2024高考模拟训练卷1（含答案）【新结构试卷】

【九省联考题型】备战2024高考三模模拟训练卷（1）

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知全集0=酊集合4={x,）2},8=卜2,-1,；,|卜则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{-吗B.{-2,-1}C.D.卜

2.要得到函数g（x）=cos（2x+f的图象，可以将函数/（x）=sin（2x+。）的图象（）

A.向右平移三71个单位长度B.向左平移三7T个单位长度

C.向右平移2TT个单位长度D.向左平移自71个单位长度

66

3.在计算机语言中，有一种函数y=/NT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），其中WT（x）表示不超过x的

最大整数，如WT（0.9）=0,小丁（3.14）=3.已知%二小噜’10gb、=a、,q-10j（〃为正整数且

n>2）,则%24等于（）

A.8B.7

4.函数y=曳D的图象可能为（

COST

试卷第1页，共8页

5.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，位于秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是

谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”，在这些图案中，有一只身长

50米的大蜘蛛（如图），现用视角为30。的摄像头（注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该

圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角）在该蜘蛛图案的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米

的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（）

A.50米B.25（2五+而）米

C.50（2+6）米D.50（2直+“）米

6.冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强.基本再生数凡与世代间隔T是流行病学基本参考

数据.某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型%"）=2”来描述累计感染甲型流感病毒的人数力⑴

随时间t,（单位：天）的变化规律，其中指数增长率"与基本再生数凡和世代间隔7之间的关系近似

满足4=1+",根据已有数据估计出凡=4时，7=12.据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至

平（0）的3倍至少需要（参考数据：lg2a0.301,33处0.477）（）

A.6天B.7天C.8天D.9天

7.在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（4,单位：m）与制动距离（&，

单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v（单位：km/h）.根据

实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述4，4与v的函数关系的是（）

试卷第2页，共8页

A.4=ay,d=py[v1

2B.4=av,d2=(Jv

2

C.4=a4v,d2=J3vD.4=aC,d2=pv

8.已知正实数C满足：对于任意6,均存在》,/£Z,0qyjW255,使得cos2。-记。的最小值为4,

J

贝I］（）

A.------<A<-------B.------<A<

200010001000500

C・-----v丸<---D.-----<2<-----

500200200100

一、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选

错的得。分。

9.已知复数z=-3+2i,则下列说法正确的是（）

A.z的实部为3B.2的虚部为2

C.z=3+2iD.|z|=

10.“堑堵,，“阳马,，和“鳖膘,，是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》有如下叙述：“斜解立

方，得两堑堵，斜解堑堵.其一为阳马，其一为鳖席”.意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1）,得

到一模一样的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2）,得一个四棱锥称为阳马

若长方体的体积为匕由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖展的体积分别为匕,右,匕，则下列选项不正

确的是（）

试卷第3页，共8页

A.匕+匕+%=/B.匕=2匕C.匕=2匕D.匕工

6

11.已知椭圆C5+g=l（a>b>0）的左、右焦点分别为E、外，上顶点为8（0,码，离心率为争若〃、

N为。上关于原点对称的两点，则（）

A.C的标准方程为《+广=1

42

14

B.麻］+国*

「-"kBM-nkBN=__2

D.四边形玛的周长随MV的变化而变化.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.已知命题p:4-x46,q:xNa-l,若P是夕的充要条件，则。=.

13.2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.在“一带一路”欢迎晚宴上，我

国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化.这次晚宴菜单中

有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”.假设在上菜的过

程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），贝心沙葱牛肉”北京烤鸭”相邻的概率为.

14.记R上的可导函数/（X）的导函数为了'（X）,满足x.+i=x“-0《的数列｛斗｝称为“牛顿数列”.若函

数f（x）=x2-x,数列｛%｝为牛顿数列，设=10上\，已知q=2,X„>1,贝|J%=____________，数

X"T

列｛%｝的前〃项和为S",若不等式。，-14VS：对任意的〃eN*恒成立，贝M的最大值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）时下，一些工厂、学校、社区安装了风力发电机组、光伏等设备，利用风、光、热等新能源发

电供自用，节约用电成本.现有一学校作未来两年的用电计划，总需求为720万千瓦时，其中一部分可由

自身的光伏设备发电满足，剩余部分需向电网预购.由于受天气、故障等不确定因素影响，从以往结果可

预计光伏发电设冬每一年的发电量（单位：万千瓦时）情况如下：

发电量100120140

概率0.10.40.5

（1）求未来两年光伏发电量总和的所有可能情况及对应的概率：

（2）学校应再向电网至少预购多少电量才能以不低于90%的概率满足未来两年用电总需求？

试卷第4页，共8页

16.(15分)在四棱锥尸一/BC。中,E为棱的中点，尸平面”8,/£>〃8C，ZADC=90°,ED=BC=2,

EB=3,尸为棱尸C的中点.

(1)求证：尸/〃平面8EF；

(2)若二面角F-8E-C为60。，求直线PB与平面/SCO所成角的正切值.

试卷第5页，共8页

17.（15分）某数学建模小组研究挡雨棚（图1）,将它抽象为柱体（图2）,底面/8C与全等且所在

平面平行，”5C与△44G各边表示挡雨棚支架，支架44、BB1、CG垂直于平面/8C.雨滴下落方向与

外墙（所在平面）所成角为2（即4。8=?）,挡雨棚有效遮挡的区域为矩形44ao（0、。1分别在

661

G4延长线上）.

图1图2图3

（1）挡雨板（曲面88CC）的面积可以视为曲线段6c与线段8月长的乘积.已知0/=1.5米，4C=0.3米,

羽=2米，小组成员对曲线段8c有两种假设，分别为：①其为直线段且乙4c8=三；②其为以。为圆心的

圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；

JTTTTT

（2）小组拟自制”8C部分的支架用于测试（图3）,其中4c=0.6米，AABC=~,NC4B=0,其中不＜。＜万，

求有效遮挡区域高0/的最大值.

试卷第6页，共8页

18.(17分)已知抛物线C:/=2px(p>0)上有一点尸(1,m)(加>0),F为抛物线C的焦点，仆十0}

S.\EP\=42\PF\.

(1)求抛物线C的方程；

⑵过点尸向圆=/(点尸在圆外)引两条切线，交抛物线C于另外两点48,求证：直线相

过定点.

试卷第7页，共8页

19.(17分)设数阵4a'2\,其中。||,。］2吗1，。22e{L2,3,4,5,6}.设5={4，02，一、92{1,2,3,4,5,6},

\a21a21J

其中q<e2<L<9,/€曰且/言6.定义变换以为“对于数阵的每一行，若其中有％或-%,则将这一行中每

个数都乘以-1;若其中没有左且没有则这一行中所有数均保持不变”(％=G，e2,…,q).例(4)表示“将4

经过%变换得到4,再将4经过外变换得到4,…以此类推，最后将4T经过生变换得到4.记数阵4中

四个数的和为((4).

(1)若4=(；：)s={L3},写出4经过/变换后得到的数阵4,并求4(4)的值；

(\3、

(2)若4=,/,5=句品刍},求1(4)的所有可能取值的和；

136J

(3)对任意确定的一个数阵4,证明：1(4)的所有可能取值的和不超过-4.

试卷第8页，共8页

【九省联考题型】备战2024高考三模模拟训练卷(1)

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知全集0=酊集合4={x,)2},8=卜2,-1,；,|卜则图中阴影部分表示的集合为()

【答案】C

【分析】计算出集合A后，结合题意运算即可得.

【详解】因为4={X|X2>2},故/={X|X>&或X<-0},

所以电/={x|-Jl4x4正},又8=卜2,—1,；,外，

所以题图中阴影部分表示的集合(为4)口8={-1,；}.

故选：C.

2.要得到函数g(x)=cos(2x+［的图象，可以将函数/(x)=sin12x+:|的图象()

A.向右平移三个单位长度B.向左平移g个单位长度

C.向右平移5个单位长度D.向左平移5个单位长度

66

【答案】B

【分析】利用三角函数的平移规则即可得解.

【详解】因为/(x)=sin|2x+

所以将/(x)的图象向左平移力=；个单位可得到g(x)的图象.

故选：B.

试卷第1页，共21页

3.在计算机语言中，有一种函数y=/NT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），其中/NT（x）表示不超过X的

最大整数，如WT（0.9）=0,/档（3.14）=3.已知与=小噜’107，…，。=丫10%（〃为正整数且

〃22）,贝।也024等于（）

A.8B.7C.5D.2

【答案】A

【分析】根据题意写出数列｛4｝前几项并找出其周期规律，进而求解均期即可.

【详解】因为。“=小丁仁、10"[,4=4,仇=凡-10/1（〃为正整数且〃N2）,

20

所以b、=a、=INT-^=2,

生=37（|^100）=28,所以a=a2~10a,=28-20=8,

同理可得,b3=5也=7也=1也=4,&=2,4=8…,

所以｛4｝周期为6,由2024=6x337+2,得如24=4=8.

故选：A

4.函数y=3（1+'）的图象可能为（）

COSX

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性及诱导公式，结合特殊值即可求解.

【详解】由COSXH0,解得X=^+]—Z,

试卷第2页，共21页

所以函数歹=业/的定义域为[xx=E+1Aez],

cosx2J

2

igr（i+（-x））iig（i+xn

所以〃-）==包~~区/9），

。cost/—x、）〃cosx

所以v=蛇士虫为偶函数，函数的图象关于y轴对称，排除选项B,

COSX

而/•（0）=*"02）=0,排除选项C,

八，cosO

皿+外

/-=—L_2Z=21g1+->21g2>0,排除选项A,

cos-I3）

3

故选：D.

5.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，位于秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是

谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”，在这些图案中，有一只身长

50米的大蜘蛛（如图），现用视角为30。的摄像头（注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该

圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角）在该蜘蛛图案的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米

的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（）

摄像头的视角示意图

A.50米B.25（2逝+而）米

C.50（2+6）米D.50（2立+〃）米

【答案】B

【分析】根据题意求得拍摄区域的圆的直径最小为2r=500，再利用余弦定理求圆锥母线长，从而利用圆

锥的高、母线、底面半径的关系即可得解.

【详解】依题意，要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，

则拍摄区域的圆的直径最小为2r=50应，若所成圆锥的母线长为。，

此时由余弦定理得，2/-2/•cos30。=5000，即/=5000（2+6）,

试卷第3页，共21页

所以该摄像头距地面的高度最小值/z=^/^7?=,5000（2+代卜（25月2

=25114+86=2548+86+6=25（272+利米.

故选：B.

6.冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强.基本再生数凡与世代间隔7是流行病学基本参考

数据.某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型少（。=2〃来描述累计感染甲型流感病毒的人数少⑴

随时间t,（单位：天）的变化规律，其中指数增长率「与基本再生数4和世代间隔T之间的关系近似

满足q=1+”,根据已有数据估计出4=4时，7=12.据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至

沙⑼的3倍至少需要（参考数据：国2彩0.301,lg3«0.477）（）

A.6天B.7天C.8天D.9天

【答案】B

【分析】先求得/，然后根据“沙（0）的3倍”列方程，化简求得需要的时间.

【详解】依题意，&=1+”,且9=4时，7=12,

即4=l+rxl2,r=：,所以%⑺=27，%（0）=1,

拒

令沙«）=2彳।'=3,两边取以10为底的对数得丁132=怆3/=4涓3下4而x0,4一77”6.3,

所以至少需要7天.

故选：B

7.在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（4,单位：m）与制动距离（dz，

单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v（单位：km/h）.根据

实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述4，4与v的函数关系的是（）

试卷第4页，共21页

1

A.4=*d2=/3y/vB.4=。期，d2=pv

C.dx=a4v,d2-pvD.dx-a4v,d2=pv~

【答案】B

【分析】设43)=/(y),^2(v)=g(v),根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.

【详解】设4(y)=/3)，ra)=gW).

由图象知，4G)=/(“过点(40,8.5),(50,10.3),(60,12.5),(70,14.6),(80,16.7),(90,18.7),(100,20.8),

(110,22.9),(120,25),(130,27.1),(140,29.2),(150,31.3),(160,33.3),(170,35.4),(180,37.5).

作出散点图，如图1.

V1单位：km/h

40

30

20

10

，单位：m

O20406080TOO120MO160180"""Z

图1

试卷第5页，共21页

由图1可得，4与v呈现线性关系，可选择用4=aw

4(v)=g(v)过点(40,8.5),(50,16.2),(60,23.2),(70,31.4),(80,36),(90,52),(100,64.6),(110,78.1),

(120,93),(130,108.5),(140,123),(150,144.1),(160,164.3),(170,183.6),(180,208).

作出散点图，如图2.

v单位：km/h

200-•

*

150-•

100-•

50-°

*

•,单位：m

~o4080120160180办

图2

由图2可得，4与V呈现非线性关系，比较之下，可选择用&=例上

故选：B.

8.已知正实数C满足：对于任意。，均存在iJeZ,04iW_/4255,使得cos?4C,记C的最小值为4,

J

则()

1,1

A.----<A<--------<4v---

200010001000500

1]1

C.----<尤v----

500200200100

【答案】B

【分析】将问题转化为对于任意xe[0』，均存在i,JeZ,0ViVJ4255,使得x-L4c,结合数轴求得当x

J

在相邻的两个点0,与或祟,1中点时，则有与.

【详解】题设等价于对于任意均存在H£Z,0±y/K255,使得x-LwC,将乙在数轴上表示

JJ

如下：

试卷第6页，共21页

n1112254,

255254128255255

当x与上述数轴上的点重合时，易得存在，,/€2,0q4/4255使得》-上=0,又C为正实数，则x-±4C

JJ

成立；

当x与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点々，上之间，则工，当且仅当x在相

7ihJy2j2j1

邻的两个点上，上中点时取等，

J\Ji

要使对于任意xe[O,l],均存在i,JeZ,04iV_/4255,使得x-±4C,则有旦-幺，

J2JiJx

125411254

又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为0=1-怨=短，此时x在相邻的两个点0,声或看」

255乙j。4jj/jj乙jj

中占，则CN』x」一=」_

~2255510

以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为表，易得数轴上笈，宗(％eZ,04%4254)两点之间

的距离为短,

12541kkkA-\

当％=0或%=254,0,袅和短,1为相邻的两点，之间的距离为袅；当14%4253时，则短〈方〈法,

即在，产之间必存在点三，可得相邻的两点之间的距离小于，7,综上可得数轴上所有相邻的两个点

255255254255

之间距离最大为上.

255

故％=」-,.

5101000500

故选：B.

【点睛】本题关键点在于先将问题简化为对于任意xe[0,l],均存在i,J6Z,0W/W255,使得x-；4C,

将上在数轴上表示出来，结合对于xw[0,l]都成立，得到当x在相邻的两个点0,白或罢,1中点时，

II

x-1=-x—,进而求出C的范围，即可求解.

J2255

二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选

错的得0分。

试卷第7页，共21页

9.已知复数z=-3+2i,则下列说法正确的是（）

A.z的实部为3B.二的虚部为2

C.z=3+2iD.目=屈

【答案】BD

【分析】根据复数的实部、虚部、共朝复数、模等知识确定正确答案.

【详解】由于复数二=-3+2i,所以z的实部为-3,虚部为2,所以W=-3-2i,|z|=J（-3>+22=屈.

所以AC选项错误，BD选项正确.

故选：BD

10.“堑堵”“阳马”和“鳖濡”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术•商功》有如下叙述：“斜解立

方，得两堑堵，斜解堑堵.其一为阳马，其一为鳖般意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1）,得

到一模一样的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2）,得一个四棱锥称为阳马

若长方体的体积为匕由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖席的体积分别为匕，匕匕，则下列选项不事

碰的是（）

V

A.匕+匕+匕=/B.匕=2匕C.匕=2匕D.匕=[

【答案】ACD

【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖席的体积与长方体的体积/的数量关系，即可得答案.

VV1V

【详解】解：由题意，堑堵的体积匕二:,阳马的体积匕二二，鳖席的体积匕=彳匕="，

2336

所以匕+匕+匕=/，2匕=3匕，6匕=3%=%,即匕=2匕，

所以/-匕=匕=:，

6

所以，ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

11.已知椭圆C:[+，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为耳、F2,上顶点为可0,&）,离心率为孝，若A/、

N为C上关于原点对称的两点，则（）

试卷第8页，共21页

A.。的标准方程为《十片=1

42

14、么

B..卡丽-6

C-kBM'kBN=-3

D.四边形两匹的周长随MV的变化而变化

【答案】AC

【分析】对A,由上顶点及离心率可计算出方程；对B,借助椭圆对称性及定义，利用基本不等式计算即可

得；对C,表示出斜率后计算即可得；对D,由椭圆定义即可得.

由上顶点为8（0,亚），故6=血,

离心率为也，故二=在，即C=EQ，

2a22

故a2=b?+c?=2+ga2,解得。=2,

22

即C的标准方程为土+匕=1,故A正确；

42

连接线段如图所示，由加、N关于原点对称，

则|明|=|岫|,由IMI+I外|=2a=4,故|岫卜加玛=4,

Q

当且仅当|的|=2匹|=；时，等号成立，故B错误;

设〃（勺,九），则N（-Xo，-%）,

则¥_+*_=1,即片=4-24,

42

试卷第9页，共21页

故C正确；

四边形gNE的周长为|加题+M工|+”耳|+WKI，

由昭|+|碉=2a=4,M+M|=2a=4,

故四边形5峭的周长为4+4=8,为定值，故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点睛：涉及到与焦半径有关范围或最值问题时，常常需要从椭圆定义出发，结合椭圆性质,

利用基本不等式求取范围或最值.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.已知命题p:4-x46,q:xNa-l,若P是q的充要条件，则。=.

【答案】-1

【分析】设P：4={X|4-XM6},夕：8={x|xWa-l},由P是9的充要条件，得/=8求解即可.

【详解】由题意得，p：4-xV6,得xN-2,

设4={小"2},8={小2。一1},由P是4的充要条件，得/=8,

即。-1=-2,得。=一1.

故答案为：-1

13.2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.在“一带一路”欢迎晚宴上，我

国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化.这次晚宴菜单中

有“全家福'”'沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷假设在上菜的过

程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），贝心沙葱牛肉"北京烤鸭”相邻的概率为.

【答案】J/0.25

【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.

【详解】服务员随机上这八道菜有A：种排法，

“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有A；-A；种排法，

试卷第10页，共21页

27

所以所求概率A尸.A黄=;1.

A84

故答案为：~~.

4

14.记R上的可导函数f(x)的导函数为/'(X),满足的数列｛%｝称为“牛顿数列”.若函

数/(x)=x2-x,数列｛%｝为牛顿数列，设%=In』、,已知q=2,x„>l,贝lj%=，数

列｛%｝的前〃项和为S,,若不等式。，-14WS：对任意的〃eN*恒成立，则，的最大值为.

【答案】4y

【分析】求出函数的导函数，即可得到x.u=Wr，再由4求出A，即可求出莅，从而求出外,又

/\2]4

3_=旦_,则％“=〃，即可求出｛凡｝的通项公式与5.，参变分离可得区工+丁对任意的〃eN*

恒成立，利用对勾函数的性质求出(s.+9],即可得解.

\〃7min

【详解】因为/(x)=x2—X,则r(x)=2x-l,贝1年7=与一子一=彳工，

2xn-12x„-1

由q=2,a,=ln-^—,所以上、■=/，解得芭=一—所以丁系=

再一1x,-l1e2-l

/\2

所以。川二山三七二心=21n^-=2a„,即数列｛见｝是以2为首项、2为公比的等比数歹U,

X"+「lxn-\

所以-S.="=2S2'

因为⑸-14WS：对任意的”eN*恒成立，又S.>0且邑单调递增,

试卷第11页，共21页

所以dS“+F对任意的〃eN*恒成立，

令g（X）=X+W,XG（0,+oO）,

X

根据对勾函数的性质可得g（x）=x+?在（o，g）上单调递减，在（旧,用）上单调递增，

X2=<V14<52=6,且g（2）=9,g（6）=^<g（2）,

所以，代2+不14二2彳5，所以Z的最大值为7今s

故答案为：4；g

2

x2/\

【点睛】关键点睛：本题的关键是得到工角二一：，从而得到3、二,求出数列的通项公式,

2月T/+「1

最后参变分离转化为求（s"+号］.

\>Jmin

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）时下，一些工厂、学校、社区安装了风力发电机组、光伏等设备，利用风、光、热等新能源发

电供自用，节约用电成本.现有一学校作未来两年的用电计划，总需求为720万千瓦时，其中一部分可由

自身的光伏设备发电满足，剩余部分需向电网预购.由于受天气、故障等不确定因素影响，从以往结果可

预计光伏发电设冬每一年的发电量（单位：万千瓦时）情况如下：

发电量100120140

概率0.10.40.5

（1）求未来两年光伏发电量总和的所有可能情况及对应的概率；

（2）学校应再向电网至少预购多少电量才能以不低于90%的概率满足未来两年用电总需求？

【答案】（1）见解析

（2）校应再向电网至少预购480万千瓦的电量.

【分析】（1）设未来两年光伏发电量总和为X,求出X的可能取值及其对应的概率即可得答案；

（2）根据两年光伏发电量的情况，只有65%的概率供应260万千瓦以上，两年光伏发电量能以91%的概率

供应240万千瓦以上，即可得出答案.

试卷第12页，共21页

【详解】（1）设未来两年光伏发电量总和为X,所以x=200,220,240,260,280,

所以尸（X=200）=0.1x0.1=0.01,

产（X=220）=0.1x0.4x2=0.08,

P（X=240）=0.1x0.5x2+0.4x0.4=0.26,

P（X=260）=0.4x0.5x2=0.4,

P（X=280）=0.5x05=0.25.

（2）因为0.25+0.4=0.65,0.25+0.4+0.26=0.91,

根据两年光伏发电量的情况，只有65%的概率供应260万千瓦以上，

两年光伏发电量能以91%的概率供应240万千瓦以上，

所以，要以不低于90%的概率满足未来两年用电总需求，学校应再向电网至少预购720-240=480万千瓦的

电量.

16.（15分）在四棱锥尸-/88中,£1为棱4。的中点,尸£_1平面/3。，4）〃比，ZADC=90°,ED=BC=2,

EB=3,F为棱PC的中点.

⑴求证：P4//平面BEF；

（2）若二面角尸-8E-C为60。，求直线尸8与平面所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵孚

【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行；

（2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，设出依=机＞0,写出点的坐标，由二面角大小

求出力的值，进而利用三角函数求出正切值.

【详解】（1）连接/C交5E于点M,连接尸

试卷第13页，共21页

VAD!IBC,S.BC=AE,

：.AM=MC,

又PF=FC,

，线段FM是AP4c的中位线，

二FMHAP,

•.,EMu面5EF,平面8EF,

二尸/〃平面8M；

(2)VADIIBC,ED=BC,

二四边形8C£>E是平行四边形，

又：ZJZ>C=90°,

二四边形8C£>E是矩形，

/.AD±BE；

又PE_L平面ABCD,BE,EDu平面ABCD,

：.PELBE,PEVED

以E为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

设PE=m>0,则E(0,0,0),8(3,0,0),P(0,0,m),C(3,2,0),F(|,l，5

.•.丽=(3,0,0),而=序吟)，

设平面户的一个法向量为万二(x,y,z),

/i£S=(x,y,z)(3,0,0)=3x=0

由n-EF=(x,j,z)^|,l,y^=|x+y+yz=O，

解得x=0,令z=l,得y=g,故万

试卷第14页，共21页

取平面的一个法向量为1=（0,0,1）,

=2应）负值舍去;

,:PE_L平面ABCD,

NP8E就是直线P5与平面N8C。所成角，

在RtZXPBE中，tanNPBE=I空,

BE3

•••直线P8与平面所成角的正切值为述.

3

17.（15分）某数学建模小组研究挡雨棚（图1）,将它抽象为柱体（图2）,底面/8C与//£全等且所在

平面平行，“8C与及G各边表示挡雨棚支架，支架/4、BB-CG垂直于平面/8C.雨滴下落方向与

外墙（所在平面）所成角为?（即408=?）,挡雨棚有效遮挡的区域为矩形440。（0、O1分别在。、

66

G4延长线上）.

G

图1图2图3

（1）挡雨板（曲面88CC）的面积可以视为曲线段8C与线段B4长的乘积.已知0/=1.5米，4c=0.3米,

=2米，小组成员对曲线段5c有两种假设，分别为：①其为直线段且44c8ng；②其为以。为圆心的

圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到01平方米）；

（2）小组拟自制J8C部分的支架用于测试（图3）,其中4c=0.6米，/ABC」,NC4B=。，其中。＜三,

262

求有效遮挡区域高。/的最大值.

【答案】⑴①1.2平方米②1.9平方米

（2）0.3米

试卷第15页，共21页

【分析】（1）分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解;

（2）根据正弦定理求出0/,再由三角恒等变换求最大值即可得解.

【详解】（1）①其为直线段且=]时，4c=0.3米，

所以在RtZi/C8中，JC=SCcosy,BPBC=2AC=0.6（米）.

所以S==8044=0.6x2=12（平方米）：

②其为以。为圆心的圆弧时，此时圆的半径为O/+/C=1.8（米）,

TTTT37r

圆心角/4。8=二，所以圆弧8c的长/=L8x2==,

6610

所以S=/-8&=/Z4=2x*1.9（平方米）

7T

（2）由题意，AB=ACcos^=0.6cos,Z-ABO=0—,

6

OAAB

由正弦定理可得：

BPOA=1.2cos0sin|j=1.2cos0|—^-sin0-—cos0=1.2-^sin0cos0-icos29

=0.6（¥sin2e-；cos2e—；J=0.6sin（2e-）0.3,其中e<g<],

当2。-巴=巴，即。=三时，O/a=0-6-0-3=0.3（米）.

623

即有效遮挡区域高。/的最大值为0.3米.

18.（17分）已知抛物线C：K=2px（p>0）上有一点P0,机）（机>0）,尸为抛物线C的焦点，

S.\EP\=y/2\PF\.

（1）求抛物线C的方程;

（2）过点P向圆E:[x+5）+/="（点P在圆外）引两条切线，交抛物线C于另外两点48,求证：直线相

过定点.

【答案】⑴/=4x

（2）证明见解析