高中数学人教B版选修2-2第二章-2.2.2-反证法课件

为数学打开一扇天窗让学生插上智慧翅膀x2

x2－(2x－2)=x2－2x＋2=x2－2x＋1＋1=(x－1)2＋1>0∴x2>2x－2.例1求证:2x－2与你能比较的大小吗?>不等式证明(1)比较法:差值步骤:①作差②变形③定号关键!(配方、因式分解、通分…)证明:…………….作差…………….变形…………….定号问题:x2>xyO2x－2x21－2例1求证:2x－2y=y=函数y=x2的图像在函数y=2x－2图像的上方.几何意义:例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)a2＋b2－ab－a－b

＋1222222=()≥0证明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.分组配方,变形为平方和结构.证明:=a2b2＋5－2ab＋a2＋4a=(ab－1)2＋(a＋2)2≥0(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)=(a2b2－2ab＋(a2＋4a＋4)＋1

)

∴a2b2＋5≥2ab－a2－4a.练习1.求证:a2b2＋5≥2ab－a2－4a.2.若x,y,z∈R,a,b,c∈R+,求证:≥2(xy+yz+zx)－2(xy+yz+zx)≥0证明:≥2(xy+yz+zx).－2xy－2yz－2zx练习例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)a2＋b2－ab－a－b

＋1222222=()≥0证明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.≥0证明2:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.1:例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)a2＋b2－ab－a－b

＋1222222=()≥0证明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.1:例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2≥2aba2＋12≥2ab2＋12≥2b2a2＋2b2＋2≥2ab＋2a＋2b

a2＋b2≥ab＋a＋b

－1证明3:a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)=a2＋b2－ab－a－b＋1相加≥0证明2:…………a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.a2＋b2≥2ab重要不等式:例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)证明=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋

(b2－b＋1)=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋

(b2－b＋1)≥0∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.4:(看着a的二次函数)f(a)=主元思想例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)证明=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋

(b2－b＋1)=a2＋b2－ab－a－b＋15:a△=－4(b2－b＋1)

(b＋1)2=－3(b－1)2≤0.∴f(a)≥0,二次项系数是1,函数思想(看着a的二次函数)f(a)=∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.主元思想=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a例3设a>b>c,求证:ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c

＋c2a)=ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)－－＋不行!=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a=b2(a－c)＋c2(b－a)＋a2(c－b)－－＋不行!a>b>ca－b>0b－c>0a－c>0分析:主元思想,可把零乱的字母归类,然后对式子进行有序管理.=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a例3设a>b>c,求证:ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.a>b>ca－b>0b－c>0a－c>0ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c

＋c2a)－＋＋=(c

－b)a2＋(b－c)(b＋c)a=

(c

－b)11-b-c=(c

－b)(a－b)(a－c)<0证明:=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a＋(b2－c2)a

＋bc(c－b)=(c

－b)(a－b)(a－c)<0[a2∴ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.因式分解(或变形)为积(或商)的形式,且符号可定.f(a)==

(c

－b)a2＋bc(c－b)以a为主变元－(b＋c)a＋bc]=(c

－b)(a－b)(a－c)=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a例3设a>b>c,求证:ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.a>b>ca－b>0b－c>0a－c>0证明:c－b<0,ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c

＋c2a)f(a)=二次项系数:△=－4bc(c－b)2

(b2－c2)2=(b－c)4=(c

－b)a2＋(b2－c2)a

＋bc(c－b)a看着a的二次函数>0.∴f(a)<0,

即ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.以a为主变元学生完成bc∵a>b,?并非一定要求整个函数图像都在x轴的下方3.设a,b,c∈[0,2],证明:4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca.a

f(a)==(b－c)2=(b－2)2＋(c－2)24a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca.练习(4a＋b2＋c2＋abc)－(2ab＋2bc＋2ca)≥0≥0f(a)≥0证明:a02f(a)aaaa=(4＋bc－2b－2c)＋b2＋c2－2bc以a为主变元:f(0)=f(2)=b2＋c2－2bcb2＋c2－4b－4c＋8小结(差值)比较法函数平方和式子的积商(关键!)方法配方因式分解通分…结果①作差②变形③定号步骤:主元思想函数思想思想:

本节课到此结束,请同学们课后再做好复习与作业。谢谢!再见!Homework:见后3.

已知a,b,m都是正数,并且a<b,求证:4.已知a,b都是正数,并且a

b,求证:a5+b5>a2b3+a3b22.求证:x2+3>3x6.己知函数f(x)=x2＋ax＋b,非负实数p,q满足p＋q=1,证明:pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy).5.已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1.求证:a2+b2+c2≥1.已知1<x<3,M=3x2－x＋1,N=4x2－5x＋4,则()AM<NBM=N

C

M>NDM与N大小不确定作业证明:5.已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1.求证:a2+b2+c2≥(3a2+3b2+3c2－1)a2+b2+c2－[3a2+3b2+3c2=－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc]－(a+b+c)2]==[(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2][3a2+3b2+3c2=≥0∴a2+b2+c2≥解答:小结(差值)比较法综合法分析法一题多解多题一解二次函数平方和式子的积商关键!举三反一是为了举一反三直接法间接法方法配方因式分解通分…结果①作差②变形③定号不管内容,不论成败,只作平台,给同仁们提供一个交流探讨的机会,所以献丑了,占用了大家的宝贵时间.题中变量:从例1的一个增加到例3的三个;解题方法:从最基本的配方、因式分解到主元思想、函数思想.关于层次感近年来,对习题课的类型教学有些不同看法,在应试教育下,为数众多的老师热衷于给学生讲习题类型,但是,常常只是“罗列式”,没有归纳、总结、升华,或者归纳总结升华得不十分得法、到位;另一种相反的观点是,课改之后要淡化类型.关于“类型”我认为:第一:类型是认识过程中的重要中介产品,心理学上叫图式,专家和新手之间的重要差别之一就是P133议应该说这节课条理清晰,让同学可以形成一定的认知结构.现在有为数不少的老师,在选择例题时是拉在篮里便是菜..笔者曾经听过一节课,这位老师在一系列例题中突然夹了一个和主题不相干的题目,事后我问她这道题,你的意图是什么?她回答说我在做题目的时候觉得这道题蛮好的,我就加进去了.相比这种情况,老师对例题的选择是有思考的,例题有一定的典型性,难度也适当.但是老师过于强调模仿,下面的话,老师在课堂上说过两遍以后遇到这样的类型就不怕了.这样的话,我关于层次感这样的话,我在其他老师嘴里也经常听到.看来,老师企图依靠把典型题目让大家做个遍,来达到提高质量的目的,这样恐怕免不了还是要走进题海的路子,我们常常说,为了让学生跳出题海,老师首先要跳进题海,老师跳进题海做什么?是要去芜存精,还要理岀头绪.去芜存精就是要选择典型的题目.理岀头绪则是要根据数学内在的结构和学生的认识规律.安排出乛个题目的屋次.这是两件很见功力的事情.这节课的选题还是可以的,可以改进的地方,主要就是应该根据数学的结构和学生的认知规律安排一个合理的层次,首先,老师指出今天的求值和过去的求值不同,那就是过去求值是已知x.Y的值,求关于xY的代数式的值.关于层次感今天的己知条件不那么具体,而只是知道了某个关于xY的条件.学生固然可以意会两者的差别,如果点明今天讲的是条件求值,以有别于以前学过的简单求值题是大有益,因为这有利于学生形成更好的认知结构.第二,点明条件求值的主题后,怎么么办?不应该急着就事论事地解这道题,而应该是组织大家思考能不能转化为普通求值.这样的思考,符合化未知为己知的化归思想,有利于学生的认识水平的提高.因此,把能够求出xY的值的例1(2)提前比较合适,因为它是化为简单求值题解决.这个次序上的调整,符合了这类问题的数学结构和认知规律.如果这样选择,安排和讲解例题不需要做很多的题目,不需要机械的模仿,学生可以容易地掌握这方面的知识技能,而且对各种方法的来龙去脉乛为什么要用这种方法?怎么想到用这种方法的?怎样用这种方法?乛比较清晰,不但知其然,亅而且知其所以然了,关于层次感也就是说可以帮助学生形成良好的认知结构.而要做到这样的安排,关键在于教师对数学的理解.正因为,老师对这段数学知识理解上还不够深刻,所以她的这节习题课,尽管比拉在篮里便是菜式习题课好得多,但还没有完全跳出罗列十模仿的框框..教师对数学的理解深不深,或者说数学功底好不好,这话不容易讲清楚,陈景润是大数学家,但做不好老师,我认识有位老师,在上级的解数学题的测试中表现良好,但就是教不好书面临换岗的局面.所以,对数学理解深刻,未必就是求学时数学成绩好,或者会做数学题.关于层次感张奠宙教授说数学有三种形态,原始形态,学术形态和教育形态.原始形态是数学家创造时的数学,弯弯曲曲的,学术形态则是数学家表达自己成果的形态,板起面孔的,而教育形态则是用学生容易接受的方式整理的.又是有利于学生发展的形态.我想,我们通常所说的教师对数学理解,本质上是对数学的教育形态掌握得比较好,运用得比较得当,这就要求我们研究每章每节的双基要求和结构,重点难点,以及学生容易造成错误的地方.P121:目前,大多数老师奉行的是题海战术.弄得学生很累很苦,而且还是摸不着头脑,而W老师认真钻研了相关的内容,她肯定做了很多的题目,把这些题目理出了思路,不等式证明有多种方法,第一种是比较法,比较法的关键是变形,而变形又常用三种方法!变形为完全平方的和,变形为某些式子的积(或商)(这些式子的符号可定).把它作为一次或二次函数来处理。这显出了W老师的数学功底是很好的.根据这些,W老师选择的例题就很有典型性了.典型的题目,应该是反映这类问题的本质,,而且最好有多种解法.运用一题多解可激发学生的兴趣,活跃了学生的思维。而且一题多解,不完全是技巧视野比较宽?譬如例l的几何解释,例2的证明3和涉及了主元思想.如果大家都像W老师那样.例题讲究典型性,又有方法的归纳,关键点的点拨,又进行一题多解培养思维的灵活性,还需要题海战术吗?有句话叫为了让学生跳出题海,要求我们教师先跳进题海，其实先跳进题海是第一步跳进去了还要思考整理.关于这节课不要一个人讲，而是调动学生的思维，大家一起来思考讨论，有些老师为活跃而活跃，其实学生课堂的活跃不活跃，不是看形式，而是看思维的状态。老师有放有收，在指导下放，活跃老师的劳动是创长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自