（二模）2025~2026学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题卷（含答案及解析）

2025~2026学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学注意事项: 2026.5.041.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。2.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣x2-2x≤0x∈ZA.{0,1} B.{-1,1,2} C.{0,1,2} D.{1,2,3}2.设i为虚数单位，若复数z=1+bib∈R满足z-z=2i,A.1 B.2 C.5 D.103.某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N17052,则身高落在区间[(参考数据：若X~Nμσ2A.3413 B.5120 C.6827 D.103284.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若AB=mA.m-n=12 B.m-n=12 C.m+n=-5.已知a＞0,则ax3+A.2 B.4 C.8 D.166.已知a＞0,b＞0,0＜c＜1,则“ac＜bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图，已知圆锥的轴截面为正三角形PAB，底面圆心为O，OD⊥PB,垂足为D.线段OD绕轴PO旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是A.85 B.75C.1078.已知函数fx=∣x3-3x2+kx∣k2),gx=xeA.94 B.52 C.e D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲、乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，则下列说法正确的有A.若抽取后放回，则P(A)=P(B)B.若抽取后不放回，则P(A)=P(B)C.若抽取后放回，则PD.若抽取后不放回，则P10.已知在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3tanAtanB.设函数A.C=B.f(x)在区间-πC.f(A+3B)+f(3A+B)=0D.f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点11.在平面直角坐标系xOy中，已知P是双曲线E:x2-y2=1上任意一点，射线OP上的点Qx0A.Ω关于x轴、y轴、原点O都对称B.Ω上的点到原点O的距离的最大值为1C.存在Q∈Ω,，使得Q到点(-20和点2D.任意Q∈Ω,∣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列an是各项均为正数的等比数列，设Tn=na1+13.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=2pxp0)的准线为l,点P(1,t)在C上，以P为圆心的圆与l相切且截y轴所得的弦长为14.甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的8张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片.记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当a＜b＜2a时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为；游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分，则三局游戏后甲、乙两人得分之和X的数学期望E(X)=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知A是锐角,cos2A=-(1)若a=bsinA,求a+cb(2)若a=25,b=2c,CD‖AB,AD平分∠BAC,求△16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为.(1)证明:AB=AC;(2)若.AB=1,AA1＞AB,直线B1C与平面BCD所成角的正弦值为17.(15分)已知函数fx=lnx2,曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为y=g数的底数).(1)求f(x)的极值;(2)证明:f18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x2a2和上顶点分别为A和B，∣AB∣=(1)求E的标准方程；(2)设P为线段AB上的动点，过P作平行于x轴的直线与E在第一象限内交于点M，点Q满足QP=PM,延长线段BQ交E①当P的横坐标为1时，记直线BM和BN的斜率分别为k₁和k₂，求1k②当直线MN的斜率为1时，直线MN与线段AB交于点G，记△BGM和△AGN的面积分别为S₁和S₂，求S119.（17分）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列an中，已知an+an+1=n,可以通过两种思路来求解：一是构造an+2-an已知数列an满足an+2an+1+an+2=f(1)若a1+a2(2)若a1=14,a(3)若a证明：当θ∈0π2025~2026学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学答案及解析注意事项: 2026.5.041.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。2.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣x2-2x≤0x∈ZA.{0,1} B.{-1,1,2} C.{0,1,2} D.{1,2,3}【答案】C【答案解析】∵x22.设i为虚数单位，若复数z=1+bib∈R满足z-z=2i,A.1 B.2 C.5 D.10【答案】B【答案解析】z-z=1+bi-3.某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N17052,则身高落在区间[(参考数据：若X~Nμσ2A.3413 B.5120 C.6827 D.10328【答案】C【答案解析】175=170+5=μ+σ,P170≤X≤175=P4.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若AB=mA.m-n=12 B.m-n=12 C.m+n=-12 D.m+n=1【答案】D【答案解析】AE=AB5.已知a＞0,则ax3+A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【答案解析】令x=1，各项系数之和为S=a+16.已知a＞0,b＞0,0＜c＜1,则“ac＜bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【答案解析】由ac＜bc＜1得0＜a＜b7.如图，已知圆锥的轴截面为正三角形PAB，底面圆心为O，OD⊥PB,垂足为D.线段OD绕轴PO旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是A.85 B.75C.107【答案】D【答案解析】方法一：过D作DE⊥PO于点E，OD绕PO旋转一周所得曲线为以OE为轴OD为母线的圆锥，△PAB为等边三角形，设AB=2，∴PO=S下=1方法二：设OB=1，则PO=3,PB=2.在Rt△POB中,OD⊥BD=OB2PB=12,设D到底面的高为h1=BD过D的水平截面以下圆台体积V曲面内部小圆锥体积V2=1上方几何体体积V3.已知函数fx=∣x3-3x2+kx∣k2),gx=xeA.94 B.52 C.e D.【答案】B【答案解析】方法一:0＜x≤2时,gx由题意知fx1max≤g成立,0＜x≤2时,-1≤令h∴h(x)在(0,2]上单调递减, ∴hkmax=5方法二：原条件等价于x∈gx=xe取x=2,f2=∣8-12+2k∣=2k-4≤1,k≤52hx2-x+12=x-12故k=52可以取到，k方法三：题目条件转化为fxmax≤gxmax⇒h⇒⇒h'x＞0,x∈x3x4拓展与深挖；1、量词结构：最大值比较：对闭区间[a，b]上的u(x)，v(x)，且最大值存在时，∀x1∈本题的xx2₂可以随xx1₁变化，不是同点比较，所以直接看g(2、端点卡参数：设hx=x3-3x2+kx.在x=2处，h若k≥52,则h又k+所以h这解释了为什么本题的最大参数在端点.x=2处确定.3、改编：若把右边函数改成gcx=cxex-1,c≥1,则kmax=2+c2.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲、乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，则下列说法正确的有A.若抽取后放回，则P(A)=P(B)B.若抽取后不放回，则P(A)=P(B)C.若抽取后放回，则PD.若抽取后不放回，则P【答案】ABC【答案解析】对于A，PA=对于B， PA=2对于C， PB=2对于D， PB∣A=12≠P10.已知在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3tanAtanB.设函数A.C=B.f(x)在区间-πC.f(A+3B)+f(3A+B)=0D.f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点【答案】AC【答案解析】因A+B+C=π,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=3tanAtanB,且tanAtanB≠0,所以tanC=3fx=sinx-sinx+π3=-cosx+π6.当x=-π设u=A+3B+cosu+cosv=2cos3π2cosu-v2=0,所以f(A+3B)+f(3A+Bfx=0cosx+π6=0x=π3+kπ,只有2个零点，D错误；故选AC.11.在平面直角坐标系xOy中，已知P是双曲线E:x2-y2=1上任意一点，射线OP上的点Qx0A.Ω关于x轴、y轴、原点O都对称B.Ω上的点到原点O的距离的最大值为1C.存在Q∈Ω,，使得Q到点(-20和点2D.任意Q∈Ω,∣【答案】ABD【答案解析】方法一：设Q(x,y),P(x₀,y₀),OP=λōọ=(λx,λy),λ2x2-λ对于A，将x换成-x或者y换成-y,Ω的方程均不变，∴A正确.对于B，设Qxy,∴x2+y2=对于C，设Qxy,∴x2≤x2+对于D，设{∴y02=ρ2sin2方法二：设∣OQ∣=r,Qx0y0,则r2=x0即Ω:x02+y对A，方程中x₀、y₀均为偶次，关于x轴、y轴、原点O都对称，A正确.对B, r4=x02-y0当Q(1,0)或Q(-1,0)时, ∣OQ∣=1, B正确.对C，记F∣d1-d所以∣d1-d2对D，令u=x02+y02y02=x0时等号可取，D正确.故选ABD方法三：方程为x对A,将.x0,y0分别替换为-x0,-y0,Ω的方程不变，所以对B,OQ2=cos2θ≤1⇒r≤1,所以Ω上点到原点O的距离的最大值为1，B正确对C由双曲线定义知，若∣dQ~F1-dQ~F2∣＞2,则点Q在双曲线x2-对D,y02=OQ2拓展与深挖：1、反演模型：本题条件本质是单位圆反演.设∣OP∣=s,∣OQ∣=r,二者方向相同，则sr=1.O这就是双纽线模型；就是x2、参数改编：如果把∣OP∣⋅∣OQ∣=1改为∣OP∣⋅∣OQ∣=λ,λ＞0,则P=λQr2.代入x2-y2=1得3、双曲线推广：若原曲线为x2a2-y2b2=1,仍取∣OP∣⋅∣OQ∣=1,则反演后轨迹满足4、C选项的命题陷阱：原双曲线上的点到两个焦点的距离差为2，但反演不保持这个距离差.对本题的Q，虽然焦点仍是-20,20,但∣d1-d2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列an是各项均为正数的等比数列，设Tn=na1+【答案】26【答案解析】由T1=a1=1,设公比为qTq13.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=2pxp0)的准线为l,点P(1,t)在C上，以P为圆心的圆与l相切且截y轴所得的弦长为【合栗】4【答案解析】抛物线准线为l:x=-p2,点P(1,t)在C上,所以t2=2p.以P为圆心的圆与l相切，r=dP~l=1+14.甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的8张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片.记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当a＜b＜2a时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为；游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分，则三局游戏后甲、乙两人得分之和X的数学期望E(X)=.【答案】14【答案解析】方法一：P=三次游戏“默契局”次数Y，Y~BX=2Y+方法二：总情况数为C82×6=168.当a=2,3,4,5,6,7时,甲的取法数依次为1,2,3,4,5,6;乙可取的b的个数依次为1,2,3,3,2所以默契局情况数为m=1×1+2×2+3×3+4×3+5×2+6×1=42.p=42168=14设三局中默契局次数为n，则每出现一局默契局，总分多1分，X=3+n方法三：设甲抽取的两张卡片编号为c，a(c＜a)，乙抽取的卡片编号为B.n=C82C61=168.题目条件要求(c＜a＜b＜2a.a=2⇒c=1,b=3,,共1×1=共3×3=9种.a=5⇒c∈{1,2,3,4},b∈{6,7,8},共4×3=12种.a=6⇒c∈{1,2,3,4,5},b∈{7,8},共5×2=10种.a=7⇒c∈{1,2,3,4,5,6},b=8,共6×1=6种.m=1+4+9+12+10+6=42.P=42168=设单局两人得分之和为Y，则Y∈EY=2×1拓展与深挖1、推广到编号为1，2，…，m的卡片.总情况数为(Cm2m-2.当最大编号为a时，甲的另一张有a-1种,乙可取的b有min(a-1,故s若m=2r,则sp2r=S2rC2r22r-2=1p2r+1=r22r-12r+1,本题m=8=2、得分结构：若单局默契局概率为p，玩k局，默契局次数为nk,则Xk=k+nkE四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知A是锐角,cos2A=-(1)若a=bsinA,求a+cb(2)若a=25,b=2c,CD‖AB,AD平分∠BAC,求△【答案解析】方法一： 1∵cos2A=-78,2∵a=bsinA,∴ab=sinA,∴C=9∴(2)∵b=2c, 由余弦定理得a∵a=2∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∴∠CAD=∠ADC,∴CD=AC=b=25S方法二： (1)因为cos2A=2cos2A-1=-7因为A是锐角，所以(cosA＞0,所以cosA=所以sinA=因为a=bsinA，所以由正弦定理asinA=bsinB得sinB=1,又因为B∈(0,π),所以B=π2,因为A+B+C=(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得20=5c2-c2,解得c=5,所以因为CD∥AB,所以∠ACD=π-A,所以sin∠ACD=sinπ-A=sinA=154.16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为.A(1)证明:AB=AC;(2)若.AB=1,AA1＞AB,直线B1C与平面BCD所成角的正弦值为【答案解析】方法一:(1)证明:取BC中点F,连接AF,EF,∵D,E分别为AA∴AD12BB..AF∴AB=AC.2∵AB=1,∴AB=AC=1,如图建系，设∴∴设平面BCD的一个法向量n∴∣h=1或2, ∵h方法二:(1)解法1:取BC中点F,连结EF,AF.因为E是B1C的中点，所以EF‖B由直三棱柱的性质知B1B‖A1A且B1又因为D是AA1的中点，所以.EF‖DA且EF=所以四边形ADEF为平行四边形，所以.AF‖DE.因为DE⊥平面BCC1B1又因为F是BC的中点，所以.AB=AC.解法2：由直三棱柱的性质知AA1⊥ABC,因为AB,AC⊂平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,又因为以A为坐标原点，AB，AC，AA₁所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设AB=a,AC=b,AA1=c,则B(a,0,0),C(0,b,0),A₁(0,0,c),B₁(a,0因为D，E分别为AA1和B1因为DE⊥BCC1B又因为BC=-ab由a＞0,b＞0解得a=b,即AB=AC.(2)解法1：在等腰直角△ABC中，因为AB=1,所以BC=由(1)知,DE⟂BCC设B1到平面BCD的距离为(d,则三棱雉B1-BCD的体积又因为三棱雉.D-BCB1的体积所以由等体积法VB1-BCD=VD-BC因为直线B1C与平面BCD所成角的正弦值为23所以h2-3h+2=0,因为h＞1,所以h=2,即解法2:因为a=b=1,所以由(1)知BC设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,z),则{n·BC→=-x+y=0,n·BD→=-x+c2设直线.B1C与平面BCD所成角为θ，则sinθ=∣即22+c2因为c=AA1＞1,所以c=2,即17.(15分)已知函数fx=lnx2,曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为y=g(1)求f(x)的极值;(2)证明: f【答案解析】方法一： 1fx=lnx2,x＞0,f'x=0＜x＜1时， lnx＜0,f'xx＞1时，lnx＞0,f'∴f(x)的极小值为.f(1)=0,无极大值.2设hx=fx令ux=lnx0＜x＜e时， u'(x)＞0,u(x))单调递增； x＞e时， u'(x)＜0,u(x))单调递减.∴ux0＜x＜e时， h(x)＞h(e)=0;x=e时， h(x)=0;x＞e时， h(x)＜h(e)=0.∴方法二： (1)因为fx=lnx2当0＜x＜1时，f'(x)＜0,f(x))单调递减；当x＞1时，f'(x)＞0,f(x))单调递增，所以f(x)的极小值为.f(1)=0,无极大值.(2)因为f'e=2e,所以y=f(x))在点P(y-fe=2ex-e,设hx=fx设h'x=tx=当0＜x＜e时,t'(x)＞0,t(x)单调递增;当x＞e时,t'(x)＜0,t(x)单调递减,所以t(x)的最大值为t(e)=0,即h'(x)≤0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减.因为h(e)=0,所以当0＜x＜e时,h(x)＞h(e)=0;当x＞e时,h(x)＜h(e)=0所以hx18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(1)求E的标准方程；(2)设P为线段AB上的动点，过P作平行于x轴的直线与E在第一象限内交于点M，点Q满足QP=PM,延长线段BQ交E①当P的横坐标为1时，记直线BM和BN的斜率分别为k₁和k₂，求1k②当直线MN的斜率为1时，直线MN与线段AB交于点G，记△BGM和△AGN的面积分别为S₁和S₂，求S1【答案解析】方法一： (1)由题意知ca=32a2+b(2)①直线AB方程:y=-12x+1,∵∵QP=PM,∴P为∴1k②设M∴1kBM+1kBN=x1y1椭圆E:∴⇒∴又∵kMN=-mn=1⇒n=-1联立{方法二： (1)设E的焦距为2C.因为离心率为ca=32因为∣AB∣=5,所以所以a=2，进而 c=所以E的标准方程为x(2)(1)当P的横坐标为1时, P因为P为线段QM的中点，所以Q所以k1=-1(2)设Mx1y1,Nx2y2由{y=x+m,x2所以x因为P为线段AB上的动点，直线AB的方程为y=-12x+1,因为QP=PM,所以Q因为B，Q，N三点共线，所以BQ又因为BN=x2将y1得6即64m2-45当m=1时，M(0，1)，与点M在第一象限内矛盾，舍去；当m=-1时，直线MN的方程为y=x-1,因为x1＞x2,所以x1所以S方法三： (1)题目条件为c∴∣AB∴E的标准方程为x(2)①由(1)知A(2,0),B(0,1),∴直线AB方程为x+2y-2=0当P的横坐标为1时，代入x+2y-2=0⇒y=∵PM∥x轴,∴M的纵坐标为12，代入E方程∵M在第一象限， ∴M312,∵QP=∴Q的横坐标为2×1-3=2-3,∴k∴k∴②设直线BM方程为x=m1y-1,直线其中m1=1k1,m2=1k2∵M，P，Q在平行于x轴的直线上，设Mx1y0代入∵QP=PM, ∴P为m将x=m(y-1)代入x设Mx1y1,Nx2y2,同理y2=m22直线MN的斜率为：y=∵直线MN的斜率为1，m∵M在第一象限，∴由my1=-4y-设Gx3y3∵B,G,A三点共线且M,G,N三点共线,.∴∠BGM与∠AGN为对顶角，