3.2.1双曲线及其标准方程(1)课件高二上学期数学人教A版选择性

第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.了解双曲线的定义．2.掌握双曲线的标准方程及其求法．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.活动方案1.情景导学活动一了解双曲线的定义，理解双曲线标准方程双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质．本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以点F2为圆心，线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|PA－PB|<F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆．如图，在AB<F1F2<PA＋PB的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？【解析】

我们发现，在AB<F1F2<PA＋PB的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近点F1时，MF2－MF1＝AB；当点M靠近定点F2时，MF1－MF2＝AB.总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值AB是一个常数(AB<F1F2)．这时，两圆交点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支．2.双曲线的定义3.理解双曲线的标准方程思考1►►►双曲线与椭圆从定义上看极为相似，那么类比椭圆标准方程的推导，能否得到双曲线的标准方程？(1)如何建立坐标系？建立坐标系的依据是什么？【解析】

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，依据：双曲线的对称性，且直线F1F2是它的一条对称轴．(2)双曲线上的点满足的几何条件是什么？【解析】

双曲线上的点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数．(3)如何用代数式表示这个几何条件？(4)如何化简这个代数式？令c2－a2＝b2(b>0)，双曲线的方程可化为什么形式？【解析】

化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，思考2►►►若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？思考3►►►双曲线的标准方程有什么结构特征？【解析】

略思考4►►►两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？【解析】

略思考5►►►双曲线中a，b，c满足怎样的关系？椭圆中a，b，c满足怎样的关系？【解析】

双曲线：c2＝a2＋b2，椭圆：a2＝b2＋c2.焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程

焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2活动二掌握双曲线的标准方程的求法例1已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到点F1，F2的距离的差的绝对值为8，求双曲线的方程．【解析】

由题意，得c＝5,2a＝8，即a＝4，所以b2＝c2－a2＝9.因为焦点在x轴上，变式若将条件中的“绝对值”去掉，结果如何？【解析】

若PF1－PF2＝8，思考6►►►若已知条件中焦点所在的位置没有明确，则结果如何？【解析】

应分类讨论，分为焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况．求双曲线的标准方程，首先要“定位”，即确定双曲线与坐标轴的位置关系，焦点所在坐标轴，从而选择对应形式的标准方程；其次要“定量”，即确定a，b的值．活动三理解双曲线的标准方程【解析】

由题意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故实数k的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．【答案】(－∞，－2)∪(－1，＋∞)【答案】(－2,2)检测反馈24513【答案】A24513【答案】A2453124531【答案】BC24531【解析】

由题意知，c＝2，即c2＝4.因为b2＝3，且c2＝b2＋a2，所以a2＝1.又a＞0，所以a＝1.【答案】124531