2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第三次质量检测（理）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市阎良区关山中学2022-2023学年高二下学期第三次质量检测数学（理）试题第I卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意，所以，则复数z在复平面内对应的点，为第四象限内的点.故选：D.2．（

）．A．15 B．30 C．45 D．60〖答案〗C〖解析〗，故选：C．3．设函数的导数为，且，则（

）A． B． C． D．2〖答案〗B〖解析〗由，令得，解得.故选：B.4．曲线在x=0处切线方程是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗函数，求导得，则曲线在x=0处切线斜率，而切点坐标为，所以曲线在x=0处切线方程是，即，A正确，BCD错误.故选：A.5．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（

）A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6〖答案〗C〖解析〗甲乙都不能译出密码得概率为，故密码被破译的概率为.故选：C.6.由直线及曲线围成的封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗联立，解得或，如下图所示：由图可知，所求区域的面积为.故选：B.7．用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗利用数学归纳法知：当时，假设成立，当时，需证成立，故从“到”左边需增加的代数式为：.故选：C.8.若，则（）A.-1 B.1 C.-2 D.2〖答案〗D〖解析〗令x=0，则，令x=1，则，所以.故选：D.9..随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，∵，∴，解得，则，∴．故选：B.10.市教育局要将5位新老师分配到三所高中任教，要求每个学校至少分配一个老师，则不同分配方法的种数为（）A.150 B.240 C.300 D.360〖答案〗A〖解析〗将5位新老师分配到三所高中任教，要求每个学校至少分配一个老师，分为两种情况：第一种情况是，一个学校3人，另外两个学校均为1人，此时有种方案；第二种情况，一个学校1人，另外两个学校均为2人，此时有种方案；综上可得共有.故选：A.11.掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数大于等于2”，B为“掷得点数为奇数”，则为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗事件有下列可能：，共5种；在事件A条件下满足条件有：共2种，所以.故选：D.12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)〖解析〗设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0<x<1，当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.第II卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的单调减区间是__________．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，，令，得，函数的单调递减区间是，故〖答案〗为．14.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量，则________．〖答案〗/〖解析〗设随机变量的概率为：，则，所以，由，所以，故〖答案〗为：.15.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X<2）等于________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：X服从超几何分布，X可取0，1，2.它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即，，，于是．故〖答案〗为：.16.若函数有两个实根，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗，原问题等价于直线与曲线有2个交点，，当时，单调递增，当时，单调递减，在处，取得极小值也是最小值，，当时，，，当时，，当趋于时，趋于；函数的大致图像如下：所以，k的取值范围是；故〖答案〗为：.三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）求实数的值，使复数分别是：（1）实数；（2）纯虚数.解：（1）若复数为实数，则，解得或.（2）若复数为纯虚数，则，解得.18.（12分)已知的展开式中，第项和第项的二项式系数相等.（1）求；（2）求展开式中的常数项.解：（1）由题意，，，整理得，解得，或（舍），；（2）二项展开式通项公式为，令，解得，故所求展开式中的常数项为.19.（12分）已知是的极值点.（1）求实数的值；（2）求在上的值域.解：（1），由题意得：是方程的根，，得，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以是函数的极值点，满足题意，实数的值为5；（2）由（1）得，，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，又，在上的值域为.20.（12分）小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.解：用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(eq\x\to(A))＝0.2，P(eq\x\to(B))＝0.3，P(eq\x\to(C))＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.21.（12分）某大型企业生产的产品细分为个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级的评为优秀，检测到级到6级的评为良好，检测到级到级的评为合格，检测到级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:等级12345678910频数10901001501502001001005050(1)从这件产品中随机抽取件，请估计这件产品评分为优良的概率；(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品，设这件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望及方差.解：（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件：产品的评分为良好.根据统计学原理，可以用样本来估计总体，由统计表得，.因为互斥，所以可以估计该件产品为优良的概率为.（2）由(1)知，评分为优秀的概率为，由题意得，则，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.所以的分布列为01234数学期望.22.（12分）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有最小值，证明：．（1）解：因为，函数的定义域为，则.①当时，对任意的，，函数的增区间为，无减区间；②当时，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为.（2）证明：由（1）可知，当时，函数的增区间为，则函数无最小值，当时，函数的减区间为，增区间为，此时函数有最小值.则，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，因为，所以，，即，因为，，所以，存在，使得，即，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，.因为函数在上单调递增，所以，，因此，.陕西省西安市阎良区关山中学2022-2023学年高二下学期第三次质量检测数学（理）试题第I卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意，所以，则复数z在复平面内对应的点，为第四象限内的点.故选：D.2．（

）．A．15 B．30 C．45 D．60〖答案〗C〖解析〗，故选：C．3．设函数的导数为，且，则（

）A． B． C． D．2〖答案〗B〖解析〗由，令得，解得.故选：B.4．曲线在x=0处切线方程是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗函数，求导得，则曲线在x=0处切线斜率，而切点坐标为，所以曲线在x=0处切线方程是，即，A正确，BCD错误.故选：A.5．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（

）A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6〖答案〗C〖解析〗甲乙都不能译出密码得概率为，故密码被破译的概率为.故选：C.6.由直线及曲线围成的封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗联立，解得或，如下图所示：由图可知，所求区域的面积为.故选：B.7．用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗利用数学归纳法知：当时，假设成立，当时，需证成立，故从“到”左边需增加的代数式为：.故选：C.8.若，则（）A.-1 B.1 C.-2 D.2〖答案〗D〖解析〗令x=0，则，令x=1，则，所以.故选：D.9..随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，∵，∴，解得，则，∴．故选：B.10.市教育局要将5位新老师分配到三所高中任教，要求每个学校至少分配一个老师，则不同分配方法的种数为（）A.150 B.240 C.300 D.360〖答案〗A〖解析〗将5位新老师分配到三所高中任教，要求每个学校至少分配一个老师，分为两种情况：第一种情况是，一个学校3人，另外两个学校均为1人，此时有种方案；第二种情况，一个学校1人，另外两个学校均为2人，此时有种方案；综上可得共有.故选：A.11.掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数大于等于2”，B为“掷得点数为奇数”，则为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗事件有下列可能：，共5种；在事件A条件下满足条件有：共2种，所以.故选：D.12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)〖解析〗设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0<x<1，当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.第II卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的单调减区间是__________．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，，令，得，函数的单调递减区间是，故〖答案〗为．14.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量，则________．〖答案〗/〖解析〗设随机变量的概率为：，则，所以，由，所以，故〖答案〗为：.15.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X<2）等于________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：X服从超几何分布，X可取0，1，2.它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即，，，于是．故〖答案〗为：.16.若函数有两个实根，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗，原问题等价于直线与曲线有2个交点，，当时，单调递增，当时，单调递减，在处，取得极小值也是最小值，，当时，，，当时，，当趋于时，趋于；函数的大致图像如下：所以，k的取值范围是；故〖答案〗为：.三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）求实数的值，使复数分别是：（1）实数；（2）纯虚数.解：（1）若复数为实数，则，解得或.（2）若复数为纯虚数，则，解得.18.（12分)已知的展开式中，第项和第项的二项式系数相等.（1）求；（2）求展开式中的常数项.解：（1）由题意，，，整理得，解得，或（舍），；（2）二项展开式通项公式为，令，解得，故所求展开式中的常数项为.19.（12分）已知是的极值点.（1）求实数的值；（2）求在上的值域.解：（1），由题意得：是方程的根，，得，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以是函数的极值点，满足题意，实数的值为5；（2）由（1）得，，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，又，在上的值域为.20.（12分）小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.解：用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(eq\x\to(A))＝0.2，P(eq\x\to(B))＝0.3，P(eq\x\to(C))＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.