人教A版高中数学选修3-1-4.1-坐标思想的早期萌芽-课件

坐标思想的早期萌芽比Fermat和Descartes更早的时代16世纪算术和代数的发展16世纪中叶，欧洲文明的实际生活和科学工作的需要促使他们把代数向前推进。这是由于大量实践需要量的结果，比如更精确的三角函数表；资本主义的兴起使得银行开始出现，银行的出现和商务的扩大也要求代数的进一步发展；火药的传入使得制造火炮成为可能，计算抛物体的轨迹也需要代数的进一步发展。在这个时期，0作为一个数已经被普遍接受，而无理数虽然被人们随意地使用，但是对于它是否是数这个问题还存在巨大争议。而对于负数，大部分人依然不接受它是一种数。16世纪，一般的三次方程的求根公式被找出来，并且依靠它，四次求根公式也立即得到了。方程论大大向前迈进了。（虽然得到了四次方程的一般解，但是由于没有实际的几何意义，大家都觉得这只是一种没有用的东西。）代数的符号体系被初步建立了，其中+、-这两个符号在15世纪引入，=在十六世纪被使用，（）在1544年引入，【】、{}在1593年使用，平方根符号由Descartes引入。Vieta开始用字母表示已知量、未知量和一般系数。比Fermat和Descartes更早的时代Oresem（1323-1383），著有书《论均匀与非均匀强度》、《论图线》。在这两本书中，他提出了一种研究物理运动的“图线法”，用水平线上的P代表时间，成为经度，不同时刻的速度用纵线表示，称为纬度。这是最早的坐标和函数的思想。坐标思想的萌芽Oresem就是用左图来表现一个减速运动的物体。遗憾的是，他并不清楚他的方法的意义，并没有引起重大的影响。（值得一提的是，他本人也不了解什么是匀减速运动。）Fermat1629以前，Fermat着手重写几何学家Apollonius失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对Apollonius关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是Apollonius圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。Fermat（1601-1665），法国律师，兼职数学家小帅哥Apollonius,著名几何学家，其史诗巨著《圆锥曲线论》几乎道尽所有（解析几何未发现前）圆锥曲线的性质。FermatFermat用于重写《平面轨迹》的代数方法就类似于我们今天的斜坐标系。通过这种坐标系，他独立于Descartes得到了解析几何的基本原理：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”用今天的话，f（x，y）=0代表了平面上的一条曲线。这一发现写在他的小册子《平面与立体轨迹引论》中。Fermat已经了解了坐标轴的平移、旋转变换，并断言一个一次的方程代表直线，而二次的代表圆锥曲线。但他没有证明。值得一提的是，用字母表示变量的方法最早由我们熟知的Vieta先生提出来。Fermat注意到Fermat的坐标是不含负半轴的，他的坐标几何只有四分之一个平面。这是因为当时负数还是危险的，不被人承认是“数”。（实际上，大家已经无形的在使用实数了，认为线上的所有点都是实数，尽管当时并不知道什么是实数。）Fermat的实质是继承Apollonius的研究，希望把他未完的证明补充完整。应该说Fermat没有认识到自己工作额重要性，只认为自己是对Apollonius的新阐述。他是继承了希腊传统的，他认为数学要有美与协调性，反对数学的应用。（从Fermat大量研究数论的事实就可以看出他的这种态度。）（与此同时，Descartes正相反。）DescartesDescartes（1596-1650），法国哲学家，物理学家，顺便是个数学家。1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念这位伟人），1650年2月11日逝世于斯德哥尔摩。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他是二元论唯心主义者的代表，留下名言“我思故我在”，提出了“普遍怀疑”的主张，是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。提到Descartes不得不说的小故事及其勘误Descartesρ=a（1+cosθ）欧洲大陆爆发黑死病时Descartes流浪到瑞典，认识了瑞典一个小公国18岁的小公主Kristina，后成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，Kristina也被父亲软禁起来。Descartes回法国后不久便染上黑死病，他日日给公主写信，因被国王拦截，Kristina一直没收到笛卡尔的信。Descartes在给Kristina寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：ρ=a（1+cosθ）。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的Kristina，公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，看到了方程所表示的心脏线，理解了笛卡尔对自己的深深爱意。这也就是著名的“心形线”。JakobBernoulli很不高兴，极坐标系明明是他1691年在《教师学报》上发表的一篇论文上先提出来的，大家也都承认是他发现的极坐标。（Newton先生也很不高兴，他在1671年写的《流数法与无穷级数》里也用过，居然没能抢到极坐标的发明权）考虑到当时Descartes的年纪，他们俩在一起怎么的也得是这个感觉：Descartes提到Descartes不得不说的小故事及其勘误在历史上，Descartes和Kristina的确有过交情。但笛卡尔是1649年10月4日应Kristina邀请才来到瑞典，而当时Kristina已成为了瑞典女王。Descartes与Kristina娜谈论的主要是哲学问题而不是数学。有资料记载，由于Kristina女王时间安排很紧，Descartes只能在早晨五点与她探讨哲学。Descartes真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎，而不是黑死病。Descartes的哲学思想Descartes是，用马克思的分类，客观唯心主义者。他认为数学观念都在心中，是客观永恒存在的。对于世界性质的认识，他继承了古希腊人的“第一性”和“第二性”的观点，认为存在一个客观世界，而我们的感觉、颜色等是客观世界作用在我们的感官后的产物。Descartes更著名的观点是“我思故我在”，这是他自己总结的“不证自明”的哲学“公理”。除此之外，他还认为“有结果必有原因”、“事物必须由简单到复杂”、“观念存在于心中”。通过这四条公理，他高兴地宣布自己证明了上帝的存在。但是他又反对上帝干预世界这个观点，因为世界是上帝按照数学规律创造的。这个观点就像是说，这个世界时上帝编的一段程序，上帝给了初始值。在程序计算的时候，上帝是什么都不能干的。结果教会不乐意了。上帝是万能的。然后就把Descartes的书列入禁书目录了。1663年他的著作在罗马和巴黎被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书目录之中。

DescartesBlaisePascal说：“我不能原谅笛卡尔；他在其全部的哲学之中都想能撇开上帝。然而他又不能不要上帝来轻轻碰一下，以便使世界运动起来；除此之外，他就再也用不着上帝了。”DescartesDescartes认为数学立足于公理上的证明书无懈可击的，它提供了获得结果与有效证明结果的方法。为此，他撰写了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，书中提炼了数学实践的方法要点，并在书后附加了三个小附录：《几何》、《折光》、《彗星》。他想利用它自己的研究证明他的方法是行之有效的。Descartes认为方法是十分重要的，他批判Euclid的几何过于奇巧、并且常常依赖于图形。他强调了代数的一般性，并且希望通过代数的一般性使得几何推理变得机械化以减少工作量。在《代数》里，他的确地把代数应用到几何中去了。据史料记载，读《几何》这个小附录并非易事。书里有许多故意的含混之处，他只大概指出作图法或者证法，而不给出细节。他说他不愿意剥夺读者自己加工的乐趣。利用这张图，可以“证明”任意三角形都是等腰三角形。Descartes在《几何》中，他着重考虑了作图问题。他说，我们可以假定问题已经解决，然后弄清楚线段之间的关系，然后把同一个量用两种方式表达出来，这就可以解决这种问题。可以看出，这种方法其实就是代数中方程的思想。除此之外，Descartes在《几何》、《折光》这两部分都利用了他的“坐标几何”进行光学研究。他在《折光》中明确叙述了今天为人们所熟知的折射定律，与Snell分享了它的发现权。此外，他还考虑了如何设计望远镜、显微镜以及聚焦透镜。他成功解决了一般性问题：什么样的曲面作为两种介质的交界时，从第一种介质中的一点发出的光能折入第二种介质并聚焦到一点。他成功地找到了，这就是卵形线的旋转面。从这里我们看到Descartes对待数学的态度是主张应用它。较少关注数学上的美与协调。从这点上说，Descartes是与希腊文明决裂的。Descartes工作的目的是为了通过代数研究几何，他相信代数同几何一样也是逻辑严密的数学组成部分，而对代数的处理会比对几何图形的处理更方便。在他的《几何》中，他证明几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。Descartes引入了坐标系以及线段的运算概念。解析几何的成就为后人在微积分上的工作提供了一种（当然，虽然是外蕴的但是是最直观最简单的）观察方式，而后者又是现代数学的重要基石。他创新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解。从今天的角度看，Descartes取得了完全的成功，如今我们对几何的认识大部分来自代数。

Descartes解析几何的传播十七世纪，解析几何的传播并不如大家所想象的那样迅猛。正相反，解析几何的传播十分缓慢。Fermat虽然早在1629年就写出了小册子《平面与立体轨迹引论》并在他的朋友圈中流传，但直到1679年才出版（Fermat去世后十四年），因此1679年以前，很少有人了解到费马的工作。Descartes在《几何》中对几何作图的过分执着掩盖了书中利用曲线方程的部分，加之这本书又过分晦涩难懂。两位创始人的毛病使得解析几何传播缓慢。另一个原因是代数被认为缺乏严密性。在Euclid几何大行其道的当时，人们很清楚几何是什么，也清楚严密的逻辑基础是什么。而代数恰恰缺乏严密性。在这里喜闻乐见地说一句，后来大家继续研究Eucild几何的时候，Hilbert建立了新的（相对于Eucild那十个公理+公设更完备的）公理体系，顺便证明了，如果Eucild几何有逻辑矛盾，那么代数系统也一定有逻辑矛盾。而大家认为经过严密化的算术系统是不含逻辑矛盾的，因而确定Eucild几何也是不含逻辑矛盾的。这是对实数的诘难。整数（甚至有理数）的分数次方尚有定义，整数的无理数次方有怎样的几何意义？换句话说，无理数是什么？当时，人们宁可利用这样的图形表明和的平方公式，而不是像如今我们使用乘法分配律。解析几何的传播时代的局限FransvanSchooten鉴于Descartes把书写得晦涩难懂（而且以此沾沾自喜，这什么丧心病狂……），vanSchooten把Descartes的书译成了拉丁文，并且顺带写了一篇类似于注解的东西。大家终于能看懂了（不容易啊……）Johnwallis这位先生在他1655年写的《论圆锥曲线》中第一次得到了圆锥曲线的方程，这是他为阐明Apollonius的结果，把他的几何条件翻译成代数条件（类似于我们高中做的那样）而得到的。他的书有助于普及把圆锥曲线看成平面曲线（而不依赖于圆锥）的处理方法，同时也促进了解析几何的传播。解析几何的传播解析几何的巨大意义我们愿意介绍一下代数和几何之间的关系。15世纪以前，甚至是16世纪之前，代数依赖于几何意义而存在，数学家普遍认为解四次以上的方程式可笑的。代数的主要意义在于表示几何图形之间的数量关系。直到Vieta、Descartes和Fermat的工作逐渐被人承认后，人们（其实就是这几个人）开始用代数研究几何，代数逐步获得独立于几何的地位。到了18世纪，代数已经可以不依赖于几何，成为一门独立的学科(然而，代数的逻辑严密性依然是未解决的问题)。到了19世纪，实数的结构被认识，微积分有了严密的逻辑基石，微积分在解决问题上的巨大实用性使得人们开始转向利用微积分研究几何。同时，通过研究高次方程解的结构开辟的抽象代数理论展现出了蓬勃的生命力。近现代，特别是公理化数学之后，几乎所有的几何研究都通过代数完成，代数几何是现代数学中最前沿和最具活力的领域解析几何的巨大意义Descartes把代数提高到与几何同等重要的地位，，这一思想使人们能够认识典型的几何问题并能够把在几何形式上互不相同的问题归在一起。代数给几何带来最自然的分类和最自然的方法。自从有了代数，作图可能性问题就可能被归结为代数方程的可解性上，从而得到完美的解决。而可以设想，这些存在性的问题，单单通过几何几乎是不可能解决的。这样，数学的体系和结构就从几何转移到代数。Lagrange在他的《数学概要》中写道：“只要代数同几何分道扬镳，他们就进展缓慢，他们的应用就狭窄；但当他们结为伴侣时，他们就彼此吸取新鲜的活力，以快速的步伐走向完善。”代数经由几何助力而进一步走向完善，这也是欧洲社会生活的迫切需要，借由代数，人们开始能够计算债务、银行利率、抛射体轨迹等现实的社会问题。解析几何的巨大意义摘一段《数学辞海》里的评论：解析几何的巨大意义Newton显然是受到Descartes思想影响的人，考虑到解析几何对平面的阐述是两根线，作为几何直观很容易产生这样的暗示：自然世界是像平面那样，各向均匀的。而且坐标系是先于由坐标表示的曲线建立的，又很容易让人产生这样的暗示：物体的行为与所在时空是无关的。因此，解析几何强烈地暗示了绝对时空观。显然，这种时空观是与当时对宇宙的认识是一致的。解析几何的建立促进了Newton力学体系的建立。十八世纪初，欧洲社会进入了变革。1705年纽可门制成了第一台可供实用的蒸汽机；1768年瓦特制成了近代蒸汽机。由此引起了英国的工业革命，以后遍及全欧，生产力迅速提高。法国掀起的启蒙运动，人们的思想得到进一步解放。解析几何的建立，联系了数、形与物理的关系，昭示了函数概念，为微积分的进一步发展奠定基础。科学的思维上的变革还在继续，而方法上的变革则如排山倒海一般势不可挡。微积分：“由于解析几何的创立，微积分的出现也就成为必然了。”——恩格斯微积分在计算中的高度有效性使得几何论证毫无竞争性。这直接使得几何的统治地位瓦解，代数的统治地位确立。概率论：由于资本主义的兴起，赌博成为一项风靡欧洲城市的运动。法国数学家Pascal和Fermat基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。他们对这个问题进行了认真的讨论，花费了3年的思考，并最终解决了这个问题，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。变分法：变分法是从约翰·伯努利1696年在《教师学报》上提出最速曲线问题开始出现的。18世纪，物理将从中汲取莫大的力量，直接导致分析力学的出现。

关于一般高次方程求解的问题：当代数独立出来，人们开始拿出珍藏的五次方程研究其根式解，但几乎颗粒无收。知道法国天才Galois独创群论，才彻底解决了这一问题，同时引出了抽象代数理论。数系的进一步扩张：人们求解出三次方程后，发现一个包含虚数的表达式实际上可能是实数，由此引发了人们对虚数的第一次严肃考虑，数系由正实数直接向复数进发。射影几何：在文艺复兴时期，人们发现，一把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，形成了射影几何这门学科。这一学科使得人们对几何有了新的认识。关于十七世纪的其他现状及对未来的展望长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是