319291188 主题 一集合题的“条件”变式 讲义【一题 一析 一法 一得】-2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册期末复习

【学生版】主题一集合题的“条件”变式集合表示方法的综合应用；一题：紧扣教材与贴近试题的（典型例题）；例题集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合；一析：细辩精析与规范解答的（细析详解）；【提示】【解析】1、(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．【解析】2、(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．【解析】一法：通过体验与收获最佳的（方法归纳）；若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，将集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题；在学习过程中要注意数学素养的培养，注意等价转化思想和分类讨论的思想；一得：实践练习与得到合理的（收获拓展）；1、已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．【答案】【解析】若本例中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．【答案】【解析】2、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．【解析】变式1、（变条件）把上题的条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围；【解析】变式2、（变条件）把上题的条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值。【解析】【解题收获】利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点（1）依据：A∩B＝AAB，A∪B＝ABA；（2）关注点：当集合AB时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝的情况，否则易漏解；【教师版】主题一集合题的“条件”变式集合表示方法的综合应用；一题：紧扣教材与贴近试题的（典型例题）；例题集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合；一析：细辩精析与规范解答的（细析详解）；【提示】eq\x(A中只有一个元素)eq\o(→,\s\up15(等价转化))eq\x(方程kx2－8x＋16＝0只有一解)eq\o(→,\s\up15(分类讨论))eq\x(求实数k的值)【解析】（1）当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；（2）当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意；综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}；1、(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．【解析】由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝64－64k>0，))即k<1且k≠0.所以，实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}；2、(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．【解析】由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根；①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1；综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}；一法：通过体验与收获最佳的（方法归纳）；若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，将集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题；在学习过程中要注意数学素养的培养，注意等价转化思想和分类讨论的思想；一得：实践练习与得到合理的（收获拓展）；1、已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．【答案】(－∞，1]；【解析】当m≤0时，B＝，显然B⊆A；当m>0时，A＝{x|－1<x<3}，若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))所以0<m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]；若本例中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．【答案】[3，＋∞)；【解析】若A⊆B，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≤－1，,m≥3))得m≥3，所以m的取值范围为[3，＋∞)；2、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．【解析】（1）当B＝，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A；（2）当B≠时，要使A∪B＝A，只需解得2≤k≤；综合（1）（2）可知；变式1、（变条件）把上题的条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围；【解析】由A∩B＝A可知A⊆B，所以即所以k∈，所以k的取值范围为；变式2、（变条件）把上题的条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值。【解析】