第4小题 平面向量（2个命题点9大题型）2024年高考《数学》复习题型分类与方法点拨（解析版）

第第页第4小题平面向量TOC\o"1-5"\h\u第4小题平面向量 1一、主干知识归纳与回顾 24.1.平面向量的概念 31.平面向量的概念： 34.2.平面向量的运算 32.1.向量的加法运算 32.2.向量的减法运算 32.3.向量的数乘运算 42.4.向量的数量积 44.3平面向量基本定理及坐标表示 53.1平面向量基本定理 53.2平面向量的正交分解及坐标表示 53.3平面向量加.减运算的坐标表示 53.4平面向量数乘运算的坐标表示 53.5平面向量数量积的坐标表示 5（一）命题角度剖析 6（二）考情分析 6（三）高考预测 6二、题型分类与预测 6命题点一：平面向量的概念与运算 71.1母题精析（三年高考真题） 7一．向量的概念与向量的模（共1小题） 7二．向量相等与共线（共1小题） 7三．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题） 7四．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题） 8五．平面向量的基本定理（共1小题） 10六．数量积表示两个向量的夹角（共3小题） 10七．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题） 121.2解题模型 121.3对点训练（四年省市模考） 16一．平面向量数量积的性质及其运算（共14小题） 16二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题） 22三．投影向量（共3小题） 23四．平面向量的基本定理（共1小题） 24五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题） 24六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共4小题） 25七．平面向量的综合题（共1小题） 26命题点二：平面向量在几何图形中的应用 281.1母题精析（三年高考真题） 28一．向量的概念与向量的模（共1小题） 28二．平面向量数量积的性质及其运算（共15小题） 29三．平面向量的基本定理（共1小题） 42四．数量积表示两个向量的夹角（共1小题） 43五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题） 43六．正弦定理（共1小题） 44七．余弦定理（共1小题） 45八．三角形中的几何计算（共2小题） 451.2解题模型 471.3对点训练（四年省市模考） 47一．向量的概念与向量的模（共1小题） 47二．平面向量数量积的性质及其运算（共17小题） 48三．平面向量的基本定理（共4小题） 62四．正弦定理（共1小题） 64五．三角形中的几何计算（共1小题） 65六．解三角形（共2小题） 66三、类题狂刷（五年区模、校模）： 68一．向量的概念与向量的模（共1小题） 68二．平面向量的线性运算（共1小题） 68三．平面向量数量积的性质及其运算（共26小题） 69四．投影向量（共2小题） 86五．平面向量的基本定理（共2小题） 87六．平面向量的坐标运算（共1小题） 88七．数量积表示两个向量的夹角（共3小题） 88八．正弦定理（共1小题） 90九．解三角形（共1小题） 90一、主干知识归纳与回顾4.1.平面向量的概念1.平面向量的概念：向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作. 单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：.规定：零向量与任意向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.4.2.平面向量的运算2.1.向量的加法运算1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则.2.≤（当且仅当与方向方向相同时等号成立）.3.向量加法的运算律：交换律：结合律：2.2.向量的减法运算1.相反向量：与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作.2.向量减法的定义：加上的相反向量，叫做与的差.3.向量减法的法则：三角形法则.2.3.向量的数乘运算1.数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：⑴；⑵当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反.2.运算律：；；3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算.4.平面向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.2.4.向量的数量积1.向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作,则叫做向量与的夹角.2.与垂直：如果与的夹角是，则与垂直，记作.3.数量积：已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.4.投影向量：向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.设与同方向的单位向量为，与的夹角为，则.5.数量积的性质：（1）（2）（3）或（4）6.数量积的运算律：（1）（2）（3）结论：，.4.3平面向量基本定理及坐标表示3.1平面向量基本定理平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.3.2平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中,设与轴.轴方向相同的两个单位向量分别为,取作为基底.对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得，这样平面内的任一向量都可由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.3.3平面向量加.减运算的坐标表示1.设，则：⑴，⑵，即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）2.已知，则.3.4平面向量数乘运算的坐标表示1.设，则.2.设,则向量共线的充要条件是.3.5平面向量数量积的坐标表示1.设，则：（1）（2）（3）（4）（5）设，则：.（一）命题角度剖析1.平面向量的概念与运算★★★★☆2.平面向量在几何图形中的应用★★★☆☆（二）考情分析高考频率：100%试题难度：中等呈现形式：以选择题或填空题（三）高考预测试题以平面向量的基本运算为主，考查平面向量的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角与模.着重考查函数与方程、数形结合、转化与化归思想二、题型分类与预测命题点一：平面向量的概念与运算1.1母题精析（三年高考真题）一．向量的概念与向量的模（共1小题）1．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则．【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解．【解答】解：，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题．二．向量相等与共线（共1小题）2．（2022•全国）已知向量，．若，则A． B． C． D．【分析】由已知可得，计算即可．【解答】解：，，．，，．故选：．【点评】本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．三．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）3．（2021•甲卷）若向量，满足，，，则．【分析】由题意首先计算，然后结合所给的条件，求出向量的模即可．【解答】解：由题意，可得，因为，，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题．4．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则．【分析】或或，三等式两边平方可解决此题．【解答】解：方法1：由得或或，或或，又，，，，，，，，．故答案为：．方法．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．5．（2022•乙卷）已知向量，满足，，，则A． B． C．1 D．2【分析】利用，结合数量积的性质计算可得结果．【解答】解：因为向量，满足，，，所以，两边平方得，，解得，故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．四．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）6．（2020•浙江）已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是．【分析】设、的夹角为，由题意求出；再求，的夹角的余弦值的最小值即可．【解答】解：设、的夹角为，由，为单位向量，满足，所以，解得；又，，且，的夹角为，所以，，；则，所以时，取得最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，是中档题．7．（2022•乙卷）已知向量，，则A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先计算的坐标，再利用坐标模长公式求解．【解答】解：，故，故选：．【点评】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题．五．平面向量的基本定理（共1小题）8．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则A． B． C． D．【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．【解答】解：如图，，，即．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．六．数量积表示两个向量的夹角（共3小题）9．（2023•甲卷）向量，，且，则，A． B． C． D．【分析】根据题意，用、表示，利用模长公式求出，，再计算与的数量积和夹角余弦值．【解答】解：因为向量，，且，所以，所以，即，，解得，，所以，又，，所以，，所以，．故选：．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题．10．（2023•甲卷）已知向量，，则，A． B． C． D．【分析】根据题意，求出和的坐标，进而求出、和的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，则，，则有，，，故，．故选：．【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题．11．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则A． B． C．5 D．6【分析】先利用向量坐标运算法则求出，再由，，，利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数的值．【解答】解：向量，，，，，，，，，解得实数．故选：．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．七．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）12．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则A． B． C． D．【分析】由已知求得与的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．【解答】解：，，，，由，得，整理得：，即．故选：．【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．1.2解题模型1．平面向量基本定理和性质（1）共线向量基本定理如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若，则．推论2：若，则．（3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DDACB（4）三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在，使得．（5）中线向量定理如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．DDACB2．平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式．（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．2．平面向量数量积主要有两个应用：（1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．3．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：（1）向量与平面几何综合问题的解法①坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．②基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．（2）用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．4．利用向量求解三角函数问题的一般思路：（1）求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．（3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．（4）解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题．5．用向量法解决物理问题的步骤如下：（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；（2）建立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题．6．常见的向量表示形式：（1）重心．若点G是的重心，则或（其中P为平面内任意一点）．反之，若，则点G是的重心．（2）垂心．若H是的垂心，则．反之，若，则点H是的垂心．（3）内心．若点I是的内心，则．反之，若，则点I是的内心．（4）外心．若点O是的外心，则或．反之，若，则点是的外心．已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系（当且仅当时等号成立）1.3对点训练（四年省市模考）一．平面向量数量积的性质及其运算（共14小题）1．（2023•福州模拟）已知向量在单位向量上的投影向量为，则A． B． C．3 D．5【分析】根据投影向量的概念，即可求解．【解答】解：向量在单位向量上的投影向量为，又，，，．故选：．【点评】本题考查投影向量的定义，向量数量积的运算，属中档题．2．（2023•泉州模拟）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为A．1 B． C．2 D．4【分析】由平面向量数量积的坐标运算，结合向量的模的运算及重要不等式的应用求解即可．【解答】解：已知平面向量，，满足，设，，，又，，，，即，则，则，当且仅当时取等号，即的最小值为2，故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量的模的运算及重要不等式的应用，属基础题．3．（2022•福州模拟）已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最大值为A． B． C．1 D．【分析】利用和向量数量积的运算律可求得，并将所求式子化为，由可求得结果．【解答】解：，，，，，的最大值为．故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算以及最大值问题，属于中档题．4．（2022•福州模拟）已知向量，为单位向量，且，则A． B．3 C． D．5【分析】由题意可得，根据数量积的运算律即可求得答案．【解答】解：由题意可得，，则，故选：．【点评】本题考查数量积的应用，考查学生运算能力，属于中档题．5．（2022•龙岩模拟）已知，，，，则与的夹角为A． B． C． D．【分析】根据题意，求出、和的值，有向量数量积的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，，，，，则，，则，，，则与的夹角为；故选：．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．6．（2021•泉州一模）已知单位向量，满足，且，则，A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出的长度，，然后求解向量数量积的余弦函数值，再求解，．【解答】解：单位向量，满足，且，所以．，所以，，所以，．故选：．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．7．（2019•漳州二模）已知向量，满足，且与夹角为，则A．6 B． C． D．7【分析】先去括号再用数量积的性质运算可得．【解答】解：故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．8．（2021•漳州模拟）已知向量与的夹角为，，，则A．2 B． C．4 D．【分析】直接利用向量的数量积的求法，化简求解即可．【解答】解：向量与的夹角为，，，则．故选：．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．9．（2021•龙岩模拟）已知，，且与的夹角为，则A． B．1 C．2 D．3【分析】利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．【解答】解：，，且与的夹角为，则．故选：．【点评】本题考查平面向量的数量积的求法，是基础题．10．（2023•泉州模拟）已知向量，，则下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．的最大值为2 D．的取值范围是，【分析】由平面向量共线及垂直的坐标运算，结合平面向量的模的运算及三角函数值域的求法逐一判断即可得解．【解答】解：已知向量，，对于选项，当时，，则，则，即选项正确；对于选项，若，则，即，则，，即选项错误；对于选项，，，即的最大值为2，即选项正确；对于选项，，则，，即选项正确．故选：．【点评】本题考查了平面向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了平面向量的模的运算及三角函数值域的求法，属基础题．11．（2023•福建模拟）已知向量，，则A． B． C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是【分析】先计算和，再根据平面向量数量积的坐标运算法则可判断选项，由模长的计算方法可判断选项，根据投影向量的计算方法可判断选项和．【解答】解：因为，，所以，，选项，，所以不成立，即错误；选项，，，所以，即正确；选项，，，，所以在上的投影向量为，，即正确；选项，，，，所以在上的投影向量为，，，，即错误．故选：．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，投影向量的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．（2023•莆田模拟）已知向量，均为单位向量，与夹角为，则．【分析】利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：由已知可得：，．．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（2022•莆田模拟）已知向量，若，则或．【分析】根据题意，求出的坐标，再由数量积的坐标计算公式可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，则，若，则，解可得或，故答案为：或．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．14．（2022•三明模拟）若单位向量，满足，则与的夹角为．【分析】根据题意，由向量数量积与向量垂直的关系可得，变形可得，结合的范围可得答案．【解答】解：根据题意，设向量，夹角为，若，则，则有，又由，，则，故答案为：．【点评】本题考查数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）15．（2023•泉州模拟）已知，为单位向量，，则．【分析】由题可得，再代入即得．【解答】解：因为，为单位向量，，所以，所以，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了向量数量积的运算，考查了向量的模长公式，属于基础题．16．（2022•泉州模拟）已知向量，，若的夹角为，则．【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：因为，，，的夹角为，所以，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础题．三．投影向量（共3小题）17．（2023•泉州模拟）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为A． B． C． D．【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解．【解答】解：由已知条件得：，即，又在方向上的投影向量为．故选：．【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．18．（2023•福州模拟）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及投影向量的公式，即可求解．【解答】解：因为，与的夹角为，所以，则在上的投影向量为．故选：．【点评】本题主要考查向量的数量积公式，以及投影向量的求法，属于基础题．19．（2023•三明三模）若向量，满足，与垂直，则在上的投影向量为A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合向量的数量积运算，以及投影向量的公式，即可求解．【解答】解：，与垂直，则，即，，故在上的投影向量为．故选：．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，以及投影向量的公式，属于基础题．四．平面向量的基本定理（共1小题）20．（2022•宁德模拟）已知点是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为A．4 B．6 C．8 D．9【分析】根据平面向量的线性运算法则可得，再由，，三点共线，知，然后利用基本不等式中的“乘1法”，得解．【解答】解：因为中线，所以，所以，又，，三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：．【点评】本题考查平面向量基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）21．（2021•三元区校级模拟）已知向量，，且与共线，则A． B． C． D．【分析】由与共线，先求出与，再由向量共线的性质列出方程，能求出．【解答】解：向量，，与共线，，解得．故选：．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．22．（2023•龙岩模拟）已知向量，若，则．【分析】先求出，再由平行向量的坐标表示即可得出答案．【解答】解：由可得：，又因为，由，可得：，解得：．故答案为：．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共4小题）23．（2023•莆田模拟）已知向量，，若，则A．0 B． C．1 D．2【分析】根据平面向量的坐标运算求解．【解答】解：由题意可得：，若，则，解得．故选：．【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．24．（2022•泉州模拟）已知向量，，且，则的值为A． B． C．1 D．2【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．【解答】解：向量，，且，，，故选：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．25．（2022•福建模拟）已知向，，，若，则实数．【分析】根据即可得出，再根据即可求出的值．【解答】解：，，且，．故答案为：．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量数量积的坐标表示，考查了计算能力，属于基础题．26．（2022•莆田模拟）已知向量，，，若，则．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值．【解答】解：向量，，，，则，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．七．平面向量的综合题（共1小题）27．（2022•厦门模拟）已知，为单位向量，满足，则的最小值为A． B． C． D．【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，即，，建立坐标系，分析的几何意义，结合点与圆的位置关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，，为单位向量，满足，变形可得，则有，即，，如图建立坐标系，，，，，，，，，又由，即，在以为圆心，半径为1的圆上，是该圆为圆，，则为圆上任一点到点的距离，又由，则的最小值为；故选：．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的坐标计算，属于中档题．命题点二：平面向量在几何图形中的应用1.1母题精析（三年高考真题）一．向量的概念与向量的模（共1小题）1．（2020•江苏）在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是0或．【分析】以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，求得与的坐标，再把的坐标用表示．由列式求得值，然后分类求得的坐标，则的长度可求．【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，由，得，整理得：，，，．由，得，解得或．当时，，此时与重合，；当时，直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，．即，，．的长度是0或．故答案为：0或．【点评】本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．二．平面向量数量积的性质及其运算（共15小题）2．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，，则A． B． C． D．【分析】法一、由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案；法二、由题意画出图形，利用向量的模及数量积运算逐一分析四个选项得答案．【解答】解：法一、，，，，，，，，，，，，则，，则，故正确；，，，故错误；，，，故正确；，，，故错误．故选：．法二、如图建立平面直角坐标系，，作出单位圆，并作出角，，，使角的始边与重合，终边交圆于点，角的始边为，终边交圆于，角的始边为，交圆于，于是，，，，由向量的模与数量积可知，、正确；、错误．故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．3．（2023•乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则A． B．3 C． D．5【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．【解答】解：正方形的边长是2，是的中点，所以，，，，则．故选：．【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．4．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为；若，则的最大值为．【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可．【解答】解：在中，，，点为的中点，点为的中点，，，则；设，，由余弦定理可得：，又，即，当且仅当时取等号，又，则，则，即的最大值为．故答案为：；．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用，属中档题．5．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设，计算可得，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解．【解答】解：在中，，，，以为坐标原点，，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图：则，，，设，因为，所以，又，，所以，设，，所以，其中，当时，有最小值为，当时，有最大值为6，所以，，故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．6．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是，．【分析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设，进而得到，根据点的位置可求出的范围，从而得到的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，设，则，，，，，即的取值范围是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．7．（2021•天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为1；的最小值为．【分析】设，表示出，，，利用数量积的定义与性质即可求出．【解答】解：如图，设，是边长为1等边三角形，，，，，，，是边长为等边三角形，，，则，，，的最小值为．故答案为：1，．【点评】本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．8．（2020•山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．【解答】解：画出图形如图，，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，在处取得最小值，，最小值为，是边长为2的正六边形内的一点，所以的取值范围是．故选：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题．9．（2020•天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为，若，是线段上的动点，且，则的最小值为．【分析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，，，，，，，，，设，，，，，，，解得，，，，，，，，设，则，其中，，，，，，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．10．（2019•江苏）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是．【分析】首先算出，然后用、表示出、，结合得，进一步可得结果．【解答】解：设，，，，，，，，，．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．11．（2019•天津）在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则．【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：，，，在等腰三角形中，，又，，，，又，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．12．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则，，，直线的方程为，即，点在直线上，设，，，，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．13．（2020•北京）已知正方形的边长为2，点满足，则；．【分析】根据向量的几何意义可得为的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由，可得为的中点，则，，，故答案为：，．【点评】本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题．14．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则．【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中点，．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．（2018•天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为A． B． C． D．0【分析】解法Ⅰ，由题意判断，且，再利用余弦定理求出和的余弦值，计算即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形是平行四边形，由题意求得的值．【解答】解：解法Ⅰ，由题意，，，，，且，又，；，，．解题Ⅱ：不妨设四边形是平行四边形，由，，，，，知，．故选：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．16．（2018•天津）如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为A． B． C． D．3【分析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】解：如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，当时，取得最小值为．故选：．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．三．平面向量的基本定理（共1小题）17．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则A． B． C． D．【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．【解答】解：如图，，，即．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．四．数量积表示两个向量的夹角（共1小题）18．（2020•全国）设点，，在上，若，则A． B． C． D．【分析】根据已知条件，推得，即，再结合平面向量的数量积公式，即可求解．【解答】解：设，，，即，，解得，，同理可得，，，△是等边三角形，．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）19．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为，若，则的最大值为．【分析】由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出的最小值，可得的最大值．【解答】解：中，，，是中点，，如图：．，，，即，即，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故的最大值为，即的最大值为，故答案为：；．【点评】本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于中档题．六．正弦定理（共1小题）20．（2022•甲卷）已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，．【分析】首先设出，，在两个三角形中分别表示，，继而，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即或（舍去），即时取等号，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．七．余弦定理（共1小题）21．（2021•浙江）在中，，，是的中点，，则；．【分析】在、和中用余弦定理即可解决此题．【解答】解：在中：，，，解得：或（舍去）．点是中点，，，在中：，；在中：．故答案为：；．【点评】本题考查余弦定理应用，考查数学运算能力，属于中档题．八．三角形中的几何计算（共2小题）22．（2023•甲卷）在中，，，，为上一点，为的平分线，则2．【分析】在中，根据正弦定理可求出，从而可得，即得．【解答】解：如图，在中，，，由正弦定理可得，，又，，，又为的平分线，且，，又，，．故答案为：2．【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题．23．（2019•浙江）在中，，，，点在线段上，若，则，．【分析】解直角三角形，可得，，在三角形中，运用正弦定理可得；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．【解答】解：在直角三角形中，，，，，在中，可得，可得；，，即有，故答案为：，，【点评】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．1.2解题模型1.向量法解决平面几何问题的“三步曲”一、转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化转化为向量问题二、运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系如距离、夹角等问题三、翻译：把运算结果“翻译”成几何关系2.向量法解决平面几何问题的两种方法用向量法解决平面几何问题，一般来说有两种方法.(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底),将题中涉及的向量用基底表示.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，题目中已建好平面直角坐标系或易建平面直角坐标系的问题适合用坐标法.3.求平面几何中的范围或最值的方法(1)函数法：将待求式构造成函数，转化为求函数的最值的问题.(2)不等式法：将待求式利用绝对值不等式或均值不等式等进行放缩.(3)坐标法：在原图以特殊点为坐标原点，建立平面直角坐标系，并将各点用坐标表示出来，再结合题意求解.(4)几何法：通过数形结合，找出最大(小)值.1.3对点训练（四年省市模考）一．向量的概念与向量的模（共1小题）1．（2023•南平模拟）已知正方形的边长为1，点满足，则A． B．1 C． D．【分析】由已知结合向量的线性运算即可求解．【解答】解：因为正方形的边长为1，点满足，所以为的中点，则．故选：．【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．二．平面向量数量积的性质及其运算（共17小题）2．（2023•泉州模拟）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（参考数据：，．A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果．【解答】解：设，由题意可得：，即，可知表示正方形，其中，，，，即点在正方形的边上运动，因为，由图可知：当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：①点为点，则，可得；②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，则；因为，所以的最大值为．故选：．【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题．3．（2023•厦门模拟）已知定点在边长为1的正方形外，且，对正方形上任意点，都有的面积，则的最大值为A． B． C．1 D．【分析】建立平面直角坐标系，依题意在线段的垂直平分线上，根据面积公式及数量积的定义得到，即可确定的坐标，设，表示出，再由不等式的性质求出的取值范围，即可得解．【解答】解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，在线段的垂直平分线上，又，即，，则，，即，设，则，，，解得或，又定点在边长为1的正方形外，，设，则，，，若在线段上，则，，，此时，，则，，则，若在线段上，则，，，此时，，则，，则，若在线段上，则，，，此时，，则，，则，若在线段上，则，，，此时，，则，，则，综上可得，的最大值为1．故选：．【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．4．（2023•福建模拟）在中，，，，为所在平面上的一点，，则的最大值为A． B．25 C． D．【分析】建系，设，则，利用向量数量积的坐标表示及定点到圆上点最值求的最大值．【解答】解：以为原点，，分别为轴，轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则，，，所以，而与的距离为，根据圆的几何性质可得的最大值为，的最大值为．故选：．【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，化归转化思想，属中档题．5．（2023•漳州模拟）已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为A． B． C． D．【分析】根据题意，分析可得是的中点，由此可得，又由，分析有，可得，由投影向量的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，的外接圆的圆心为，由于，则是的中点，则为圆的直径，必有，同时有，又由，则，又由，则，故向量在向量上的投影向量，，．故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及投影向量的定义和计算，属于基础题．6．（2023•厦门模拟）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为A． B．， C． D．，【分析】把转化为，由余弦定理、数量积的定义得，讨论的位置得，结合锐角三角形恒成立，即可得范围．【解答】解：由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，又，而，若外接圆半径为，因为，，，两边平方得，，，则，故，且，即，由，对于且在圆上，当为直径时，当，重合时，，综上，，锐角三角形中，则，即恒成立，，则恒成立，综上所述，的取值范围为，．故选：．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，以及余弦定理的应用，属于中档题．7．（2022•莆田模拟）已知是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为A．16 B．12 C．5 D．4【分析】延长到，使得，可得点在直线上，化简可得，即可求出最小值．【解答】解：如图，延长到，使得，因为，所以点在直线上，取线段的中点，连接，则，显然当时，取得最小值，因为，，则，所以最小值为，所以的最小值为，故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，数形结合思想，属于中档题．8．（2022•厦门模拟）平面四边形中，，，，，则的最小值为A． B． C． D．【分析】根据题意画出图形，结合图形建立平面直角坐标系，从而求出的最小值．【解答】解：平面四边形中，，，，，如图所示：则点在以为直径的圆劣弧上，因为的中点为，，，所以圆的标准方程为，设，其中，，则，，所以，，即的最小值为．故选：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，解题的关键是建立坐标系，利用坐标表示向量，是基础题．9．（2022•漳州模拟）已知是边长为2的正三角形，为线段上一点（包含边界），则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【分析】通过建立坐标系，设出的坐标，化简向量数量积的表达式，通过表达式的几何意义，求解即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如图：设，，，，，，直线的方程：，可得，它的几何意义是线段上的点与坐标原点距离的平方减去1，最小值为：到的距离的平方减去1，即，最大值为：．所以的取值范围为：．故选：．【点评】本题考查平面向量的数量积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10．（2021•漳州模拟）已知直角梯形中，，，是边上一点（不包括、两点）．若，，且，则的最小值为A．0 B．2 C．3 D．4【分析】以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算以及二次函数的性质即可求解．【解答】解：根据题意，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示：因为，，所以，，，设，，，所以，所以，所以，，所以，因为，所以当时，有最小值为3．故选：．【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，考查转化思想、函数思想与运算求解能力，属于中档题．11．（2021•莆田模拟）在中，若，，，则A．3 B． C．4 D．【分析】利用已知条件求解的余弦函数值，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：在中，若，，，可得，所以．故选：．【点评】本题考查新来的数量积的求法，三角函数求值，是基础题．12．（2023•福建模拟）已知向量，，则A． B． C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是【分析】先计算和，再根据平面向量数量积的坐标运算法则可判断选项，由模长的计算方法可判断选项，根据投影向量的计算方法可判断选项和．【解答】解：因为，，所以，，选项，，所以不成立，即错误；选项，，，所以，即正确；选项，，，，所以在上的投影向量为，，即正确；选项，，，，所以在上的投影向量为，，，，即错误．故选：．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，投影向量的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13．（2023•福州模拟）已知为坐标原点，点，则下列说法中正确的是A． B． C． D．【分析】分别求出对应的向量坐标，利用向量长度以及向量数量积的定义进行验证即可．【解答】解：因为点，所以，，即，正确；因为，，，，则，，则，即，故正确；，，则，故正确；，故错误．故选：．【点评】本题主要考查向量模长以及向量数量积的运算，利用向量坐标公式以及两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．14．（2023•福建模拟）平面向量满足，对任意的实数，恒成立，则A．与的夹角为 B．为定值 C．的最小值为 D．在上的投影向量为【分析】由题意可得：与的夹角，然后根据向量的运算逐项进行检验，即可求解．【解答】解：设平面向量与的夹角为，对任意的实数，恒成立，对任意的实数，恒成立，又，对任意的实数，恒成立，△，，，选项正确；对选项，与变量有关，选项错误；对于选项，，当时，取最小值，选项错误；对选项，在上的投影向量为：，选项正确，故选：．【点评】本题考查向量的数量积的性质与定义，恒成立问题，投影向量的定义，化归转化思想，函数思想，属中档题．15．（2022•荔城区校级模拟）四边形为边长为1的正方形，为边的中点，则A． B． C． D．【分析】本题，，选项利用三角形法则进行线性运算得到结果，选项将进行转化为从而进行计算即可．【解答】解：选项，，故选项错误，选项，，故选项正确，选项，，故选项错误，选项，，，，故选项正确，故选：．【点评】本题主要考查向量三角形法则及数量积运算，属于基础题．16．（2023•漳州模拟）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为；记，分别是方向上的单位向量，且，，则，为常数）的最小值为．【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，得出球的面积，由所给条件可取与的方向相同或与的方向相同，问题可转化为求平面上一点与的距离的最小值，即求到平面的距离得解．【解答】解：在中，，所以，，所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为．由，及可得，，，所以与的方向相同或与的方向相同，不妨取与的方向相同，由平面向量基本定理可得必与共面，在平面上取一点，故可设，则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为．故答案为：；．【点评】本题主要考查球的表面积公式，向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．17．（2022•城厢区校级模拟）在正三角形中，是上的点，，，则．【分析】根据题意利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义、两个向量的数量积的定义，求得的值．【解答】解：由题意可得，故答案为：6．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．18．（2022•城厢区校级模拟）在中，，，，，则．【分析】由题意画出图形，由已知数量积求得，再由余弦定理求解．【解答】解：如图，由，可得，由，得，，可得，则．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合思想，是中档题．三．平面向量的基本定理（共4小题）19．（2023•漳州模拟）如图，在正方形中，，分别为边、的中点，若，，则A． B． C． D．【分析】根据向量的运算法则得到，，得到答案．【解答】解：，，故．故选：．【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．20．（2022•宁德模拟）已知点是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为A．4 B．6 C．8 D．9【分析】根据平面向量的线性运算法则可得，再由，，三点共线，知，然后利用基本不等式中的“乘1法”，得解．【解答】解：因为中线，所以，所以，又，，三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：．【点评】本题考查平面向量基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．（2021•福州一模）在中，为边的中点，为边上的点，，交于点．若，则的值为A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设，可得，由，，三点在同一条直线上，可求得的值，即可得解．【解答】解：设，因为，所以，因为，，三点在同一条直线上，所以，所以，所以．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，三点共线的充要条件，属于基础题．22．（2023•漳州模拟）已知，点满足，点为线段上异于，的动点，若，则的取值范围是．【分析】利用向量得加减法，利用为基底，表示出，整理方程，结合二次函数得性质，可得答案．【解答】解：由题意设，，因为，所以，所以，又，则，所以，又因为，由二次函数得性质得，所以得取值范围为．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量基本定理，属于基础题．四．正弦定理（共1小题）23．（2023•福州模拟）天文学家、数学家梅文鼎，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆证明正弦定理的方法．如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，为锐角三角形外接圆的圆心．若，则A． B． C． D．【分析】易知，，再利用诱导公式以及二倍角公式即可得解．【解答】解：由圆的性质可知，，而，则．故选：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．五．三角形中的几何计算（共1小题）24．（2022•荔城区校级模拟）如图，已知为的重心，且，若，则角的大小为．【分析】取的中点，连接，结合直角三角形的性质和重心的性质，可得，由，将其两边平方，并利用余弦定理，即可得解．【解答】解：取的中点，连接，因为为的重心，所以点在上，又，所以，，由，得，所以，即①，由余弦定理知，②，由①②可得，，因为，即，所以，因为，所以．故答案为：．【点评】本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握平面向量的线性运算与数量积的运算，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．六．解三角形（共2小题）25．（2022•厦门模拟）埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）．同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为．因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为A．37680千米 B．39250千米 C．41200千米 D．42192千米【分析】首先读懂题意，根据比例关系，即可求解地球周长．【解答】解：由亚历山大城到赛伊尼走，则地球大圆周长的视距段为，则，得个视距段，则地球的周长为米千米．故选：．【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属于基础题．26．（2021•泉州二模）拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点．”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值．如图，设代表旧城区，新的城市发展中心，，分别为正，正，正的中心．现已知，，△的面积为，则的面积为．【分析】连接，，得，，，，进一步可得，利用勾股定理求得，再由余弦定理，则的面积可求．【解答】解：如图所示，连接，，由题意得：，，，，又，，又，，由勾股定理可得：，则，得，由余弦定理可得：又，解得，．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，考查余弦定理的应用，是中档题．三、类题狂刷（五年区模、校模）：一．向量的概念与向量的模（共1小题）1．（2023•鼓楼区校级模拟）已知，，则A．2 B．4 C． D．【分析】由，两边平方可得，再由向量展开代入求解即可．【解答】解：由题意，可得，即，又，，代入可得，解得，所以，故选：．【点评】本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题．二．平面向量的线性运算（共1小题）2．（2023•惠安县模拟）在正方形中，在上且有，与对角线交于，则A． B． C． D．【分析】根据已知条件结合向量的三角形法则及线性运算，即可求解结论．【解答】解：如图：在正方形中，在上且有，与对角线交于，，且，，可得，可得，，故选：．【点评】本题主要考查向量的线性运算，考查计算能力，属于基础题．三．平面向量数量积的性质及其运算（共26小题）3．（2023•泉州模拟）已知平面向量，，且，则A．1 B．14 C． D．【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解．【解答】解：因为，，，所以，，所以．故选：．【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．4．（2023•沙县模拟）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是A． B． C． D．【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到，，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值．【解答】解：，即，，，即，，设向量与所成夹角为，，当且仅当时取等号，又，，．故选：．【点评】本题考查向量夹角最值的求解问题，向量的夹角公式，向量数量积的运算，函数思想，基本不等式的应用，属中档题．5．（2023•惠安县模拟）设向量与的夹角为，定义．已知向量为单位向量，，，则A． B． C． D．【分析】先阅读题意，然后结合平面向量数量积的运算及平面向量的模的运算求解即可．【解答】解：已知向量为单位向量，则，又，解得，又，，，，故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．6．（2023•鼓楼区校级模拟）在矩形中，，．若，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【分析】先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式及三角函数值域的求法求解即可．【解答】解：在矩形中，，，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，又，则可设，其中，，则，，则，又，，则，，故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了辅助角公式及三角函数值域的求法，属中档题．7．（2023•鼓楼区校级模拟）在边长为2的菱形中，，则的最小值为A． B． C． D．【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．【解答】解：已知在边长为2的菱形中，，则，则，又，，则当时，取最小值．故选：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．8．（2023•思明区校级模拟）已知平面向量，，，，且．若，则的最大值为A． B．10 C．2 D．5【分析】可设，夹角为，然后根据向量数量积的计算公式得出，根据条件及即可求出答案．【解答】解：设，夹角为，则：，当时取等号．故选：．【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．9．（2023•思明区校级四模）已知直线与圆相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是A． B． C．， D．，【分析】由题意分析可得，从而得到，再由直线与圆的位置关系得到的取值范围，从而求得．【解答】解：点为线段的中点，，由平面向量数量积的几何意义知：，直线与圆相交，圆心到直线的距离，，，．故选：．【点评】本题考查用平面向量的数量积的几何意义求平面向量的数量积的取值范围和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．10．（2023•仙游县校级模拟）以边长为2的等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知为弧上的一点，且，则的值为A． B． C． D．【分析】如图所示，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可．【解答】解：如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．11．（2023•鲤城区校级模拟）在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则A． B．6 C． D．9【分析】先用，两个向量表示，然后根据数量积的运算即可得到．【解答】解：，，因，所以，又，所以．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．12．（2023•思明区校级二模）在中，已知，，，若，且，则在上的投影向量为为与同向的单位向量），则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据题意得到，建系，得到，，的坐标，然后利用坐标表示，最后分，，和四种情况讨论的范围．【解答】解：在中，，所以，如图，以为原点，为轴建系，则，所以，又，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；综上所述，．故选：．【点评】本题考查了平面向量和基本不等式的综合应用，属于中档题．13．（2022•荔城区校级模拟）已知正四面体的棱长为1，且，则A． B． C． D．【分析】利用向量减法的三角形法则和向量的数量积的定义和正四面体的定义即可求解．【解答】因为，所以．根据向量的减法法则，得，所以，故选：．【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．14．（2023•鼓楼区校级模拟）设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】根据平面向量的基本定理以及向量数量积的性质分别进行判断即可．【解答】解：．若，则，则无法判断成立，故错误，．当时，与方向相同，则成立，当时，与方向相反，则不成立，故错误，．当，不共线时，得成立，当当，共线时，得不一定成立，故错误，．若，则成立，故正确，故选：．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据向量数量积的运算法则以及平面向量基本定理是解决本题的关键，是基础题．15．（2022•上杭县校级模拟）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是A． B． C．2 D．3【分析】由已知把的坐标求出，再由数量积的坐标运算列式求解．【解答】解：在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，，由，得，即．故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查划归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16．（2022•德化县校级模拟）已知点，直线与圆相切于点，则的值为A． B． C．9 D．15【分析】由平面向量数量积运算求解即可．【解答】解：由，则，又，，则，则，故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了运算能力，属基础题．17．（2021•思明区校级模拟）在中，，，，，，则A． B．3 C．6 D．15【分析】由题意画出图形，利用已知结合向量的加减运算、数乘运算及数量积运算即可求解的值．【解答】解：如图所示，，．又，，则，即，又，．故选：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．18．（2021•龙岩模拟）已知是圆外一点，过作圆的两切线，切点为，，则的最小值为A． B． C．2 D．【分析】设，再把用表示，结合基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：圆，故圆的圆心为，半径为的圆，如下图所示，设，，则，则．当时，不等式等号成立，故的最小值为．故选：．【点评】本题考查向量的数量积运算，考查三角恒等变换，考查基本不等式，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．19．（2016•福建模拟）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【分析】先根据向量的数量积的运算，求出，再建立坐标系，得到，构造函数，利用函数的单调性求出函数的值域，问题得以解决．【解答】解：，，，，，，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，，，，设，则，，，，设，在，上单调递减，在，上单调递增，（2），（5），的取值范围是，，故选：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量的坐标的数量积和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．20．（2023•新罗区校级模拟）已知向量，则下列说法正确的是A．若，则 B．若为锐角，则 C．若在上的投影向量为，则 D．的最小值为1，最大值为3【分析】由向量共线的坐标运算即可判断，由向量夹角的坐标公式即可判断，由投影向量即可判断，由向量模的坐标运算公式即可判断．【解答】解：向量，若，则，解得，所以，故正确；若为锐角，则，且与不能同向共线，所以，故错误；由题意可知，，即，解得，所以，故正确；因为，所以，因为，则，则，所以，即，所以，故错误．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．21．（2023•泉州模拟）圆为锐角的外接圆，，则的值可能为A． B． C． D．【分析】利用正弦定理表示出，借助角表示出所求，根据为锐角三角形，结合图形可得范围，然后可得．【解答】解：记圆的半径为，则，又，所以．因为为锐角三角形，如图，易知，所以，所以，即．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．22．（2023•鲤