专题之学习运用题型-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习专题之学习运用题型教学目标了解学习运用题型的主要命题方式，并掌握最主要的三类的不同做法。【解读：学习运用题型命题较难，故考查不多，属于“中级”难度】知识梳理无典例精讲【说明：此部分所给题量较大，大都是高考原题、一二模考题。各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等】类型一：“学习解法，模仿解题”例1.（★★★）阅读下列问题的解法：实数满足，设，求的值．解：设代入，化简后得，解得；∵，∴，∴，∴．试用上述解题方法解下列问题：设且，求的取值范围是_________。解：由，得，设，代入化简后，得∵，∴．因此，的取值范围是．【评述：展示一种解题技巧，让学生学习运用。此题是三角换元，难度不大】巩固练习1.（★★★★）问题“求不等式的解”有如下的思路：不等式可变为，考察函数可知，函数在上单调递减，且，∴原不等式的解是.仿照此解法可得到不等式：的解是．解：化简原式，得，再根据所教方法——构造函数法，得到思路，可以设，使原式变为，而又明显是一个增函数，故，解得．另解：直接可以对该不等式进行因式分解也可得到答案，或者利用计算器猜的答案，但都不推荐。【评述：展示一种解题思想，让学生学习运用。此题是构造函数，境界较高，再由于所教与所用的题目具有一定的差异性，难度较大】类型二：“先证定理，后用解题”例2.（★★★）（1）已知、为正实数，，，.试比较与的大小，并指出两式相等的条件；（2）求函数，的最小值.解：（1）作差比较：=.所以，.当且仅当时，两式相等.（2）.当且仅当，即时，，函数取得最大值25.另解：第一问可以用，然后展开用基本不等式或者直接柯西不等式，也可证明。第二问也可以不用第一问结论，直接通分，利用函数求值域的方法，也可得到答案，但不推荐。【评述：第一问先证明一个定理，第二问让学生运用。此题是不等式的证明与运用，难度不大】巩固练习2.（★★★★）（1）已知.试比较与的大小，并指出两式相等的条件；（2）求函数的最大值.解：（1）作差比较：.所以，，当且仅当等号成立．（2）.即．当且仅当，即时，函数取得最大值.另解：第一问可以用向量的数量积证明。第二问也可以不用第一问结论，用三角换元或者数形结合等方法，也可得到答案，但不推荐。【评述：第一问先证明一个定理，第二问让学生运用。此题是柯西不等式的证明与运用，有一定的难度】类型三：“直接运用题干或者前几小问的结论解题”例3.（★★★）已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦的中垂线在y轴上的截距为．解：由于与的情形完全相同，过同一个定点，问的也一样，只是斜率不同而已，所以不用“死算”，直接运用题干中的结论，将用代替，得到答案.【评述：直接运用结论能力。此题是解析几何中的一个计算技巧的使用，但是此题没有任何坡度或者提示，学生不容易想到直接运用，而是会去“死算”，有一定的难度】例4.（★★★★）在圆锥曲线中，有如下结论：是抛物线（）的一条弦，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线的交点为，若、两点纵坐标之差的绝对值为定值即（），则△．试运用上述结论求解：（1）若、分别为和的中点，过、平行于轴的直线与抛物线分别交于点、，求和；（2）你能在上述问题的启发下，设计出一种方法求抛物线与弦围成的“弓形”的面积吗？（3）求曲线与轴的正半轴及直线所围成的曲边形的面积．解：（1）设点的纵坐标分别为，易知为抛物线的一条弦，是的中点，且两点纵坐标之差的绝对值为定值，，由已知的结论，得．同理，．（2）将（1）的结果看作一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积．操作无限重复下去．第一次操作，增加的面积为，记为；（不妨记为）第二次操作，增加的面积为，记为；……可得一个公比为的无穷递缩等比数列，随着分割越来越细，这些三角形逐渐填满抛物线与弦围成的“弓形”．显然它的各项和可以近似为所求“弓形”的面积．所以．（3）如图，所求面积可以看作由三角形面积减去抛物线弓形面积得到．由（2）题得到的弓形面积计算公式，得，又，所以所求面积为．【评述：直接运用结论能力。此题的本质其实就是积分，在第一问的引导下，第二问考查了学生的探索能力、运用能力，难度不小】巩固练习3.（★★★）三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是解：不等式左右都是含有变量的函数，所以甲是错的；丙的思路可以，但是左边的函数图像画不出来，所以这又是一条死胡同；最终发现只有乙的方法是可行的，如下：解：化简，得，所以，再令，发现是由两个函数相加得到的，且他们都在时，取到最小值，所以，，即【评述：此题考查学生的阅读能力和判断能力，解题方法就在题干之中，可以在此总结一下函数恒成立问题，甚至拓展到可成立、恰成立问题，难度尚可】4.（★★★）我们已学过：平面内到两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线．（1）试求平面内到两个定点的距离之商为定值的点的轨迹；（提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设的坐标分别为其中）（2）若中，满足，求三角形的面积的最大值.解：（1）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设的坐标分别为，设动点坐标根据题意可得，即整理得所以平面内到两个定点的距离之商为定值的点的轨迹是圆．（用，最后整理得相应给分，其它酌情给分）（2）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设的坐标分别为．设顶点，根据题意可得，即整理得即点落在除去两点的圆上．又，【评述：此题第一问是常规的直接法求轨迹的问题，，做完题目后，可以拓展讲讲“阿波罗尼斯圆”问题；第二问就考查了学生的运用结论的能力。做完题目后，可以让学生尝试直接用解三角形的方法做第二问，会发现很麻烦，所以此题也体现了解析几何的本质“用代数方法解决几何问题”的优势所在】回顾总结通过本专题的学习，你对学习运用题型了解了多少？有没有发现这些题目在命题特点上和解法上有没有什么共性？三类题的解题步骤又分别是如何的？（1）首先判断是哪种？“学习解法