数学-2024年高考考前押题密卷（全解全析）

第第③．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。16．如图，在平面四边形中，，，，．(1)求的长；(2)求的正弦值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理即求；（2）利用正弦定理即得.【详解】（1）在中，由余弦定理可知：,（2）在中，由正弦定理可知：，即：.17．如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.

(1)证明：(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点到平面的距离．①；②【答案】(1)证明见解析(2)二面角的余弦值为，点A到平面BPC距离为【分析】（1）先确定正方形沿对角线折起后的不变关系，再证明平面，即得；（2）由所选条件先证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，进而利用向量法可求二面角的余弦值及点到平面的距离．【详解】（1）证明：正方形沿对角线折起后的不变关系为.连接，，如下图：

因为，所以，同理得，又因为平面且，所以平面，因为平面，所以.（2）若选择①，，因为，所以，因为，所以，由（1）可得，所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取时，，即，因为平面，所以平面的一个法向量，于是，，所以结合图像可知，二面角的余弦值为.，，点到平面的距离，所以A到平面的距离为.若选择②，由（1）得，，，平面，，所以平面，又平面，所以，因为，所以，所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取时，，即，因为平面，所以平面的一个法向量，于是，，所以结合图像可知，二面角的余弦值为.，，点到平面的距离，所以A到平面的距离为.18．2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表：展区类型新一代信息技术展环保展新型显示展智慧城市展数字医疗展高端装备制造展展区的企业数量/家6036065045070990备受关注率0.200.100.240.300.100.20(1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率．(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)(3)，分布列见解析.【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可求解；（2）利用条件概率和全概率公式计算即可求解；（3）求出“新一代信息技术展”、“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量，确定X的值，利用超几何分布求出对应的概率，列出分布列，结合数学期望计算公式求解即可.【详解】（1）根据统计表，所有展区的企业数量为，其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为．所以所求概率为．（2）用事件A，，分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”，事件表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”，则．（3）“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为，“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为．易知所有可能的取值为0，1，2．所以，，．故的分布列为012则．19．已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若的平分线经过点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件和椭圆的性质解方程组可得；（2）设直线方程，由点在角平分线上结合到角公式（或斜率公式）可得；然后设设的方程为，直曲联立，用韦达定理表示化简得到和直线经过定点，再代入方程①得到；最后利用弦长公式表示出三角形的面积再结合基本不等式求出最值.【详解】（1）由条件得，解得，所以椭圆的方程为；（2）由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设，点的坐标为，所以，化简得到.由已知得到直线的斜率存在，设的方程为，，联立方程组，得，①，，由，得到，所以，得，根据韦达定理得，化简得，即或.又当时，直线经过点，不符合题意，因此，，直线经过定点，将代入方程①得，由，解得.面积.设，，则，当且仅当时取等号，因此面积的最大值为.20．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.（2）利用导数分类讨论函数在区间内的最值情况作答.（3）变形不等式，构造函数，利用导数探讨恒成立的k的范围作答.【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2），，函数，求导得：，显然恒有，则当时，，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；当时，由，得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，函数取得最小值，所以函数在上有最小值，的取值范围是.（3），因为存在，使得当时，恒有成立，则有存在，使得当时，，令，即有，恒成立，求导得，令，，因此函数，即函数在上单调递增，而，当，即时，，函数在上单调递增，，成立，从而，当时，，，则存在，使得，当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，所以的取值范围是.21．在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.

(1)求;(2)求证:;(3)如果满足方程，求的值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)474.【分析】（1）根据图形即可得到结果；（2）根据题意，由图形分别计算