押新高考第5题 三角函数与解三角形-备战2024年高考数学临考题号押题（全解全析）

第第页押新高考5题三角函数与解三角形考点4年考题考情分析三角函数与解三角形2023年新高考Ⅰ卷第8、15题2023年新高考Ⅱ卷第7、16题2022年新高考Ⅰ卷第6题2022年新高考Ⅱ卷第6题2021年新高考Ⅰ卷第6题2020年新高考Ⅰ卷第10、15题2020年新高考Ⅱ卷第11、16题三角函数与解三角形会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，单选题难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，本内容是新高考冲刺的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以三角函数的图象与性质、值域及参数范围、三角恒等变换、解三角形及其实际应用等问题展开命题．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第8题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．2．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.3．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第7题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．4．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

【答案】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．5．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A6．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.7．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．特殊角的三角函数值同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：正弦的和差公式，余弦的和差公式，正切的和差公式，正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，正切的倍角公式推导公式辅助角公式，，其中，正弦定理基本公式：（其中为外接圆的半径）变形三角形中三个内角的关系，，余弦定理边的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面积公式1．（2024·广东湛江·二模）函数在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.【详解】因为，所以，所以，故在上的值域为.故选：B.2．（2024·全国·二模）若函数的图象关于轴对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数是偶函数，则，即，而，所以.故选：B3．（2024·山东济南·一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到，利用三角形内角范围即得.【详解】由以及正弦定理可得：，因，代入整理得，因,则得，又因，故.故选：A.4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得.【详解】

由正弦定理可得，，又，所以，不妨设，所以由余弦定理得．故选：D．5．（2024·辽宁大连·一模）若，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得，结合可得，进而可得.【详解】由得，即，因为，所以，所以，结合，且，得，所以.故选：A.6．（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理在中取得的长，根据正切函数的定，可得答案.【详解】由题意可知，，，所以，又因，由正弦定理，可得：，解得，又因为，所以，故选:C.7．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（

）（，精确到）A． B． C． D．【答案】B【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出来雁塔AB的高度即可.【详解】过点作，交于点，在直角三角形中，因为，所以，在直角三角形中，因为，所以，则.故选：B.8．（2024·云南·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和的正弦公式及诱导公式化简，并运用齐次式运算求解.【详解】已知,则，.故选：B.9．（2024·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角关系以及和差角公式即可求解.【详解】由可得，又，则，故．故选：B．10．（2024·重庆·模拟预测）已知角θ满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】切化弦，得到，利用正弦二倍角公式求出答案.【详解】，故，则.故选：B11．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助三角恒等变换、同角三角函数的基本关系计算即可得.【详解】因为为锐角，所以，，又，所以，而，所以，所以，因此.故选：D．12．（2024·江苏南通·二模）已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件，利用辅助角公式得到，再利用的图象与性质，得到的单调增区间，再根据条件，可得到，即可求出结果.【详解】因为，又，由，得到，所以函数的单调增区间为，依题有，则，得到，故选：B.13．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角的对边分别为若面积则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理的变形：，结合三角形的面积公式，可把条件转化为：，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中，可求得.【详解】因为，所以，又由，所以.所以所以，又因为在中，，所以.故选：A14．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【分析】设炮弹第一次命中点为，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理计算可得.【详解】依题意设炮弹第一次命中点为，则，，，，在中，即，解得，所以，又为锐角，解得（负值舍去），在中，所以，即炮台与弹着点的距离为公里.故选：D15．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.【详解】因为，由正弦定理可得：，即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，结合，可得，即，解得，当且仅当时取得等号；故的面积，当且仅当时取得等号.即的面积的最大值为.故选：A.16．（2024·黑龙江·二模）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到，从而利用锐角三角形的性质得到的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解.【详解】因为，则由正弦定理得，又，所以，则，因为是锐角三角形，则，则，所以，即，则，所以，解得，则，所以.故选：B.17．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两角和与差的正弦，余弦，正切公式求解即可.【详解】由于，所以，所以，所以，又，所以，所以，由题设显然，所以，所以，所以.故选：C.18．（2024·湖北·二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值.【详解】由条件等式可知，，整理为，则，又，，所以，，所以.故选：D19．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知化简可推得，两边平方整理得出，求解得出，进而根据二倍角的余弦公式，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，显然，两边同时乘以可得，，整理可得，所以，，两边同时平方可得，即，解得或.当时，，此时，不满足题意，舍去.所以，.故选：A.20．（2024·广东广州·一模）已知是函数在上的两个零点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的对称性可得，进而代入化简，结合诱导公式即可求解.【详解】令，得，，，因为是函数在上的两个零点，则是在上的两个根，故，故，则.故选：A．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用三角函数的对称性得到的关系，从而得解.21．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得，得，不妨设且和在区间内，从而可求出的范围，再由进行讨论即可得解.【详解】由得，得，不妨设且和在区间内，则，即，化简得，由，得，所以为大于1的整数，当时，；当时，；当时，；当时，，可得当时，，且当时，，所以，故实数的取值范围为．故选：C.【点睛】思路点睛：根据题意令，求得函数零点，令，由零点和在区间内，再求出的范围，再分别对取值即可.22．（2024·辽宁抚顺·一模）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】由题可得：，又因为，所以，所以，解得：或，因为，，所以.故选：D.23．（2024·山西晋中·模拟预测）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简求出，然后利用同角三角函数基本关求解即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以.故选：D24．（2024·安徽·二模）已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理得，然后根据余弦定理求出，再利用重要不等式求出即可【详解】由，由正弦定理得，又，且，所以，故，又，所以，由，即，得，面积的最大值为，故选：C．25．（2024·江苏盐城·模拟预测）在中，已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和角的正切公式求出，再代入计算即得.【详解】在中，，否则，，，矛盾，并且有，，因此，而，则，，所以.故选：A26．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，根据给定条件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.【详解】连接，在中，，又，则是正三角形，，由，，得，，在中，，由正弦定理得，则，在中，由余弦定理得.故选：A

27．（2024·湖南·二模）在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．2或4【答案】C【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.【详解】由余弦定理得，即，，所以或，又，所以.故选：C【点睛】思路点睛：由余弦定理先求，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次式方程解方程即可.28．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解