2024届福建省福州教育学院附属中学高一下数学期末联考试题含解析

2024届福建省福州教育学院附属中学高一下数学期末联考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数（其中），对任意实数a，在区间上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或72．三棱锥中，平面且是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A． B． C． D．3．设全集，集合，则（）A． B． C． D．4．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．5．设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④.其中一定为等比数列的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①②6．给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．48．如果，且，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．已知直线与直线垂直，则（）A． B． C．或 D．或10．设变量想x、y满足约束条件为则目标函数的最大值为()A．0 B．-3 C．18 D．21二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正数、满足，则的最大值为__________．12．若把写成的形式，则______.13．若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列是等比数列，则数列_________也是等比数列.14．在中，角,,所对的边分别为，，，若的面积为，且,,成等差数列，则最小值为______．15．函数，的值域为________16．已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.18．已知圆经过点.（1）若直线与圆相切，求的值；（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.19．关于的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若，求的值.20．为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：（1）从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；（2）求频率分布直方图中a，b的值.21．已知数列前n项和，点在函数的图象上．(1)求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于的不等式，从而得到的范围，结合，得到答案.【详解】函数，所以可得，因为在区间上，函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，所以得即与的图像在区间上的交点个数大于等于4，小于等于8，而与的图像在一个周期内有2个，所以，即解得，又因，所以得或者，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.2、C【解析】根据已知中底面是边长为的正三角形，，平面，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球

∵是边长为的正三角形，∴的外接圆半径球心到的外接圆圆心的距离故球的半径故三棱锥外接球的表面积故选C．3、B【解析】

先求出，由此能求出．【详解】∵全集，集合，∴，∴．故选B．【点睛】本题主要考查集合、并集、补集的运算等基本知识，体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养．4、A【解析】

根据条件可求出，，从而可求出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】由题得；，，所以；；又；的夹角为．故选．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．5、D【解析】

设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】设，①,,所以数列是等比数列；②，，所以数列是等比数列；③，不是一个常数，所以数列不是等比数列；④，不是一个常数，所以数列不是等比数列.故选D【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.7、B【解析】

过该圆锥顶点S的截面三角形面积最大是直角三角形，根据面积为2求出圆锥的母线长，再根据正视图求圆锥底面圆的半径，最后根据扇形面积公式求圆锥的侧面积.【详解】过该圆锥顶点S的截面三角形面积最直角三角形，设圆锥的母线长和底面圆的半径分别为，则，即，又，所以圆锥的侧面积；故选B.【点睛】本题考查三视图及圆锥有关计算，此题主要难点在于判断何时截面三角形面积最大，要结合三角形的面积公式，当，即截面是等腰直角三角时面积最大.8、D【解析】

由，且，可得．再利用不等式的基本性质即可得出，．【详解】，且，．，，因此．故选：．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9、D【解析】

由垂直，可得，即可求出的值.【详解】直线与直线垂直，，解得或.故选D.【点睛】对于直线：和直线：，①；②.10、C【解析】

画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【详解】，当即时等号成立.故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.12、【解析】

将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查弧度与角度的互化，象限角的表示，属于基础题．13、【解析】

利用类比推理分析，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．【详解】由数列是等差数列，则当时，数列也是等差数列．类比上述性质，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．故答案为：【点睛】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．14、4【解析】

先根据,,成等差数列得到，再根据余弦定理得到满足的等式关系，而由面积可得，利用基本不等式可求的最小值.【详解】因为,,成等差数列，，故.由余弦定理可得.由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立.因为，所以，所以即，当且仅当时等号成立.故填4.【点睛】三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用合适的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.15、【解析】

先求的值域,再求的值域即可.【详解】因为,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦函数的值域与反三角函数的值域等,属于基础题型.16、1【解析】

由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得．【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴.故答案为：1．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）.【解析】

（I）设公差为，根据题意可列关于的方程组,求解，代入通项公式可得；（II）由（I）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【详解】（I）设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.∴点睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.18、(1)或.(2)【解析】试题分析：由题意可得圆的方程为．（1）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或，即为所求．（2）由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围．试题解析：将点的坐标代入，可得，所以圆的方程为，即，故圆心为，半径.（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即，整理得，解得或.（2）圆的圆心为，则,由题意可得圆与圆内含或外离，所以或，解得或.所以的取值范围为.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由行列式的运算法则，得原不等式即，而不等式的解集为，采用比较系数法，即可得到实数的值；（2）把代入，求得，进一步得到，再由两角差的正切公式即可求解.【详解】（1）原不等式等价于，由题意得不等式的解集为，故是方程的两个根，代入解得，所以实数的值为.（2）由，得，即.，【点睛】本题考查了行列式的运算法则、由一元二次不等式的解集求参数值、二倍角的正切公式以及两角差的正切公式，需熟记公式，属于基础题.20、（1）；（2），.【解析】

（1）由频率分布表即可得解；（2）由频率分布直方图中小矩形的高为频率与组距的比值，观察频率分布表的数据即可得解.【详解】解：（1）记“从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A，则；（2）由频率分布表可得：区间的频数为8，则，区间的频数为12，则.【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图，属基础题.21、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入函数的方程得到.利用，可求得数列的通项公式为.（2）利用裂项求和法求得.为递增的数列，当时有最小