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气署长之和为16.5尺，则夏至的底长为1.5尺.

【分析】利用等差数列的前〃项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的辱长.

【解答】解：；夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小

雪、大雪是连续的十二个节气，

其唇长依次成等差数列｛斯｝,

经记录测算，这十二节气的所有辱长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气皆长之和

为16.5尺，

’19X11

.S12=12ai4——d=84

••<乙,

+12d=16.5

解得d=l,。|=1.5.

夏至的展长为1.5尺.

故答案为：1.5.

【点评】本题考查夏至的唇长的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

15.(5分)已知抛物线;/=2px(p>0)的焦点为尸(4,0),过F作直线/交抛物线于M,

N两点，则〃=8,幽_一上的最小值为X.

9|MF|一旦一

【分析】先有焦点坐标求出P，再讨论当直线/的斜率不存在时，求出答案，当直线/的

斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出」_+」_=工，代入幽-一4；

NFMF49|MF|

根据基本不等式即可求最小值

【解答】解：抛物线,=2度的焦点F,因为F(4,0),

.,.■^>=4今〃=8=『=[6x；

当直线/的斜率不存在时，直线/为x=4,

(x=4

由《，可得M(4,8),N(4,-8),

、y"=16x

A1^=1^=8,

.|NF|__纥=&_匡=

■"9IMFT5W市

当直线/的斜率存在时，设过点F作直线/的方程为y=k(x-4),不妨设M(xi，yi),

N（X2，yi）,

2_

由y=16x,消y可得武「（16+8产）x+16乃=o,

Ly=k（x-4）

•・X|+X2=8+----,X\X2=16,

k2

A\MF\=x\+R=jq+4,|NF|=12+艮=尤2+4,

22

.一"一仆2也一」

4

NFMFXi+4X2+4X1X2+4（Xt+x2）+16i6+4（8二1）+16

•|NF|_4=NF1_1）=|NF|,4-1=工.(当且仅当|NF|

9'IMF|94|NF|9|NF|3

=6时等号成立）.

故答案为：8,-1.

3

【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的定义，基本不等式的应用，考

查了运算能力和转化能力，是中档题

x

16.(5分)设函数f(x)在定义域(0,+8)上是单调函数，VxG(0,+8),川(x)-e+x]

=e,若不等式/(x)+f(x)Nor对入W(0,+°°)恒成立，则实数〃的取值范围是

W2e-11.

【分析】由已知可得/(1)=/-x+6且/(/)=/,进而可求，及/(x),然后代入已知

不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求.

【解答】解：令t=f3-/+x,

所以/(x)=ex-x+t,

因为/(x)在定义域(0,+8)上是单调函数，VxE(0,+8),J\f(x)-ex+x]=e,

故，为常数且/(f)=Z=e,

所以，r=l,f(x)=/-x+l,f(x)=ex-1

因为/(x)+f(x)对(0,+8)恒成立，

所以2/2(a+1)x对环(0,+8)恒成立，

即4+14谑_对花(0,+8)恒成立，

X

nQX

令g(x)=.e.X>0,

则g'(x)=W

X’

当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当0<xVl时，g'(x)<0,g(x)单调

递减，

故当x=l时，函数取得最小值g(1)=2e,

故a+1W2e即aW2e-1.

故答案为：{a|aW2e-1}.

【点评】本题主要考查了不等式的恒成立与最值求解的相互转化思想的应用，解题的关

键是根据已知条件求出/(x).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①函数f(x)=Lin(23x+cp)(3>0,|(p|<—)的图象向右平移？L个单

2212

位长度得到g(x)的图如g(x)图象关于原点对称；②向量IT=(J^sirKOx,C0S23X),

n—(—cos3x,—),3>0,/(x)—ir*n；函数f(x)=cos3xsin(3x+—)—(3

2464

>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知选条件①,函数/(X)的图象相邻两条对称轴之间的距离为唱.

(1)若0<。<字，且sin。平，求/(。)的值；

(2)求函数/G)在［0,2可上的单调递减区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【分析】首先利用对称轴之间的距离求出函数的周期，进一步利用函数的关系式的平移

变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值和单调区间.

【解答】解：方案一：选条件①

由题意可知，丁啜_=兀，

.*.0)=1,

•',f(x)=ysin(2x+<P>

.1兀

'g(x)=­sin(2x+'t)-

Nb

又函数g(x)图象关于原点对称，

0=k^+-^-»kEZ，

•••|0|<当，

•小兀

•.0方

*/s1/兀、

•-f(x)=ysin(2x+^-)-

⑴V0<e<-^,Sin8平

e工

4

4/J玲

⑵由千+2k兀42x*4兀+2k兀，k€Z

解得二+k冗<x<|■冗+k冗，k€Z-

令k=0,得■兀

63

令k=l,得［•兀4x《~|•兀’

63

・•・函数小)在［0,2n］上的单调递减区间为小，111］,5fK］,

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数性质的应用，函数的

图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题

型.

18.（12分）已知等差数列｛斯｝的前"项和为S,”“2+“5=12,54=16.

（1）求｛““｝的通项公式；

（2）数列｛儿｝满足与=-I—,T为数列｛b｝的前〃项和，是否存在正整数相，k（1

4Sn-1n

<m<k）,使得“=3。"2?若存在，求出小，女的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）设等差数列｛斯｝的公差为"，利用已知条件列出方程求解首项与公差，得到

通项公式.

（2）求出Sn=n+n（£l）X2=r?，化简｛为｝的通项公式，利用裂项消项法求和，通过

T,=3T2,分析求解即可.

【解答】解：（1）设等差数列｛斯｝的公差为止

a2+a5=122a[+5d=12

由，得

=

s4=162a|+3d8

al=1

解得I

an=l+2(n-l)=2n-l,n€N*

.d=2

(2)$=n^^-2

n2X2=n，

111

芍(2n-l2n+l)•

-n4n2-1

.*.r„=fel+/>+—+^=-^-[(l-y)+(y-^-)+—+(1111

2n)+(：)]

ZooD2n-32n-l2n-l2n+l

瑟（14尸福

3K

若T】=3T2，则——

2k+l(2m+l)2

整理得k=_囱』一,

4m+l-2K

3m2

>m

又k>m>1"4m+l-2m2

ITL>1

2m2-m-]

>0

整理得4m+l-2m2

ITL>1

解得

又,HGN

••2,••k--12.

存在m=2,%=12满足题意.

【点评】本题考查数列的求和，递推关系式的应用，数列的函数的性质，考查转化首项

以及计算能力，是中档题.

19.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，为等腰直角三角形，ZAPC=90a,XABC

为正三角形，。为AC的中点，4C=2.

(1)证明:PBLAC；

（2）若三棱锥P-ABC的体积为返，求二面角A-PC-8的余弦值.

3

【分析】(1)证明PDLAC.BD±AC.然后证明AC，平面PBD即可证明PB，AC.

(2)说明平面A8C,以。为坐标原点，建立空间直角坐标系求出平面

P8C的一个法向量，平面fiAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可.

【解答】(1)证明：为等腰直角三角形，。为4c的中点，.•.P£>，4c.

又△ABC为正三角形，。为AC中点，.••8。，AC.

又PDCBD=D,PD,8。平面P8O,，AC_L平面PBD

又PB_L平面P8D,J.PBLAC.

(2)解：设三棱锥P-ABC的高为/?,BD=BCsin600

'Vp-ABC4ACXBDXh=%=噂'

rMLOZ0o

.*./?=1.

又PD=^AC=1，.'PC平面ABC，

如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系o-xyz,则

A(l,0,0),B(0,V3-0)，C(-l,0,0),P(0,0,1：

DB=(O,V3，0),CP=(1,0,1),CB=(1,73，0)，

设苇=(x,y,z)为平面P2C的一个法向量，则［cP'n=°即1x+z,

(CB-n=0lx+V3V=0

令x=i,得y3,

,z=-l

An=(l»T>

o

又正是平面PAC的一个法向量，

DB*n

•'•cos\DB，

|DB||n|

二面角A-PC-B的余弦值为近.

7

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空

间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题.

20.(12分)如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC,N4=90°,BC长2千米，现对

这块地进行绿化改造，计划从8c的中点。引出两条成45°的线段OE和。F,与A8和

AC围成四边形区域AEDF,在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设

试求花卉种植面积S(a)的取值范围.

【分析】由题意在△出)£中由正弦定理得BE=~多黑-----，在中由正弦定理

sin(4-a)

得CF型(等利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求如2s

sinCL

ADCF=yH---------------------元——，进而可求S(a)=y-----------------------——，结

2->/2sin(2CI)+22->/2sin(2d)+2

合题意可求范围2(1—卷£等)，利用正弦函数的性质即可求解花卉种植面积

S(a)取值范围.

3%

【解答】解：在△BOE中，ZfiED=---Q,

4

]

由正弦定理得-3

sin(w兀一日)

在△£>(?尸中，/FDC=2^-a,NDFC=a,

4

由顶线定理得----孟-------.1

sina'

sin(~—a)

sin(W-a)

CF=si/

.iniJi

•­SABDE+SADCFxBExBDxsirr^xCFxCDxsirr^

=^(BF+CF)

./3H—

=返(sinasin(『CQ

4’.,3兀qHsina)

.3兀3兀.

4sin-;-cosCl-cos~:—sina

_y2(sina___________44_______

一下.3冗-3H4sina

sincos-cosr-^-sin^-

二近(&sinacosa+sina

4cosQ.+sinQ.+_Vasina-

=立Zsi/a+l+sin2a

4V2sinCI(cosCI+sind)

sin2"cos2a+2

4y/2sinO.cosa-h/2sin2a

=1sin2a-cos2a+2

2sin2a-cos2a+1

=L1]_________)

2Uksin2Cl-cos2Cl+1)

1,1________

-y+n'

2V2sin(2Cl)+2

•'•5(a)=S^ABC_(S&BDE^SADCF)-4--------------

2后sin(2a---)+2

...AE。尸为四边形区域，

.广,71兀、

a£片，—

♦兀尸/兀3兀、

・♦2.丁七，—

，sin(2a£(当，

•二<S(a)<i乎

42

，花卉种植面积S(a)取值范围是(上，

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，正

弦函数的性质在解三角形中的实际应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.

22

21.（12分）己知椭圆E：号+X或l（a>b>0）的离心率e满足2e?-3折+2=0,右顶

点为A,上顶点为3,点C（0,-2）,过点。作一条与y轴不重合的直线/,直线/交椭

圆E于P,Q两点，直线BP,BQ分别交x轴于点M,N；当直线/经过点A时，/的斜

率为

（1）求椭圆E的方程；

（2）证明：SABOM'S/XBCN为定值.

【分析】（1）由2/_3加e+2=0求出离心率，结合AC的斜率，转化求解。，b,即可

得到椭圆方程.

y=kx-2

（2）设直线/的方程为丁=丘-2,P（xi，力），Q（X2，＞2）由《/得（2产+1）

也+y=1

7-8履+6=0,利用韦达定理以及弦长公式，结合三角形的面积，转化求解即可.

【解答】解：（1）^2e2-3V2e+2=0

解得e=-^-sSe=V2（舍去），a二加卜

,

又kA乩C=°a.-［0）=后