极大值与极小值(1)课件高二上学期数学选择性

第5章导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2极大值与极小值(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.了解函数极值的概念，会从函数图象直观地认识函数极值与导数的关系．2.初步掌握求函数极值的方法．3.体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．活动方案1.观察上述函数图象，回答下面的问题：(1)函数图象在点P的左、右两侧分别有什么变化规律？活动一理解函数极值的概念，理解极值与导数的关系【解析】函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”，即函数由单调递增变为单调递减．(2)在点P附近，哪个点的位置最高？对应的函数值哪个最大？【解析】点P的位置最高，f(x1)最大．2.函数极值的概念．(1)试根据上图给出函数极大值的概念：【解析】一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．(2)类比给出函数极小值的概念：【解析】一般地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．(3)极值的概念：【解析】函数的极大值、极小值统称为函数的极值．思考1►►►函数的极大值与极小值是否都唯一？极大值一定比极小值大吗？【解析】不唯一，不一定．思考2►►►函数的极值点能否出现在区间端点？【解析】不能思考3►►►在函数极大值点两侧的函数图象有什么变化规律？能否从导数出发进行研究？【解析】图象先上升后下降，即先单调递增后单调递减．能从导数出发研究，即左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.3.函数的极值与导数的关系．结合上图探求函数的极大值与导数的关系，并填写下表：xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)单调递____取得________单调递____试类比探求极小值与导数的关系：xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)单调递____取得________单调递____【解析】>＝<增极大值减<＝>减极小值增思考4►►►若函数f(x)在x0处取得极值，则f′(x0)＝0.反过来，若f′(x0)＝0，则函数f(x)一定在x0处取得极值吗？能否举例说明？

【解析】不一定，如函数y＝x3，导数为y′＝3x2，当x＝0时，y′＝0，但函数在x＝0处不是极值．例1已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(

)A.1

B.2

C.3

D.4【答案】A【解析】由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c<d.由图可知，在区间(－∞，c)，(d，b)上f′(x)≥0，所以函数f(x)在区间(－∞，c)，(d，b)上单调递增；在区间(c，d)上，f′(x)<0，所以f(x)在区间(c，d)上单调递减，所以当x＝c时，函数f(x)取得极大值，当x＝d时，函数取得极小值，故函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.例2求下列函数的极值：活动二掌握求函数极值的方法(2)f(x)＝x4－4x3＋5；【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.列表如下：当x＝3时，f(x)有极小值－9.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

(2)因为f(x)＝x4－4x3＋5，所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.列表如下：故当x＝3时函数f(x)取得极小值，且极小值为f(3)＝－22；无极大值．x(－∞，0)0(0,3)3(3，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)

不是极值

极小值

列表如下：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

极大值

思考5►►►求函数的极值的一般步骤是什么？【解析】①先求导；②令导数为0，求出x的值；③列表，根据f′(x)在f′(x)＝0的根左、右的函数值的符号来确定函数的极值．

求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．【解析】由题意，得f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表如下：所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝10；当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2.列表如下：所以当x＝0时，f(x)有极小值f(0)＝0；x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

极小值

极大值

检测反馈245131.函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的极大值为(

)A.－e B.－1C.1－e D.0【答案】B245132.(2023阜新二中期末)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(

)【解析】由导函数f′(x)的图象可知，在区间(－∞，0)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(0,2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在区间(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，结合函数的图象可知A符合．【答案】A2453B.f(x)在定义域内无零点1D.f(x)的极小值小于极大值245312453【答案】BC124534.(2023通化梅河口五中期末)函数f(x)＝(x2－1)3＋6的极值点为________.1【解析】由题意，得f′(x)＝3(x2－1)2·2x＝6x(x2－1)2.当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增；当x<0时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以函数f(x)＝(x2－1)3＋6的极小值点为0，无极大值点．【答案】024535.求下列函数的极值：1(2)y＝x－2cosx；(3)y＝ex－ex.24531列表如下