8.6.2直线与平面垂直(1)课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.了解直线与平面垂直的定义．2.掌握直线和平面垂直的判定定理．3.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理解决问题．活动方案活动一直线与平面垂直的定义1.在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面”等的位置关系，你能举出一些类似的例子吗？【解析】

略2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角是否发生变化，为多少？【解析】

略3.直线和平面垂直的定义及相关概念(如图)．(1)直线l与平面α互相垂直：_________________________________(2)平面α的垂线：__________________________________________(3)直线l的垂面：__________________________________________(4)垂足：__________________________________________________【解析】(1)如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线l与平面α互相垂直．(2)直线l叫作平面α的垂线．(3)平面α叫作直线l的垂面．(4)直线l与平面α垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．【解析】(1)1条(2)1个思考1►►►在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．那么，在空间中：(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？(2)过一点有几个平面与已知直线垂直？【解析】(1)过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫作这个点到该平面的垂线段．(2)垂线段的长度．4.垂线段和点到平面的距离的概念．(1)垂线段：____________________________________________(2)点到平面的距离：____________________________________活动二直线和平面垂直的判定定理探究：请同学们准备一块如图所示的三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？【解析】

当折痕AD是BC边上的高时，折痕AD与桌面所在平面垂直．思考2►►►(1)如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？

(2)如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？(3)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，此直线是否和平面垂直？

(4)上述三个问题能得到什么结论？【解析】(1)不一定(2)不一定(3)垂直(4)如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．【解析】

若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，则a⊥α.5.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．用符号表示为：6.概念辨析：下列命题中，正确的是________.(填序号)①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．【解析】

当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．【答案】

④⑤活动三直线与平面垂直的判定定理的应用例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.【解析】

已知：如图，a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.因为直线a⊥α，所以a⊥m，a⊥n.因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又m⊂α，n⊂α，m，n是两条相交直线，所以b⊥α.要证明一条直线与一个平面垂直，可以用定义，也可以用判定定理，但在用定义时，平面内的任意一条直线比较难说清楚．已知直线l和平面α内的两条直线m，n，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

)A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】

充分性：因为l⊥α，所以l必垂直于平面α内的所有直线，所以l⊥m且l⊥n；必要性：由l⊥m且l⊥n，若m∥n，则l不一定垂直于平面α.综上可得，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．【答案】C【解析】

如图，连接PE，EC.因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．因为F是PC的中点，所以EF⊥PC.又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，所以PC⊥平面BEF.一般情况下，要证明一条直线垂直于一个平面，都是用线面垂直的判定定理，只要在这个平面内找两条相交直线和已知直线垂直即可．如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的任意一点，过点A作AE⊥PC，垂足为E，求证：AE⊥平面PBC.【解析】

因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.因为PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.巩固直线与平面垂直的定义及判定定理．(1)直线与平面垂直的定义：定义如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直记法a⊥α有关概念直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点P称为垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(2)直线与平面垂直的判定定理：文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A，则a⊥α图形语言检测反馈24513【解析】

由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．1.若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是(

)①三角形的两边；

②梯形的两边；③圆的两条直径；

④正六边形的两条边．A.①③

B.②③

C.①③④

D.①②③④【答案】A24513【解析】

若m⊥n，m∥α，α∥β，则n∥β或n与β相交或n⊂β，故①错误；若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β或n⊂β，故②错误；若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n，故③正确；若m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β，故④正确．2.(2022福州期末)已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①若m⊥n，m∥α，α∥β，则n⊥β；

②若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n⊥β；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β.其中正确的是(

)A.①②

B.②③

C.①④

D.③④【答案】D245313.(多选)如图，在下列四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(

)ABCD24531【解析】

对于A，由AB与CE所成的角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，CE∩ED＝E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成的角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB.又ED∩EC＝E，DE⊂平面CDE，EC⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE.故选BD.【答案】BD245314.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1与AC的位置关系是________，BD1与B1C的位置关系是________，进而可得BD1与平面ACB1的关系是________.(填“垂直”“平行”或“相交”)垂直垂直垂直245315.(2022中山期末)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面CA1D；24531【解析】(1)如图，连接AC1交A1C于点E，连接DE.因为多面体ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点．因为D是AB的中点，所以DE∥BC1.又DE⊂平面CA1D