正方形的性质-【 重难点突破练】 八年级数学下学期同步训练(人教版)（解析版）

§18.2.3.1正方形的性质知识导航正方形的定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形.注意：正方形既是矩形，也是菱形.正方形的性质（1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边相等（2）角：四个角都是直角（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角重难点突破重点1利用正方形的性质求线段长度如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，又四边形MOND的面积是1，正方形ABCD的面积是4，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式1-1如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．【答案】13【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．【详解】∵ABCD是正方形（已知）∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵∴△AFB≌△DEA（AAS）∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等）∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案为：13【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．变式1-2如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是_____．【答案】【分析】连接交于点，则可证得，，可证四边形为平行四边形，且，可证得四边形为菱形；根据勾股定理计算的长，可得结论．【详解】如图，连接交于点，∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，即，∴四边形为平行四边形，且，∴四边形为菱形，∴，∵，，由勾股定理得：，∴四边形的周长，故答案为.【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．变式1-3如图，边长为6的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于点，则____________．【答案】【分析】过点F作FI⊥BC于点I，延长线IF交AD于J，根据含30°直角三角形的性质可求出FI、FJ和JH的长度，从而求出HD的长度．【详解】过点F作FI⊥BC于点BC，延长线AD交AD于J，由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，∴FI=3，CI=∵JI=CD=6，∴JF=JI-FI=6-3=3，∵∠HFC=90°，∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，∴∠JFH=∠FCB=30°，设JH=x，则HF=2x，∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，∴x=，∴DH=DJ-JH=故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．重点点拨：由于正方形的两条对角线互相垂直，因此在解决正方形中的线段的长度问题时，常常利用勾股定理解答.重点2重点点拨：由于正方形的两条对角线互相垂直，因此在解决正方形中的线段的长度问题时，常常利用勾股定理解答.如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且连接DE，则∠CDE的度数为（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【答案】B【分析】由正方形的性质可得∠DAE的度数，再由AE=AD，即可求得∠ADE的度数，从而可求得∠CDE的度数．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴∠ADC=90゜，∠DAE=45゜∵AE=AD∴∴故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握这两个性质是关键．变式2-1如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是______．【答案】112.5°【分析】利用正方形的性质得到，，再根据菱形的性质得BF平分，所以，然后根据三角形外角性质计算的度数．【详解】∵四边形ABCD为正方形，，，∵四边形BEFD为菱形，∴BF平分∠EBD，，．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；也考查了菱形的对角线的性质：菱形对角线平分每对对角，且互相垂直；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．熟记这些知识是解题关键．变式2-2如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=20°，则∠AEF的度数（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】先证明△ABE≌△CBE，得到∠BAE=∠BCE=20°，在Rt△BCF中利用三角形内角和180°可求∠BFC度数．再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠AEF的度数．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∠ABE=∠CBE=45°．又BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE=∠BCE=20°．∵∠ABC=90°，∠BCF=20°∴∠BFC=180°-∠ABC-∠BCF=180°-90°-20°=70°∵∠BFC=∠BAE+∠AEF∴∠AEF=∠BFC-∠BAE=70°-20°=50°故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相邻两个内角和的性质．解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．变式2-3正方形ABCD中，E为AB上一点，M，N分别在BC，AD上，CE＝MN，∠MCE＝35°，则∠ANM＝______．【答案】55°或125°【分析】分两种情况：∠ANM是锐角时，如图，过M作MG∥AB交AD于G，由题意易得∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CD，然后可得，进而根据全等三角形的性质可求解；∠ANM是钝角时，如图，同理可求出∠MNG=55°，进而可得答案．【详解】如图，当∠ANM是锐角时，过M作MG∥AB交AD于G，∵四边形ABCD为正方形，∴∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CD，在Rt△GMN和Rt△BCE中，，∴，∴∠ANM＝∠CEB，又∵∠MCE＝35°，∴∠CEB＝90°－35°＝55°，∴∠ANM＝55°．当∠ANM是钝角时，如图，同理可求得∠MNG=55°，∴∠ANM=125°；故答案为55°或125°．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及正方形的性质是解题的关键．重点点拨：重点点拨：利用正方形的性质进行角度计算时，有时候要用到等腰三角形和等边三角形的性质.重点3利用正方形的性质解决与面积有关的问题如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】圆的面积减去正方形的面积除以4即可求得答案．【详解】∵正方形的边长为2，∴圆的半径为，∴阴影部分的面积：，故选B．【点睛】此题考查圆的面积，正方形面积，解题关键在于掌握面积公式变式3-1如图，正方形中，垂直于，且，，则阴影部分的面积是A．16 B．18 C．19 D．21【答案】C【分析】已知得为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长，用求面积．【详解】垂直于，且，，在中，，．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质，解题的关键是判断为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．变式3-2正方形OGHK绕边长为10cm的正方形ABCD的对角线的交点O旋转到如图所示的位置，则阴影部分的面积为(

)A．100cm2 B．75cm2 C．50cm2 D．25cm2【答案】D【分析】根据正方形的性质证明△AOE≌△BOF，得到阴影部分的面积=S正方形ABCD，即可得出答案.【详解】∵∠AOB=∠EOF=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF，∴S△AOE=S△BOF，∴阴影部分的面积=S正方形ABCD=×10×10=25cm2，故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形全等的判定和性质，证明得出阴影部分的面积=S正方形ABCD是解题关键.变式3-3七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2x＝20，解方程即可解决问题．【详解】如图，设OF＝EF＝FG＝x，∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2x，∴x＝5，∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2），故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．重点点拨：重点点拨：在解决与正方形有关的面积问题时，常常结合轴对称、等腰直角三角形以及全等三角形的性质和判定来求解.重点4利用正方形的性质进行证明如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF．求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，即可得出结论；（2）根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF．【详解】证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；（2）∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴AE⊥BF．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出AE与BF所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键．变式4-1如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．（1）证明：；（2）连接，证明：．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB=FB．【详解】证明：（1）四边形是正方形，，又，，，（2）如图所示，延长交的延长线于，是的中点，，又，，，即是的中点，又，中，．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．变式4-2如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．（1）求证：≌．（2）若，，求正方形的边长．【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）由旋转的性质得：四边形ABCD是正方形，即，即在和中，；（2）设正方形的边长为x，则由旋转的性质得：由（1）已证：又四边形ABCD是正方形则在中，，即解得或（不符题意，舍去）故正方形的边长为6．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．重点点拨：重点点拨：根据正方形的性质可以得到许多边、角的等量关系，故正方形与全等三角形经常结合在一起考察，充分利用正方形的性质是解题的关键.提升训练下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（

）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分【答案】B【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．【详解】因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（

）A．当是矩形时，B．当是菱形时，C．当是正方形时，D．当是菱形时，【答案】C【分析】分别根据矩形、菱形、正方形、菱形的性质逐项判断即可求解．【详解】A.当是矩形时，，故原结论错误，不合题意；B.当是菱形时，，故原结论错误，不合题意；C.当是正方形时，，故原结论正确，符合题意；D.当是菱形时，，故原结论错误，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，熟知三种特殊平行四边形的性质是解题关键，注意三种特殊平行四边形的性质不要混淆．顺次联结直角梯形各边中点所得到的四边形可能是（

）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形【答案】B【分析】根据题意画出图形，证明四边形是平行四边形，即可排除C，根据邻边边相等，即可求解．【详解】如图，四边形是直角梯形，分别为各边中点，则四边形是平行四边形四边形不能是菱形或正方形，四边形可能是矩形，如图故选B【点睛】本题考查了中点四边形，掌握那个特殊四边形的性质是解题的关键．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．【答案】A【分析】根据点B与D关于AC对称，连接BE，设BE与AC交于点P′，即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．再利用勾股定理即可得出结果．【详解】如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=3，CE=CD=1，∴BE==．故选A．【点睛】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题，找出P点位置是解题的关键．如图，正方形ABCD的面积为144，菱形BCEF面积为108，则△ABF面积为（

）A．18 B．36 C．18 D．36【答案】C【分析】由题意易得AB=BC=BF=EF=EC=12，设CD与EF的交点为G，根据菱形的面积可得CG的长，在Rt△CEG中，可根据勾股定理求得EG，又有EG=阴影部分三角形AB边上的高，进而可得S阴影的值．【详解】如图，由题意，正方形边长为12，则CG=108÷12=9，在Rt△CEG中，又CE=BC，EG=，∴阴影部分三角形AB边上的高=EG=，∴S阴影=×12×=，故选：C．【点睛】此题主要考查了菱形的性质和面积计算以及正方形的性质，根据已知得出CG=9，进而求出EG的长是解题关键．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据题意可得CF=BF，∠F=90°，根据平行四边形与正方形的的判定即可判断①；根据菱形与正方形的判定即可判断②；根据矩形与正方形的判定即可判断③；根据正方形的判定即可判断.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=∠ABC=90°，∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠FCB=∠DCB=45°，∠FBC=∠ABC=45°，∴∠FCB=∠FBC=45°，∴CF=BF，∠F=180°﹣45°﹣45°=90°，①∵EB∥CF，CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形，∵CF=BF，∠F=90°，∴四边形BFCE是正方形，故①正确；∵BE=CE，BF=BE，CF=BF，∴BF=CF=CE=BE，∴四边形BFCE是菱形，∵∠F=90°，∴四边形BFCE是正方形，故②正确；∵BE∥CF，CE⊥BE，∴CF⊥CE，∴∠FCE=∠E=∠F=90°，∴四边形BFCE是矩形，∵BF=CF，∴四边形BFCE是正方形，故③正确；∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，∵∠F=90°，∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，∵BF=CF，∴四边形BFCE是正方形，故④正确；即正确的个数是4个.故选D．【点睛】本题主要考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.若一个正方形的对角线长是2cm，则它的面积是【答案】2cm2【分析】根据正方形的性质可求得边长，从而根据面积公式即可求得其面积．【详解】根据正方形的性质可得，正方形的边长为cm，则其面积为2cm2，【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝_____°．【答案】45【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°，进而得到∠ADE＝∠AED＝75°，从而得到答案即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．又∵三角形ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE的最小值为______________【答案】【分析】作点F关于AC对称点F′根据正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴,可得点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，P为AC上的一个动点，PF=PF′，则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长即可．【详解】作点F关于AC对称点F′，∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴，∴点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，∵P为AC上的一个动点，∴PF=PF′则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长，∵AB=4，AF=2，∴AF′=AF=2，∴EF′=．【点睛】本题考查正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键．如图，PA＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为_________．【答案】＋4【分析】过点A作AQ⊥AP，使AQ=AP=2，连接BQ，先证明△QAB≌△PAD，得到BQ=PD，得到当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，根据勾股定理求出PQ，即可求出PD最大值．【详解】过点A作AQ⊥AP，使AQ=AP=2，连接BQ，∴∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠QAP=∠BAD，∴∠QAP+∠PAB=∠BAD∠PAB，即∠QAB=∠PAD，∴△QAB≌△PAD，∴BQ=PD，∴PD最大值即为BQ最大值，∵BQ≤PQ+PB，∴当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，在Rt△AQP中，,∴PQ+PB最大值为+4，∴PD最大值为＋4．故答案为：＋4．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理、求线段的最大值等问题，根据题意添加辅助线，构造全等三角形进行线段转化是解题重点．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，∵，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．如图，在正方形ABC